ブール代数において,0と1を入れ替え,+と・を入れ替える事によって
双対形が作れるとの事ですが,例えばf(0,0)とあったとき,0と1を入れ替える
というのはf(1,1)とするんですか?それともf(0,0)バーとするんですか?
それからXとあったとき,0と1を入れ替えるというのは,Xバーとするのか
これはそのままXのままにしておくのかどっちなんでしょう?
双対形の作り方の細かい所が分からず困っています。
是非よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

まずブール代数の抽象的な定義が書かれた以下の2つのサイトを見てください。


http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ohwaki/computer …
http://mail.sp.es.yamanashi.ac.jp/~ohki/educatio …

このようにブール代数は抽象的に定義されます。
masayuki0115さんが書かれている、f(0,0)(関数fということでしょうか?)が
この定義を満たしていますか?まずそれが問題です。

ブール代数の定義を満たす例として、集合の和、積があります。
___ _ _  ___ _ _
P∪Q=P∩Q、 P∩Q=P∪Q
はご存知と思います。
集合に含まれる場合を1、含まれない場合を0と見、
∪,∩をそれぞれ+,・と見ると、
まさに0と1を入れ替え,+と・を入れ替えたことになっています。

ほかに次のようなサイトもありましたが、上記2つには及びません。
http://milan.elec.ryukoku.ac.jp/~kobori/resume/i …
http://karel.tsuda.ac.jp/class2001/arch/c2.html

参考URL:http://www.sci.kumamoto-u.ac.jp/~ohwaki/computer …
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この回答へのお礼

凄く分かりやすいサイトを教えてくださってありがとうございました。
基本を詳しく知ることが出来ました。

お礼日時:2001/10/19 16:23

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Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
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Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む

Q関数f(x1,x2,x3,x4,x5)が最大値となるようなx1,x2,x3,x4,x5の求め方

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

(5) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x4をdに固定し、x5を変化させてyが最大となるようなx5を求める。(このときのx5をeとする)

このとき、f(a,b,c,d,e)は最大値??
多分、違いますよね。

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1...続きを読む

Aベストアンサー

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、例えば八ヶ岳のように複数の頂上があった場合、見つかった値は最大値とは限りません。つまり八ヶ岳のひとつの頂上が見つかっただかで、これが八ヶ岳で一番高い頂上かどうかは分からないということです。こうして見つかった y の値を「局所最大値」と呼びます。確実に(局所でない大局的な)最大値を見つける方法は見つかっていません。

質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

歩幅の大きさにも注意が必要です。頂上や山の大きさに関係するのですが、多くの場合「一言では言い表せないような複雑な」訳で、山の大きさすら分かりません。一歩の大きさを大きくすればそれだけ速く頂上に到達できますが、頂上の正確な位置がでませんし、山よりも大きな歩幅ですと山を飛び越えてしまいますので、「十分に」小さな値にします。計算を速くするために、最初の歩幅は大きく、段々歩幅を小さくするというやり方もあります。

より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む

Q1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1

この数式を求める式を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1/2+(1/2)*(-1)^n
n=0,1,2,...

QRe: f:[0,1]で連続関数,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)の証明での疑問

[問]fを[0,1]で連続な関数とする時,lim[n→∞]∫[0 to 1]f(x^n)dx=f(0)となる事を示せ。

という問題に取り組んでいます。

積分の平均値の定理「fが[a,b]で連続ならば∃c∈(a,b);∫[a~
b]f(x)dx=f(c)(b-a)」を使って下記のように解きました。

十分小さな正の数εでもって,[0,1-ε],[1-ε,1]に積分区間を分けると,
f(x^n)は連続なので,積分の平均値の定理から,
∫[0 to 1]f(x^n)dx
=∫[0 to 1-ε]f(x^n)dx+∫[1-εto 1]f(x^n)dx
=(1-ε)f(α^n)+εf(β^n) (0<α<1-ε<β<1)
→(1-ε)f(0)+εf(0)=f(0)

然し,βはεに依存するので1未満だからといってβ^n→0とはそう簡単には言えないみたいなのです。
私としましてはεに依存してようが1未満なので必ずβ^n→0と思うのですが、、、
どのように解釈したらいいでしょうか?

Aベストアンサー

お二人が問題点を指摘されていますので、証明だけです。

0<c<1を任意に与える。

|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx+∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx

∀ε>0;∃N:自然数
|f(x^n)-f(0)|<ε[n>N]から
∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx<(1-c)ε<ε

max[1-c≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦max[0≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦2max[0≦x≦1]|f(x)|=M

とおいて、

|∫[x=1-c,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx
=Mc

即ち
|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|<ε+Mc[n>N]
から
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦Mc

左辺は、0<c<1の選び方に依存しないので、
lim[n→∞]|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|≦0

lim[n→∞]∫[x=0,1]f(x^n)=f(0)

お二人が問題点を指摘されていますので、証明だけです。

0<c<1を任意に与える。

|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx+∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx

∀ε>0;∃N:自然数
|f(x^n)-f(0)|<ε[n>N]から
∫[x=0,1-c]|f(x^n)-f(0)|dx<(1-c)ε<ε

max[1-c≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦max[0≦x≦1]|f(x^n)-f(0)|]
≦2max[0≦x≦1]|f(x)|=M

とおいて、

|∫[x=1-c,1]{f(x^n)-f(0)}dx|
≦∫[x=1-c,1]|f(x^n)-f(0)|dx
=Mc

即ち
|∫[x=0,1]{f(x^n)-f(0)}dx|<ε+Mc[n>N]
から
lim[n→∞]|∫[x=0,1...続きを読む


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