フェルミ分布関数において、x=(E-Ef)/kT とおくと、-df/dx は x=0 に最大値を示す対象関数であることを示せ。という問題が解けなくて困っています。

非常にお恥ずかしいのですが、どなたか回答を教えてください。

A 回答 (1件)

(1)  f(x) = 1/(e^x + 1)


だから
(2)  -df/dx = e^x / (e^x + 1)^2 = 1/{e^(x/2) + e^(-x/2)}^2
ですね.

xの偶関数なのは明らか.
(2)が x=0 で最大になるのは,
e^(x/2) + e^(-x/2) に相加相乗平均の関係を使えばよろしい.

細かいところはご自分でどうぞ.
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この回答へのお礼

すばやい回答ありがとうございました。
本当に助かりました。
がんばることができそうです。

今後もまた何か機会がありましたら、
よろしくお願いします。

お礼日時:2001/10/20 23:06

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Aベストアンサー

横からですが、もうちょっと噛み砕いて(前の回答者様の最後の
一行を薄めて書くだけですが)。

まず、フェルミ分布関数の指揮が多分間違ってます。正しくは

f(E) = 1/(1+e^((E-μ)/kT))

でしょう(参考URLとかを見てください)。


さて、本題。
とりあえず、E = μ±kT を代入してみましょう。
f(μ+ kT) = 1/(1+e) ~ 0.73
f(μ- kT) = 1/(1+e^(-1)) ~ 0.27

E >> μ では f(E) ~ 0, E << μ では f(E) ~ 1 ですから、
フェルミ分布関数 f(E) の値が大きく変化するのはだいたい E = μ±kT
の範囲ということになりますね。(ちなみに、値を見ればわかるように
ほぼ半値全幅に対応する(こっちはピークじゃありませんが)変化量に
なっています)
これが、「フェルミ分布関数の揺らぎはなぜkTなのか」の理由です。

<なぜ 3kT とか 0.5 kT とかじゃないのか?>
「その範囲内でフェルミ分布関数が大きく変化する」という定義からすれば、
べつにそれでもかまいません。しかし、前の回答者の方も仰っていたように、
これは定性的な目安です。それなら、桁が違う、といった変化が無い限りは
判りやすい数値にしておくのが良いでしょう。
特に理由もなく係数をつけるよりは、±kTということで 2 kT としておくの
が便利だと思いませんか?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E5%88%86%E5%B8%83%E9%96%A2%E6%95%B0

横からですが、もうちょっと噛み砕いて(前の回答者様の最後の
一行を薄めて書くだけですが)。

まず、フェルミ分布関数の指揮が多分間違ってます。正しくは

f(E) = 1/(1+e^((E-μ)/kT))

でしょう(参考URLとかを見てください)。


さて、本題。
とりあえず、E = μ±kT を代入してみましょう。
f(μ+ kT) = 1/(1+e) ~ 0.73
f(μ- kT) = 1/(1+e^(-1)) ~ 0.27

E >> μ では f(E) ~ 0, E << μ では f(E) ~ 1 ですから、
フェルミ分布関数 f(E) の値が大きく変化するのはだいたい E = μ±kT
の範囲ということに...続きを読む

QF(r)=f(r)r/r のときF(x)=f(r)x/rとなる理由

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(1)  【F】(【r】) = f(r)【r】/r
ということですね.
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です。

 これに対して、「全重量が重心位置にある場合のモーメント」は、重心の x 座標を x0 とすると
  ρ*S*x0     (2)

(1)と(2)が等しくなるので
  ρ*S*x0 = ∫[0~1] ρ*x√(1 - x) dx

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a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

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は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

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ここに粒子を一個付け加えることを考える。
系が絶対零度であることを保ったまま粒子を一個付け加えるにはFermi面直上に付け加えるしかない。
つまり
 (粒子一個を温度を保ったまま付け加えるのに必要なエネルギー)
 ≡(化学ポテンシャル)
 =(Fermiエネルギー)
となる。

これで絶対零度の場合には理解できると思います。
有限温度の場合にはちょっと想像しづらくなりますね。


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