ばらつきのあるデータがあり、それを直線で結ぶと
小さくぎざぎざになります。全体としては、
曲線になり、ピークをもちます。そのピークの値を求めたい。
数学的に何かよい方法がありますか?
いままでは、グラフを書いて、目で見てピークを決定している
のですが。

A 回答 (3件)

カーブフィッティングを行うのが常套手段です。

もしカーブ全体の形が理論的に式で表され、その式の中に未知の定数が幾つか入っている、という状況であるなら、この理論式を当て嵌めてやります。
そんな式はない、という場合、データのピークがどんな格好をしているかによって、局所的な近似式をでっちあげて使います。なだらかで左右対称に近い形なら、たとえば放物線 y=A(x^2)+Bx+C をピークの前後大体数点~数十点のサンプルデータに最小二乗法で当て嵌めてA,B,Cを求め、この放物線の頂点をピークの位置とすれば良いでしょう。
サンプルを<t[j],f[j]> (j=1,2,.....) とし、当て嵌めの対象にする(ピーク近辺の)サンプルがj=K,K+1,.....,K+Nであるとします。
このとき、
ε[j] = A(t[j]^2)+Bt[j]+C - f[j]
と置いて、
S=Σ(ε[j] ^2)   (Σはj=K,K+1,.....,K+Nについての和)
とする。Sが最小になるようにA,B,Cを決めてやることは線形最小二乗法です。具体的には連立方程式
A Σ(t[j]^4)+ BΣ(t[j]^3)+ CΣ(t[j]^2) = Σ(t[j]^2)(f[j])
A Σ(t[j]^3)+ BΣ(t[j]^2)+ CΣ(t[j]) = Σ(t[j])(f[j])
A Σ(t[j]^2)+ BΣ(t[j])+ CN = Σ(f[j])
を解けば良い。ここにΣはいずれも(j=K,K+1,.....,K+N)についての和です。
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この回答へのお礼

カーブフィッティングという言葉をはじめて聞きました。
放物線の最小二乗法にあてはめるのをやってみたいと思います。
詳しい説明ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/20 22:42

ピークが何を差しているのかが、完全には分かりませんが


信号処理であれば、質問で上げられている曲線を最小自乗法等で
求めて、この曲線との差の2乗が最大の部位をピークとすれば
良いのでは?
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自信がありませんが、「ピークをもつ」と言うことは、例えば上に凸の曲線になるのでしょうか・・・?



近似曲線を求めて、表示させてピークを求めては如何でしょうか・・・?

補足お願いします。

この回答への補足

説明がうまくないのですみません。
そのとおり、凸の曲線になる。

補足日時:2001/10/20 22:34
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Aベストアンサー

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#1さんがすでにご指摘の通り、
三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
円であり、2点で交わるものとします。
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詳細は http://okwave.jp/qa3076718.html をご覧下さい。)

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すると、f1(x,y) = 0 かつ f2(x,y) = 0 ならば f3(x,y) = 0 が成り立ちます。
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の形で表すことが可能ではないかと思われます。
(上記の形ではパラメータが1つ多すぎるので、
不要なパラメータが含まれていると思います。)

#1さんがすでにご指摘の通り、
三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
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