正則行列の証明問題

問題は「Aがm次正則行列、Dがn次正則行列ならばに二のm×n行列Cに対し次の行列X,Y,Zは正則であることを示せ。またX^-1,Y^-1,Z^-1を求めよ。
X＝
｜A B｜
｜0 D｜
Y＝
｜A 0｜
｜C D｜
Z＝
｜B A｜
｜D 0｜
」
です。
証明は逆行列を求めて正則行列でないB、Cの逆行列が関与していないことを示すだけでいいですか？
解答がないんで確かめようがなくて困ってます。
よろしくおねがいします。

No.3 ベストアンサー 回答者： guuman 回答日時： 2005/07/29 16:37

Ｘについては言ったのでもう繰り返さない

Ｚについて
Ｚ＾－１＝
［ｂ　ａ］
［ｄ　ｃ］
とすると
［Ｂ　Ａ］［ｂ　ａ］
［Ｄ　０］［ｄ　ｃ］
＝
［Ｉ　０］
［０　Ｉ］
よって
Ｂ・ｂ＋Ａ・ｄ＝Ｉ
Ｄ・ｂ＝０
Ｂ・ａ＋Ａ・ｃ＝０
Ｄ・ａ＝Ｉ
（ただしＩはｍ次のものとｎ次のものがあるが煩雑なので同じＩを使った）

これは猿でも解けます
ａ＝Ｄ＾－１
ｂ＝０
ｃ＝－Ａ＾－１・Ｂ・Ｄ＾－１
ｄ＝Ａ＾－１

No.2 回答者： guuman 回答日時： 2005/07/29 14:39

X^-1=

[A^-1 -A^-1・B・D^-1]
[0 D^-1]

Xと掛けると単位行列になるのでXが正則であることが分かる

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
＃1さんのお礼 1→E の方が良さそうですね。

スペース入らないんで*入れてます
｜A B｜E 0** |×A＾-1
｜0 E｜0 D^-1|

｜E BA＾-1 ｜A＾-1 0 |
｜0 E***** ｜0**** D^-1 |


この先がわかりません。
よろしくおねがいします。

お礼日時：2005/07/29 15:05

No.1 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/07/29 14:36

その方針で結構です。

なお、m≠n ならば B, C の逆行列はありません。B, C が関与しないことは簡単に判りますね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
関与しないことを示すってのはわかったんですが、逆行列の求め方がわからなくなってしました^^;

｜A B｜1 0|
｜0 D｜0 1|
を変形すると
｜A B｜1 0|
｜0 D｜0 1|×D＾-1

｜A B｜1 0 |
｜0 E｜0 D^-1|

・・・？
改めてよろしくおねがいします。

お礼日時：2005/07/29 14:55