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長さLの軽い糸の一端を定点Oに固定し、他端に質量m
の小さな錘を結びつける。mが最下点にある状態で水平に初速v(0)を与える。鉛直線と糸の角度をθ、糸の張力をT,重力加速度の大きさをgとすれば、錘mの運動方程式は、(初期条件θ=0でv=v(o))

   向心成分: mv^2/L=T-mgcosθ …(1)  
   接線成分: mdv/dt=-mgsinθ …(2)

ここから、エネルギーの保存則
  1/2mv(0)^2=1/2mv^2+mgL(1-cosθ)…(3)
を導出するとき、「運動方程式の向心成分(1)は進行方
に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(2)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」
1/2mv^2=mgLcosθ+C (Cは積分定数)
  が得られて、初期条件よりエネルギー保存(3)
が導かれる。(ここまではわかります)
ここからが、疑問です。
 地球(質量M)の回りを人工衛星(質量m)が円軌道を描くときのエネルギー保存則は、(Gは万有引力定数)
    m/2v^2-GMm/r=E(一定)…(6)
です。
     運動方程式は、
   向心成分: mv^2/L=-GMm/r^2 …(4)  
   接線成分: mdv/dt=0      …(5)

「運動方程式の向心成分(4)は進行方向
に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(5)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」導けるはずなのに((3)の導出と同じ考え方だから)

しかし、この場合、(5)の右辺が0なので
 どうしても、直接(6)を導けません。

ご指導を宜しくお願いします。
 

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A 回答 (9件)

書き間違い


運動の-→ニュートンの-

m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
であって
m・|ξ'|^2/2-G・m・M/|ξ|=一定
ではありません
最初の式は衛星が地球と同じ大きさでも成立しますが後の式は衛星が十分小さくないと成立しません

向心力がどうのこうのといっていいますが
そんなものは考える必要は有りません

古典力学の基本法則は
・ニュートンの第2法則(運動の法則)
・ニュートンの第3法則(作用反作用の法則)
・万有引力の法則
だけですからこれからすべてを導かなければならず逆にこれだけによってすべては導かれるのです

他のケプラー等無価値な法則は数学で言えば定理であり前記基本法則たる公理から導かれるのです
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補足に対する答えです。


位置エネルギーが一定の時は速度も一定で運動エネルギーも一定です。速度が変わると軌道半径も変わり位置エネルギーが変化します。
位置エネルギーが一定であることは、運動エネルギーが一定であることを保障してるに過ぎません。
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m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定


であって
m・|ξ'|^2/2-G・m・M/|ξ|=一定
ではありません
最初の式は衛星が地球と同じ大きさでも成立しますが後の式は衛星が十分小さくないと成立しません

向心力がどうのこうのといっていいますが
そんなものは考える必要は有りません

古典力学の基本法則は
・運動の第2法則
・運動の第3法則
・万有引力の法則
だけですからこれからすべてを導かなければならず逆にこれだけによってすべては導かれるのです

他の無価値な法則は数学で言えば定理であり前記基本法則たる公理から導かれるのです
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人工衛星の場合、位置エネルギーが重力一定とみなせませんから(3)の導出と同じに成りません。


位置エネルギーを計算すると∫(-GMm/r^2)drのrから∞までの定積分で出ますから-GMm/r となります。
E=運動エネルギー + 位置エネルギーですから、
m/2v^2-GMm/r=E(一定)…(6)

と成ると思います。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。>人工衛星の場合、位置エネルギーが重力一定とみなせませんから(3)の導出と同じに成りません。しかし、円軌道の場合は位置エネルギーは一定です。ご指導をお願いします。

補足日時:2005/07/31 06:33
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 高校生の分際で申し訳ありません。



 僕も質問と、皆さんの回答を読んで疑問に思ったのですが
 「「運動方程式の向心成分(4)は進行方向に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(5)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」導けるはずなのに((3)の導出と同じ考え方だから)」
 のところですが、糸で結ばれている場合と、そうでない人工衛星では、異なるのではないでしょうか。
 ケプラーの第2法則は具体的に教わらなかったのですが(少し本を読みました)、この辺と関係があるのではないのでしょうか。

 ごたごた書きましたが、等しいはずと考え、両辺に乗算したことで、錯誤が生じたのではないかと思います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。人工衛星でも張力でも力の大きさが違うだけです。糸でなくても例えばクーロン力など張力と同じ働きを想定した場合も同様な結果になります。ご指導をお願いします。

補足日時:2005/07/30 21:42
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振り子の問題では錘が糸で固定され、向心方向に移動できません(もちろん向心方向の上向きには移動できますが)。

しかし、惑星の運動では、向心方向に動く可能性があり、向心方向の運動方程式を加味する必要がある。したがって、振り子の問題も向心方向を加味する必要があるが、たまたまこの場合はエネルギー保存則には影響を及ぼさない。また、惑星の場合も、r=(一定)がいえる(実際は惑星の運動は楕円軌道だからいえないが)なら、EにGMm/rを含めると、E=m/2v^2となる。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。糸でなくても例えばクーロン力など張力と同じ働きを想定した場合も同様な結果になります。ご指導をお願いします。

補足日時:2005/07/30 21:36
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-の書き漏らし



万有引力係数をGとし
地球の質量をMとし地球の慣性系からの位置ベクトルをRとし
衛星の質量をmとし衛星の慣性系からの位置ベクトルをrとすれば

衛星の運動式は
m・r"=-m・M・G・(r-R)/|r-R|^3
地球の運動式は
M・R"=-M・m・G・(R-r)|R-r|^3
である
ξ=r-Rとすると
ξ"=-G・(M+m)・ξ/|ξ|^3
である
これにξ'を内積して積分すると
(ξ')^2/2=G・(M+m)/|ξ|+C
よって地球の重心を原点とする非慣性系における衛星の保存則は
m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
である

この回答への補足

丁寧なご回答ありがとうございます。一般的(円軌道含めて)にやればやれば、運動方程式の両辺にvをかければ、m/2v^2-GMm/r=E(一定)…(6)を導けることはわかります。円軌道でない場合は接線成分が0でないので納得がいきますが、円軌道(向心成分は仕事はしない)接線成分のみが仕事をするはずなのに、結局、向心成分を利用しないと導けない理由を知りたいです。ご指導を宜しくお願いします。

補足日時:2005/07/30 21:20
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万有引力係数をGとし


地球の質量をMとし地球の慣性系からの位置ベクトルをRとし
衛星の質量をmとし衛星の慣性系からの位置ベクトルをrとすれば

衛星の運動式は
m・r"=m・M・G・(r-R)/|r-R|^3
地球の運動式は
M・R"=M・m・G・(R-r)|R-r|^3
である
ξ=r-Rとすると
ξ"=-G・(M+m)・ξ/|ξ|^3
である
これにξ'を内積して積分すると
(ξ')^2/2=G・(M+m)/|ξ|+C
よって地球の重心を原点とする非慣性系における衛星の保存則は
m・|ξ'|^2/2-G・m・(M+m)/|ξ|=一定
である
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ごっちゃになって、混乱しているのではないでしょうか?



人工衛星が円軌道を回っていると言った時点で、
rもvも一定ではないでしょうか?つまり、最初から(6)が成り立つ設定で始まっているのでは?

vは変化するというのなら、円軌道は描かず、向心成分も無視できなくなりますね。

この回答への補足

ご指導ありがとうございます。成り立つことはわかるのですが、初めの錘のエネルギー保存則は、接線成分(2)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて、運動エネルギー+位置エネルギー=一定を導くことが出来るのに、人工衛星の場合は、運動エネルギー=一定しか導けない。錘の場合には、位置エネルギーを含めて求まるのに、人工衛星の場合は、位置エネルギー含めて一定が出てこないので疑問に思いました。成り立つから成り立つという論理ではなく導けない理由が知りたいです。ご指導をお願いします。

補足日時:2005/07/30 12:44
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Q物理の質問です。力学です。

力学的エネルギー保存の法則って等加速度運動している物体についても成り立ちますか?

こういう疑問が浮かびがったのは、等速円運動している物体について力学的エネルギー保存の法則は使えるのかな?と思ったからです。
等速円運動は等速運動です。しかし等加速度運動でもあります。

どうなのでしょうか?

Aベストアンサー

>力学的エネルギー保存の法則って等加速度運動している物体についても成り立ちますか?

もしかして中学生ですか。
高校生であればこういう質問はしないと思います。
数学のカテに質問することもないだろうと思います。

高校の物理、力学でエネルギー保存則を一番よく使っているのは重力の元での運動についてです。
重力だけが働いている場での運動は等加速度運動です。
振子の運動や円運動にも使っています。これ等は等加速度運動ではありません。(向きが絶えず変わっていますから「加速度=一定」ではありません。)

力学的エネルギーの保存則は重力が原因で起こる運動には全て当てはまります。重力以外の力が働いている場合には当てはまる場合と当てはまらない場合があります。バネに働く力が加わっても保存則は成り立ちます。力学的エネルギーの内容に弾性エネルギーが付け加わります。
摩擦力が働く場合には力学エネルギーの保存則は成り立ちません。熱に移る分があるからです。その場合、「力学的エネルギーの減少分=発生した熱」とすれば力学エネルギーと熱エネルギーの和=一定ということになります。このようにして関係するエネルギーを全てあわせて考える場合は「エネルギー保存則」ということになります。

力学エネルギーは「エネルギーを仕事で定義する」ことから出発します。力を加えると物体の位置を変えることも加速する事もできます。
エネルギー保存則は運動とともに物体の位置が変わると速度も変わるということに対してまず出てきます。
高さに関してのエネルギー(位置エネルギー)と速度に関してのエネルギー(運動エネルギー)はそれぞれ変化しますが和で考えると一定であるというものです。これ以前に加速度一定の場合に速度や位置の変化はどのようになるかは学習していますのでエネルギーを定義しさえすれば和が一定であることは導くことが出来るのです。
したがって放物運動を考える分にはエネルギー保存則を使っても使わなくても問題を解くことができます。エネルギー保存則が成り立っていることはいつでも確めることが出来ます。

質問者様が中学生だとします。
もしかして「力学的エネルギー」と言われているものは「運動エネルギー」のことなのではないでしょうか。
(中学校でエネルギーをどのように扱っているか知りませんので推測です。でも上に書いたように重力加速度のものとで運動からエネルギー保存則を考えるという道筋であればこういう質問が出るはずがないと思うからです。)

その場合は導いたのではなくて、単に「保存する」という言葉が出てきただけだろうということになります。
(でも、そうだとしたら内容のない言葉です。速さだけで表されている量は速さが変わらなければ一定ですから当たり前のことなんです。法則でも何でもありません。)

放物運動、仕事、運動方程式、・・・をやっていないとしたらなぜ円運動のことを知っているのでしょうか。不思議です。

#1
>引っ張られる力のエネルギーと相対する遠心力の運動エネルギーはつりあっているはずです

エネルギーには釣り合いという考えは当てはまりません。
「釣り合い」は力についての言葉です。

>力学的エネルギー保存の法則って等加速度運動している物体についても成り立ちますか?

もしかして中学生ですか。
高校生であればこういう質問はしないと思います。
数学のカテに質問することもないだろうと思います。

高校の物理、力学でエネルギー保存則を一番よく使っているのは重力の元での運動についてです。
重力だけが働いている場での運動は等加速度運動です。
振子の運動や円運動にも使っています。これ等は等加速度運動ではありません。(向きが絶えず変わっていますから「加速度=一定」で...続きを読む


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