今、自分で逆三角関数について調べているのですが逆三角関数について詳しく書いてあるサイトを教えてほしいのですが…

例えば、逆三角関数の定義からそのグラフ、値の求め方など高校数学で理解できるように書いているサイトを教えてください。お願いします。

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A 回答 (3件)

サイトの紹介ではないのですが・・・


高校数学では逆三角関数を学習しないため、高校生向けの参考書などは少ないようですが、大学生が学習する微分積分学の本では次のものがお勧めです。

解析学序説上P25~28 (一松信 裳華房 1972年版)
解析概論P43~45(高木貞治 岩波書店 1964年版) 
いずれも微分の単元の一節ですが、微分の説明のところは飛ばしてもだいじょうぶです。

特に前者は説明が大変詳しくてよいと思います(定義・説明・グラフ・主値など)。高校生でも十分理解できます。ちなみに私も高校3年のとき、これで逆三角関数を勉強したことがありましたので。

ただ、両者とも値段が高い本ですので、まずは近くの図書館か大きい本屋さんで手にとって見るのも一法かと思います。

なお、グラフについてはgrapesなどの無料グラフ作成ソフトをダウンロードして活用するのがいいでしょう。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お役に立てば幸いです。
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逆三角関数は三角関数の逆関数で特に取り立てて説明するような事柄でないということで、あまり逆三角関数について、定義とか、値の求め方、グラフについて説明しているサイトがないと思います。



◆値の求め方については、参考URLをご覧下さい。(PDFファイルですので無料ソフトのAcrobat Readerをパソコンにインストールしておいてください。)

◆グラフについて
三角関数のグラフのx軸とy軸を入れ替えたものです。
y=xに軸対象異動したグラフと考えてのいいですね。

◆定義
逆三角関数が多価関数になるため、
一価関数として扱うため、yの範囲を原点付近の一周期だけを採用する主値というものを定義しています。

y=sin^(-1) x → |x|≦1, |y|≦π/2
y=cos^(-1) x → |x|≦1, |y|≦π/2
y=tan^(-1) x → |x|<∞,|y|<π/2
など

参考URL:http://www.osakac.ac.jp/labs/mandai/writings/Bi1 …
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http://www.hoku-iryo-u.ac.jp/~sadakata/math05/ma …

値は、y=sinxとx=arcsinyでは、xとyが入れ替わっただけですので、もとのsinの式に当てはめて求めます。
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Q逆三角関数の問題ですが、まったく理解できません。いつも初歩的な質問です

逆三角関数の問題ですが、まったく理解できません。いつも初歩的な質問ですみませんが、解説お願いします。
(1) cos^(-1) 3/5 - sin^(-1) 4/5
(2) tan^(-1) 1/2 + tan^(-1) 1/3
(3) sin^(-1)a + cos^(-1)a    (-1<a<1)
 
解答は (1) 0 ,(2) π/4 (3) π/2でした。

Aベストアンサー

逆三角関数は、ある三角関数の値に対して、その値に対する角度を返す関数だと考えると分かりやすいかもしれません。

(1)
cos(θ)=3/5になる角度θを考えます。
このとき、sin(θ)=4/5になります。
(sin^(θ)+cos^2(θ)=1から導くか、3:4:5の直角三角形を考えれば分かるかと思います)

つまり、cos^(-1)(3/5)=θ、sin^(-1)(4/5)=θとなるので、
(与式)=θ-θ=0
となります。


(2)
tan(α)=1/2となる角度α、tan(β)=1/3となる角度βを考えます。
すると、
tan^(-1)(1/2)=α、tan^(-1)(1/3)=β
となります。

ここで、
tan(α+β)
={tan(α)+tan(β)}/{1-tan(α)*tan(β)}
=(1/2+1/3)/{1-(1/2)*(1/3)}
=1
よって、α+β=π/4

(与式)=α+β=π/4
となります。


(3)
sin(α)=aとなる角度α、cos(β)=aとなる角度βを考えます。
すると、
sin^(-1)(a)=α、cos^(-1)(a)=β
となります。

これらを繋げると、
sin(α)=cos(β)
となります。

ここで、三角比の公式
cos(π/2-θ)=sin(θ)
より、
β=π/2-α
α+β=π/2
となります。

よって、
(与式)=α+β=π/2
となります。

逆三角関数は、ある三角関数の値に対して、その値に対する角度を返す関数だと考えると分かりやすいかもしれません。

(1)
cos(θ)=3/5になる角度θを考えます。
このとき、sin(θ)=4/5になります。
(sin^(θ)+cos^2(θ)=1から導くか、3:4:5の直角三角形を考えれば分かるかと思います)

つまり、cos^(-1)(3/5)=θ、sin^(-1)(4/5)=θとなるので、
(与式)=θ-θ=0
となります。


(2)
tan(α)=1/2となる角度α、tan(β)=1/3となる角度βを考えます。
すると、
tan^(-1)(1/2)=α、tan^(-1)(1/3)=β
となります。

ここで、
tan(α+β)
=...続きを読む

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そんな時間があったら 他の科目に使った方が賢明。
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>3.他に学習していて損はない数学の知識はないか。

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こんにちは。

とある問題集の、
∫{1 / ( (1-x^2) * (x^2+1)^(1/2) )}dx を計算せよ、という問題についていです。
解答を見たところ、x=tanθと置くそうなのですが、その計算において
(x^2+1)^(1/2) = ((tanθ)^2+1)^(1/2) = 1/cosθ としているところに
疑問を持ちました。
思うに、-π/2<θ<π/2 などの条件があるなら格別、そうでなければ
(x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ| と絶対値を付けるべきではないですか?

この問題集では、たとえば y = arcsin x でのdy/dx を求める際も、
siny = x ⇔ dy/dx * (cosy) = 1
⇔ dy/dx = 1/cosy = 1/(1-(siny)^2)^(1/2) = 1/(1-x^2)^(1/2)
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(おそらく、前者の積分問題に関しては)絶対値で場合分けしても、
答えは同じになると思うので、まあ省略したと納得できなくもないですが、
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このように、三角関数の逆関数微分、および置換積分の場合は、絶対値
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思うに、-π/2<θ<π/2 などの条件があるなら格別、そうでなければ
(x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ| と絶対値を付けるべきではないですか?

この問題集では、たとえば y = arcsin x でのdy/dx を求める際も、
siny = x ⇔ dy/dx * (cosy...続きを読む

Aベストアンサー

x=tanθと置くとき、xの定義域が(-∞,∞)とすると、θの値域を通常は(-π/2,π/2)ととります。
もちろん、(π/2,3π/2)にすることは出来ますが、(0,π)と取ることは出来ません。(この場合、x=0でθが連続でないために問題がある)

この解説を書いた人は暗に(-π/2,π/2)と置いてしまったのでしょう。
理解はできるのですがさすがに不親切です。


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