角BAC=45°である△ABCにおいてAP=1、角BAP=15°を満たす辺BC上の点Pが存在するとき、次の問いに答えよ。

・角APC=θとするとき、θのとりうる値の範囲を答えよ。

・△ABCの面積をSとするとき1/Sをθを用いて表せ。   
・Sを最小にするθの値を求めよ。また、そのときのSの値を求めよ。


どれかひとつでもわかったら教えてください。お願いします!

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (6件)

(1) θのとりうる範囲は 15°<θ<150° です。

これは、△ABCが3角形 として形成できる範囲として決まります。

(2) △ABCの面積Sは、△APCの面積S1と△ABPの面積S2の和になります。すなわち
    S=S1+S2
  です。そして、正弦定理から、
    AC=sinθ/sin(θ+30°)
  となります。したがって、AP=1 を考慮すると
    S1=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°)
  となる。同様にして
    AB=sinθ/sin(θ-15°)
    S2=(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°)
  となる。したがってSは
  S=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°)+(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°)
   =sin45°(sinθ)^2/{2sin(θ+30°)sin(θ-15°)}
  となり、1/Sは
    1/S=2sin(θ+30°)sin(θ-15°)/{sin45°(sinθ)^2}
  となる。

(3)Sを最小にする(したがって1/Sを最大にする)θを求めるスマートな方法が私には見つからない。そこで、かなり煩雑になるが、次のように正攻法で扱ってみる。
  まず、1/Sのθに対する微分を0にする(これは連続な関数が最大値をとるための必要条件である)ようなθを求める。次に、このθで1/Sが最大になることを確認する。さらにこの値をSの式に代入してSの最小値を求める。
d(1/S)/dθ=(2/sin45°)[{sin(θ+30°)cos(θ-15°)+cos(θ+30°)sin(θ-15°)}
×(sinθ)^2-2sinθcosθsin(θ+30°)sin(θ-15°)]/(sinθ)^4=0
  これが成立するためには、[ ]内の式が0であることが必要十分である。
  [ ]内の式の両辺を適当にわり算して、整理し、次の式を得る。
    {1/tan(θ-15°)+ 1/tan(θ+30°)}tanθ-2=0
  これに、加法定理を用いて展開し、整理すると次の式を得る。
   (1+(tanθ)^2){(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°} =0
  この式で、最初の因数は常に正であるから、結局、{ }内が0ということになる。すなわち、
    (tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°=0
  これからθを求めると、
    tanθ=2tan15°tan30°/(tan30°-tan15°)=1
    ∴ θ=45° (θのとりうる範囲を考慮してある)
  なお、この計算には、次の値を利用した。これは公式集などにも出ているし、2倍角の公式などを用いて導くこともできる。
    tan15°=2-√3, tan30°=√3/3
  このθのとき、Sが(最小値などでなく)最大値をとることは、幾何学的考察からわかる。(詳細な説明は省略)
  次に、面積Sの式に θ=45°を代入すると、面積の最大値は次のようになる。
   S=(sin45°)^3/{2sin75°sin30°}=(sin45°)^3/{2cos15°sin30°}
    =(1/√2)^3/{2×(√6+√2)/4×(1/2)}=1/(1+√3)=(√3-1)/2
  ここで、次の値を使用しています。
    cos15°= (√6+√2)/4
    • good
    • 0

(3)について、問題の趣旨とは違うと思いますが、座標設定で微分しても解けます。



すなわちAを原点、P(sqrt(3)/2,1/2),C(c,0), AB:y=xとしてBの座標とSをcを用いて表す。
このとき、c>(sqrt(3)-1)/2であるから(θの範囲の求め方と同じ考え)、
がちゃがちゃ計算するとSを最小とするのはc=sqrt(3)-1のときとなる。
PからACにおろした垂線をHとすると、CはHよりもA寄りにあって、tan(角CPH)=2-sqrt(3)より角CPH=15度(15度の直角三角形の辺の比として4:{sqrt(6)+sqrt(2)}:{sqrt(6)-sqrt(2)}は覚えておいた方がいいと思います)
よって、θ=45度、S={sqrt(3)-1}/4(終)

三角関数を使って計算しても綺麗になるのかなぁ?そっちは難しそうなのでやってないです。ごめんなさい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2001/10/29 20:33

blue_monkeyです。


確かに、miku0004氏の回答通り、θは15~150度です。
アホなアドバスをしてしまい申し訳ありませんでした。
ゴメンナサイ。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

いえいえ!どうもありがとうございました!!

お礼日時:2001/10/26 22:13

(1)15°<θ<150°


(2)1/S={(2√3+2)sin^2θ+(2√3-2)sinθcosθ-√3+1}/2sin^2θ
(3)面倒で~す。ぼちぼちやりま~す。

(1)は図かいてBCがACと平行になっちゃうときθ=150°,ABと平行になっちゃうときθ=15°です。
(2)正弦定理でAB,ACをθ及びAP(=1)で表し、S=(AB・ACsinA)/2で出したつもり
(3)うまいやり方ある?

てな感じで♪
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!参考になりました!!

お礼日時:2001/10/26 22:12

初めまして、blue_monkeyと言います。


以下の内容は読み捨ててください。

θの取りうる値は、0度から150度でしょうか?
お猿さんの野生の感ですぅ~。
(ユークリッド空間でのお話です。)
後の問題は、teika氏とred_snake氏におまかせしますぅ~。
θの取りうる範囲についても間違いがありましたら、訂正お願いいたします。

ウソがありましたらゴメンナサイ。
    • good
    • 0

まだ詳しくは解いていないので、方針だけ。


角度をθを使って全て表示できます。そうしたら正弦定理、余弦定理を使ってθだけの式をつくります。
それが出れば全て出来ます。
ちなみにAP=1は正弦定理が2つ成り立ちます。そして、2辺が出れば余弦定理に持ち込めます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございます!!
参考にしてやってみます!

お礼日時:2001/10/24 06:38

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q球体の面積と体積の関係

以前知り合いが球体の面積と体積について、「球体が何個か集まって面積が5倍になっても体積は5倍にならない」と言っていました。
5倍にならないのなら体積は何倍ぐらいになるのだろうかと最近疑問に思ったのですが、どれぐらいになるのでしょうか。
ご存知の方よろしくご教授ください。

Aベストアンサー

No.1一応補足。
No.1は一つの球体としての仮定です。

>ごろごろと球体があるだけではなく、5つの団子をくっつけて1つの団子にした場合というニュアンスだったと思います。
この場合「点」ではあれど、球と球は「接触」しており、この部分は「表面積」からは場外されます。
その為、接触状態の表面積は球5個が独立して存在する場合の表面積の合計より極小ながら少なくなります。
イメージしにくい場合は、まず面接触でイメージしてください。
同じ大きさの立方体が2個あった場合、二つの面を接触させ一つの直方体を作りだした場合、体積は二倍になりますが、双方の立方体の一つの面の面積は消失することになります。
完全な球体であれば、接触は極小の「点」になりますが、「接触」が発生すれば、「表面」としては現れることはなくなります。
これを考慮しなければ単純に表面積が5倍なら、体積も5倍になります。

Q次の図において、角BAC=75°、角BCA=67°、Oは三角形ABCの

次の図において、角BAC=75°、角BCA=67°、Oは三角形ABCの外心です。

x,yの大きさの求め方を教えてください。

初歩的な問題ですが、解き方が思い出せないのでご協力お願いします。

Aベストアンサー

Oは外心なので、OA、OB、OCの長さは同じです。
ということは三角形OAB、OBC、OACは全て二等辺三角形です。

ということで角OAC=角OCA=zと置くと、
x+z=75
y+z=67
だから
x+y=142-2z
で、三角形の内角の和は180度だから、
x+y=180-75-67=38
2z=104
z=52
したがって、
x=75-Z=23
y=67-z=15

Q面積&体積の求め方を教えてください。

恥ずかしながら、面積と体積の求め方&答えを教えてください><

お菓子を作りたいのですが、直径18cm、高さ4cmの正円の型のレシピを
直径6cmx高さ4cmの正六角形のセルクルで作りたいのです。
(何個取れるかが知りたかったんです)

そこで、直径18cm、高さ4cmの面積と、体積が知りたいのと、
直径6cm、高さ4cmの正六角形の面積と体積の求め方(答えも)を
どなたか教えてください。 
算数と数学は万年赤点スレスレでした><


誠にお恥ずかしい限りですが、どなたか宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

正六角形の直径とは、一番長い対角線部分と考えていいですね。

・円:直径18cm、高さ4cmの面積と、円柱の体積
   (面積)9×9×3.14=254.34(平方センチメートル)
   (体積)254.34×4=1017.36(立方センチメートル)
・正六角形:直径6cm、高さ4cmの面積、六角柱の体積
   (面積)3×(3/2)√3×(1/2)×6=(およそ)23.4(平方センチ)
   (体積)23.4×4=93.6(立方センチ)

円の面積を正六角形の面積で割ると、およそ10.9になりますから、
計算上では10個とれることになりますが、実際は正六角形をすきま
なく並べられないので、無理です。

六角形を直径6cmの円として作図したところ、その円は直径18cmの
円の中に7個かけました。六角形なら取り方をうまくすればもう1個
くらいとれるかもしれませんが、わかりません。

Qθの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)について

高校生です。
問題を解いてて、θの方程式cos3θ=cosθ(0°<θ<180°)の解法についてわからないところがあったので質問したいと思います。
三倍角、和積の公式を使った解き方とは別に、
3θ<θ+360°に注意して、3θ=360°-θ
という解き方ができるようなんですが、何が起こってるのかがよくわかりません。
3θ=360°×n±θ(nは整数)とだけ説明されているのですが、どういうことなのでしょうか。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと思います
(cosは単位円円周上のx座標なので、
同じx座標をとる角度なら、同じcos値になります。
よってcos(-θ) = cosθです)。
これより、x = -yの時もcosx = cosyが成り立つことになります。

先ほどと同様に、角度の世界では360°回転すると元に戻ります。
よってx = -y + 360°やx = -y + 720°、x = -y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = -y + 360°× nの時だとわかります。

(1), (2)よりx = ±y + 360° × nの時、
cosxとcosyは同じ値になります。

cosxとcosyの値が一致するのはどんな場合かを考えます。

(1) 角度が全く同じ時。
xとyが全く同じ角度なら、当然cosxとcosyは同じ値ですよね。
まずこれが基本です。

さらに角度の世界では、360°回転すると元に戻ります。
このことを考えるとx = y + 360°やx = y + 720°やx = y - 360°の時も
cosxとcosyの値が同じになるはずですよね。
ここからcosx = cosyとなるのはx = y + 360°× nの時だとわかります。

(2) 角度の正負だけが異なり、絶対値が同じ時。
cos(-θ) = cosθになるということは習ったと...続きを読む

Q面積&体積を教えて下さい。

AB=8cm,BC=6cmの長方形ABCDにおいて

(1)AC⊥DEのとき、DEの長さと△ADEの面積を求めよ。

(2)ABを軸として長方形ABCDを回転させてできる円柱の側面積S1と体積V1を求めよ。

(3)BCを軸として△ABCを回転させてできる円錐の側面積S2と体積V2を求めよ。円周率はπとする。


AC10cmから先は進みません~!
回答&解説をよろしくお願いします。
_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

半径rの円周の長さの公式は2πrなので、半径6の円の円周は、2π×6。S1はこれに高さ8をかける。

S1=2π×6×8=92π。

半径rの円の面積の公式はπr2乗なので、半径6の円の面積は、π×6×6.V1はこれに高さ8をかける。

V1=π×6×6×8=228π。

3)
高さ6cm、底面の半径が8cmの円錐になる。

S2は円錐を展開した場合の扇型の面積。

半径r、母線lの円錐の、扇形の面積はπlr。

円錐の母線の長さは辺ACなので10。底面の半径は辺ABなので8。

S2=π×8×10=80π。

V2は円錐の体積。

半径rの円が底面、高さhの円錐の体積は、1/3×πr2乗h。

高さは辺BCなので6。底面の半径は辺ABなので8。

V2=π×8×8×6÷3=128π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

...続きを読む

Qsinθ +cosθ =1/3 (0°≦θ≦ 180°) のとき、 s

sinθ +cosθ =1/3 (0°≦θ≦ 180°) のとき、 sin^2θ -cos^2θ の値。


この値の求め方がわからないので、わかる方は教えてください。

sinθcosθ=-4/9

sinθ-cosθ=√17/3 (3分のルート17)

であることは、求めることができました。

Aベストアンサー

sin^2θ -cos^2θ =(sinθ +cosθ)(sinθ-cosθ)
         =1/3 × √17/3
=√17/9

これんな計算でいいんじゃないのでしょうか

Q相似形の体積比、面積比

相似形の面積比は相似比の2乗
面積比がわかっていて相似比を出したいときは√面積比でいいのはわかりますが、

相似形の体積比は相似比の3乗
この場合、体積比がわかっていて相似比を出したいときはどうするのでしょうか?

何方か教えてください><。

Aベストアンサー

例えば体積比が1:27の相似な立体の相似比は1^3:3^3より1:3ですね。
逆に考えればいいんですよ。

Q角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を

角θは、0<=θ<=Πにおいて、絶対値(2cosθ+sinθ)<=1を満たすとする。

1、sinθのとる値の範囲を求めよ。
2、cosθ+sin2θのとる値の範囲を求めよ。

この問題がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5))=-4/5
sinθ=-(2/5-1)=3/5
 sin(2θ)=2cosθsinθ=-24/25
最小値f((3/2)π-2arccos(1/√5))=(3/5)-(24/25)=-9/25
∴-9/25≦cosθ+sin(2θ)≦0

グラフを描いて、それをみながら計算を進めないと
解くのが難しいかと思います。

1
y=2cosθ+sinθ=√5sin(θ+a)
ここで cos(a)=1/√5,sin(a)=2/√5 (π/3<a<π/2)
π/3≦θ+a≦π+a<3π/2の範囲で
|y|≦1を満たすθの範囲は
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
このとき
1≧sinθ≧-cos(2arccos(1/√5))=-(2/5-1)=3/5

2
cosθ+sin(2θ)=f(θ)とおくと
π/2≦θ≦(3/2)π-2arccos(1/√5)
の範囲では
θ=π/2で f(θ)は最大となり,最大値f(π/2)=cosθ+sin(2θ)=0
θ=(3/2)π-2arccos(1/√5)で最小となり
このときcosθ=-sin(2arccos(1/√5...続きを読む

Q球の体積、面積

球の体積を微分すると、面積になると思うのですが、面積を微分するとどのような形になるのでしょうか。

Aベストアンサー

おはようございます。

#1様のおっしゃるとおりですが、下記のような考え方でよいのではないかと思います。


2年ぐらい前に私が投稿した回答文をご参照ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2004787.html

ある緯度の、微小な長さを経度φで積分すれば、
(ボールを輪切りにしたときの)1つの円周 2πr・cosθ となり、
それを緯度θで積分すれば、すべての円周の合計、すなわち、球の表面積になります。

球の表面積を半径rの方向に積分すれば、球の体積になります。


微分は積分の逆として考えればよいので、下記のようになります。



球の中心を原点とした極座標(r,θ,φ)で考えるとき、

体積をrで微分すれば、表面積。
(体積は4πr^3/3、表面積は4πr^2 ですから、合ってますよね?)

表面積を緯度θで微分すれば、ある緯度θにおける1周の経線の長さ(1つの円周の長さ)。


といったところでしょうか。

Qsinθ +cosθ =1/3 (0°≦θ≦ 180°) のとき、 s

sinθ +cosθ =1/3 (0°≦θ≦ 180°) のとき、 sin^2θ +cos^2θ の値。


この値の求め方がわからないので、わかる方は教えてください。

sinθcosθ=-4/9

sinθ-cosθ=√17/3 (3分のルート17)

であることは、求めることができました。

Aベストアンサー

直角三角形にて
縦辺 a
横辺 b
斜辺 √a^2+b^2

 sin^2θ+cos^2θ
=(a/√a^2+b^2)^2+(b/√a^2+b^2)^2
=a^2/a^2+b^2+b^2/a^2+b^2
=a^2+b^2/a^2+b^2
=1


人気Q&Aランキング

おすすめ情報