全射・部分写像の個数の問題

締切済

質問者：kanami_6_18
質問日時：2005/08/08 18:20
回答数：2件

A={a1,a2,a3,a4}、B={b1,b2,b3}、C={c1,c2,c3}
を考えたとき、以下のものは何通りあるかを求めよ。
(1) AからBへの写像
(2) BからAへの単射
(3) BからCへの全単射
(4) AからBへの全射
(5) AからBへの部分写像

という問題の、(4)、(5)がよくわからないのです。
(1)は 3*3*3*3 = 81、
(2)は 4*3*2 = 24、
(3)は 3*2*1 = 6、
(4)は 3*2*1*3 = 18、
(5)は 4*4*4*4 = 256、
と解いて、(1)～(3)は正答と一致したのですが、(4),(5)が違うのです。
ちなみに正答は(4)が36、(5)が空集合を含めて121、となっています。
どこが間違っているのか、ご指摘頂けると幸いでございます。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： Landolt
回答日時：2005/08/08 22:45

(4)は、「f(a4)と、f(a1)、f(a2)、f(a3)のいずれかが同じになる」

と考えたところがまずかったのではないかと推測します。

例えば
　f(a1) = f(a2) = b1
{ f(a3) = b2
　f(a4) = b3
という場合があります。

(5)は…
ごめんなさい。部分写像の定義がわかりませんでした。

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No.1

回答者： tatsumi01
回答日時：2005/08/08 18:39

(4) ですが、Ａを３個の空でない部分集合に分け、それをＢに１対１対応させと考えます。

前者は４個から２個を取る組み合わせですから６通り。後者は３！で６通り。

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　　ケース１）｛（ａ，ｂ），ｃ，ｄ｝
　　ケース２）｛（ａ，ｃ），ｂ，ｄ｝
　　ケース３）｛（ａ，ｄ），ｂ，ｃ｝
　　ケース４）｛（ｂ，ｃ），ａ，ｄ｝
　　ケース５）｛（ｂ，ｄ），ａ，ｃ｝
　　ケース６）｛（ｃ，ｄ），ａ，ｂ｝
　
　　これら６個のケースは、すべて要素が違う集合と考えても構いません。Ｙの三つの要素の位置に、これら６ケースごとで、三つの要素を入れて行く（対応させて行く）ことを考えると、これが、Ｘ→Ｙの全射になります。６個のケースで、三つの要素の順列を入れ替えても、６個のケースで、同じ、重複した順序はできません。
　
　　従って、Ｙの三つの位置に対する順列を取ると、３・２・１＝６で、これと、ケースの数６をかけると、６・６＝３６になり、これが、答えです。
　
　　注記）六個のケースの三つの要素（二つの要素の組み合わせで、一つの新しい要素を造っていることに注意）の順列をどう入れ替えても、６個のケース全体で、同じ重複した組み合わせはできないというのがポイントです。「二重要素」を定義しているので、重複が排除されるのです。
　

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>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
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　ですから、g(3)=5,g(4)=5,g(5)=5のような写像は全射ではないわけです。（Yの6がどれにも対応づけられていない）
(3) 写像f:A→B,写像g:B→Cが与えられているとする。ことのき、∀a∈Yに対して、集合Cの元cをg(f(a))で定めること。このとき、写像h=g○fで表す。
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こんにちは。

＞＞＞
１．f(m)=4m+6
関数の逆写像を求める場合は、n=4m+6をmについて解けば良いのでしょうか？
n-6=4m, m=(n-6)/4。したがって、f^-1(m)=m/4-3/2？で宜しいでしょうか？

それでいいです。
逆関数です。

＞＞＞
２．f(m)=m^3-2
上のやり方が正しければ同様にn=m^3-2, n+2=m^3。mの３乗ってこの先どうにか出来るんでしたっけ。

3√（ｎ＋２）　と書けばよいです。実数のみですからね。
（ｎ＋２）^(1/3)　とも書けます。
です。

＞＞＞
あと、逆写像は、y=xの線を隔てて対称的な線を描く、という認識は正しいでしょうか。

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なので，

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この「f^(-1) (H)」を「写像fに対する H の逆像」とか「写像fに対する H の原像」とかよぶんだと記憶してます．
要するに，原像と逆像は同じ意味だったはず．