マンガでよめる痔のこと・薬のこと

「解析学序説」上(一松信)p77の不定積分∫(sin x)^(-4)(cos x)^(-2)dxに挑戦してみました。I(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を何回か使うと結果が出るのですが、私の出した式と巻末解答とがあまりに違いすぎるのです。

(1)  I(-4,-2)=1/(((sin x)^3)cos x) - 4cos x/3(sin x)^3 - 8cos x/3sin x
(私が出した解答、または通分すると(2)になります)

(2)  (3 - 12(cos x)^2 + 8(cos x)^4)/(3(sin x)^3)cos x

ところが、巻末解答は次のようです。

(3)  -1/(3((sin x)^3)cos x) - (8/3)cot 2x  
* 巻末解答には、8/3(正)と3/8(誤)の誤植があります。

(2)と(3)とはかなり違った形をしていますが、(3)を2倍角の公式を使って計算していくと(2)になりますので、一件落着というわけですが、どうも気にかかることがあります。

## I(m,n)=∫(sin x)^m(cos x)^ndxの漸化式を使うとまず、(1)に到達するのではないでしょうか。すると(1)から(2)を出すのは簡単としても、(2)から同値変形をしていって(3)に達するのはかなり大変な作業ではないかと思われるのになぜ、(1)または(2)で止めなかったのか不思議です。

なお、岩波全書の「数学公式1」 P183も丸善の「数学大公式集」(大槻義彦 訳、1983年)P139も I(-4,-2)を上の(3)で与えてあります。わざわざcot2xにする必要はあるのでしょうか?

何か全く別の観点からの算出という感じがしてならないのですが、思い過ぎでしょうか?

ご指導、よろしくお願いいたします。

A 回答 (2件)

導出は自然だし,その方法でよいと思います.


解答をどこまで整理するか,あるいは,そもそもより整理された形とは何なのかは突き詰めると好みの問題ともなってくるので,「こうするのがよい」とはなかなか言えないのですが,ここでは積分値が(1)の形で得られ,これをもう少し整理したいと思って,(3)に至るまでの手順を書いてみたいと思います.括弧が増えてしまうので (sinx)^2 を sin^2x と書きます.

まず,前の2項の分母に sin^3x が共通してい(て,しかも 1-cos^2x の形にな)るので,これを通分します.
1/(sin^3x cosx) - 4cosx/(3sin^3x) - 8cosx/(3sinx)
= ( 3-4cos^2x )/( 3sin^3x cosx ) -8cosx/(3sinx)
ここで 3-4cos^2x を -1+4sin^2x とみます(3sin^2x-cos^2x とみてもそれなりにきれいにはなります).

= -1/(3sin^3x cosx) +4/(3sinx cosx) -8cosx/(3sinx)
次に後ろの2項を通分すると,

= -1/(3sin^3x cosx) +4(1-2cos^2x)/(3sinx cosx)
すると-1+2cos^2x=cos2x,sinx cosx=sin2x/2から,第2項が tan2x でまとめられると分かります.

= -1/(3sin^3x cosx) -8/(3tan2x)

1/tanx とするか cotx とするかは好みの問題だと思いますが,分数式を避けてcotにするのも自然でしょう.
このように4,5行の計算で(3)には至るのですが,問題として解くだけなら,このようなある意味余計な計算をしてまで整理する必要はないと思います(しかも整理の方針があまり必然的でない).
ただ,教科書や公式集に載る結果は,より短く表す方法を試行錯誤して得られた「練られた」表記で,教科書をみていると,今回のように,一見,整理の方針は見えないのだけれどやってみるとうまくいく,という場合でも,あたかもそれが自然な結果であるかのように涼しい顔をして,何も断らずに整理された結果を載せている,ということもよくあります.
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この回答へのお礼

ていねいな式の展開、sinのかっこのしかたなど、大変ありがとうございました。

>このように4,5行の計算で(3)には至るのですが,問題として>解くだけなら,このようなある意味余計な計算をしてまで整理>する必要はないと思います(しかも整理の方針があまり必然的>でない).


>ただ,教科書や公式集に載る結果は,より短く表す方法を試行>錯誤して得られた「練られた」表記で,教科書をみていると,>今回のように,一見,整理の方針は見えないのだけれどやって>みるとうまくいく,という場合でも,あたかもそれが自然な結>果であるかのように涼しい顔をして,何も断らずに整理された>結果を載せている,ということもよくあります

詳しい説明をしていただきまして感謝いたします。これで胸がすっきりしました。数学の本の著者の舞台裏はなかなかわからないものですから。

重ねて、ありがとうございました。

お礼日時:2005/08/16 07:27

んー、確か数学でも算数でも



「より簡易にあらわす方法があればそうするべきである」

というのが暗黙の了解だったような気がするんですが・・・
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この回答へのお礼

>「より簡易にあらわす方法があればそうするべきである」

ということはわかるのですが、上の(2)から(3)への変形がどういうポリシーの則ってのことかわからなくなりまして質問した次第です。

早速のコメントを感謝いたします。

お礼日時:2005/08/13 11:22

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