三次方程式の一般解を教えてください

aX^3+bX^2+cX+d=0 の時,

X=?

解を係数a,b,c,dで表現してください.どっかで前に見たことがあるのですが
思い出せません.お願いします.

A 回答 (2件)

私は3次方程式の解と係数の関係を書きます。


解をα、β、γとする。
α+β+γ=-b/a
αβ+βγ+γα=c/a
αβγ=-d/a

一般解を使うよりこの関係で解く方が一般的だと思います。
覚えておいても損は無いものです。
ちなみに関係が思い出せなくても、(x-α)(x-β)(x-γ)=0を展開し、恒等式としてみればできま。

一般式が知りたいのであれば下記サイトを参考にどうぞ。

参考URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis/6937/inde …
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以下のURLは、3次方程式の解だけでなく数学に関するものがたくさんあります。



参考URL:http://www.geocities.co.jp/Technopolis/6937/inde …
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Q3次式「aX^3+bX^2+cX+d=0」の一般解(実数で)を誘導したいのですが,どうすればよいのでしょうか?

当方,応力の6成分を用いて,主応力成分を3つ求めたいと考えております.
3×3行列を対角化する演算を行うことになると考え,計算するうちに3次式を解く必要が出てまいりました.

3次式の解の公式を試しておりまして,
「a=1, b=-6, c=11 d=-6 → (x-1)(x-2)(x-3)=0を想定」の解は,理論どおりx=1,2,3と計算できたのですが,
「a=1, b=-13, c=47 d=-35 → (x-1)(x-5)(x-7)=0を想定」の解は,理論どおりのx=1,5,7とは,うまく計算できておりません.

また,最終的にはプログラムを構築する予定ですが,
Newton法やヤコビ法などのような収束計算を用いる方法は,計算コストの関係上あまり使用したくないと考えております.

ご教授の程,よろしくお願いいたします.

Aベストアンサー

双曲線関数を使ったアルゴリズム:
a X^3 + b X^2 + c X + d = 0 を Y = X + b/(3a) で置換すると、
4 Y^3 + p Y + q = 0 (p,q は定数) という形に変形できる。
更に Y = R sinh Z で置換すると、三倍角公式を使って
sinh(3Z) + q/R^3 = { 3 - p/R^2 }(sinh Z) と変形される。
3 - p/R^2 = 0 となるように R を定めれば、
sinh(3Z) = -q/R^3 となる。
ここで、sinh の逆関数を使って 3Z を求め、
sinh Z から X へとたどるのでは、超越的な計算になってしまう。
sinh z = (e^z - e^-z)/2 により、sinh(3Z) = -q/R^3 を
e^(3Z) に関する二次方程式と考えると、代数的計算だけで
e^(3Z) が求まる。実数の三乗根をとれば e^Z が得られるので、
sinh Z も計算できる。
途中、平方根と三乗根を使うから、計算機の上では
やはり収束計算が必要になってしまうけれども。

双曲線関数を使ったアルゴリズム:
a X^3 + b X^2 + c X + d = 0 を Y = X + b/(3a) で置換すると、
4 Y^3 + p Y + q = 0 (p,q は定数) という形に変形できる。
更に Y = R sinh Z で置換すると、三倍角公式を使って
sinh(3Z) + q/R^3 = { 3 - p/R^2 }(sinh Z) と変形される。
3 - p/R^2 = 0 となるように R を定めれば、
sinh(3Z) = -q/R^3 となる。
ここで、sinh の逆関数を使って 3Z を求め、
sinh Z から X へとたどるのでは、超越的な計算になってしまう。
sinh z = (e^z - e^-z)/2 により、sinh(3Z...続きを読む

Qax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+

ax^3+bx^2+cx+d=0がα、β、γを解に持つならばax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と変形できることを示せ。

Aベストアンサー

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。
この多項式が根 x=β を持つとき…

…と繰り返してゆけば、
n 次多項式は n 個の一次式で割り切れ、
最後の商は定数式になる。
(根の存在自体は代数学の基本定理によるが、
質問の例では解の存在が仮定されているから、
その点は気にしなくてよい。)

最後の商を何か未定係数で置いて
一次式の積を展開してみれば、
最高次の係数の比較から、それが a であると判る。

証明の流れを見れば解るように、
これは、α,β,γ の中に同じものがあっても、
それを重解とみなせば、成り立つ。

因数定理を証明しろってことなのかな?

z の多項式 f(z) が根 z=0 を持つとすると、
f(z) は 定数項が 0。よって、z で割り切れる。
定数項が 0 であることは、
f(z) を z の降冪または昇冪に整理して、
z=0 を代入してみれば判る。

x の多項式 F(x) が根 x=α を持つ場合は、
F(α+z) を z の多項式と見て、
上の補題を適用すれば解る。
F(α+z) が根 z=0 を持ち、z で割り切れるので、
z = x-α を代入すれば、
F(x) は x-α で割り切れている。

F(x) が x-α で割り切れれば、
F(x) / (x-α) は x の多項式である。...続きを読む

Qx^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつとき、定数a,bの値と他の解を求めよ。
(答)a=4,b=-28,他の解はー8

この問題について説明をお願いします。

Aベストアンサー

x^3+ax^2+bx+3a+20=0が2重解2をもつ、とは
上の式を因数分解すれば
(x-2)(x-2)(x-N)=0 ・・・(1)
となるということです。
従って、(1)式を展開して
x^3-(N+4)x^2+4(N+1)x-4N=0
これと最初の式の係数を比較すれば
a=-N-4
b=4(N+1)
3a+20=-4N
この連立方程式を解けば、他の解Nとa,Bの値が求まります。

Qxについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,

xについての方程式x^3+ax^2+bx+8=0が3つの実数解α,β,γ(α<β<γ)を持ち、それらがある順序で等比数列をなし、また、ある順序で等差数列をなす。このとき、定数a,bおよびα,β,γの値を求めよ。

解答には、α<β<γよりα,β,γの順に並んでいる。
     等差数列だから2β=αγ,等比数列だからb^2=acとなる。
     等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなけ     ればならないみたいです。

     これと、解と係数の関係よりα+β+γ=-a
                  αβ+βγ+γα=b 
                  αβγ=-8を使って解くみたいなんですが、こっから代入しまくるら     しいんですが、どうに始めて最後まで解けばいいかわかりません。
     わかる方いましたら、ぜひ教えてください!!お願いします!! 

Aベストアンサー

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(α+2)*(β+2)*(γ+2)=0 つまり 少なくても1つの解は -2であるから原式に代入すると、b=2a ‥‥(2)

同様にして、等差数列の場合も 2γ=α+β、or、2β=γ+α、or、2α=β+γ であるから (2γ-α-β)*(2β-γ-α)*(2α-β-γ)=0 ‥‥(3)
α+β-2γ=(α+β+γ)-3α=-(3α+a)等より、(a+3α)*(a+3β)*(a+3γ)=a^3+3(α+β+γ)a^2+9(αβ+βγ+γα)a+27αβγ=0.
解と係数から、2a^3-9ab+216=0 → (2)から a^3-9a^2+108=0‥‥(4)
(4)を因数分解すると、(a+3)*(a-6)^2=0 となる。 以下、省略。

こういう場合は、出来るだけ“対称性”を使った方が良い。

>等差数列の考えはこれで良いが、等比の場合b^2=acとa^2=bcとc^2=abという3通りを考えなければならないみたいです。

そんな事はない。

条件から、α^2=βγ、or、β^2=αγ、or、γ^2=αβ。
従って、(α^2-βγ)*(β^2-αγ)*(γ^2-αβ)=0 ‥‥(1) である事が必要十分条件。
αβγ=-8 からαβ=-8/γ、βγ=-8/α、αγ=-8/β であるから (1)に代入すると (α+2)*(β+2)*(γ+2)*(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)=0となる。
(α^2-2α+4)*(β^2-2β+4)*(γ^2-2γ+4)>0 より(...続きを読む

Qf(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d

f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + dのグラフが原点に関して対称であることを証明せよ。
aは0ではない。
の問題がわかりません。

Aベストアンサー

正しくない命題を証明しろといっても、誰も証明することは出来ないよ。

y=f(x)が原点対称である定義は習っていませんか?
定義は
-f(-x)=f(x)
です。
つまり
 f(x)-(-f(-x))=0
すなわち
 f(x)+f(-x)=0
が恒等式であることです。
これが任意のa(≠0),b,c,dについて成り立たないことは明らかです。

(参考)
問題が、「原点対称であるための係数条件を求めよ」という問題であれば
その答えは「b=d=0」となります。


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