ある1面だけに印のついた立方体が水平な平面に置かれている。平面に接する面(底面)の4辺のうち1辺を選んでその辺を軸にしてこの立方体を横に倒す、という操作を行う。ただし、どの辺が選ばれるかは同様に確からしいとし、印のついた面が最初は上面にあるとする。この操作をn回続けて行ったとき、印のついた面が立方体の側面にくる確率をAn,底面にくる確率をBnとおく。

1、A2を求めよ
2、An+1とAnの関係式を導け
3、Bnをnの式で表し、limBn(n→∞)を求めよ。

以上をお願いします。

A 回答 (2件)

1. 1回目の試行で、印のある面は必ず側面になります。


展開図で書けば
 □
□底■□
 □
となります。
次の試行では「底」とある面の右側の辺、あるいは左側の辺を軸に倒すと■の面は新たに底、または上になります。
「底」面の上側の辺、または下側の辺で倒したなら■の面は側面のままです。
(■が他の場所にあっても同様に、底面の4辺のうち2辺もどちらかが軸になる場合は側面のまま、もう2辺のどちらかが軸になる場合は上か下を向きます)

ですから確率としては1×1/2で A2=1/2ということになります。

2. ■が側面に来た場合、次の試行でも側面に留まる確率は1/2です。一方■が上面か底面にあったときは確率1で必ず側面に回ります。
従って
An+1=1/2An+(1-An)=1-1/2An   (1)
です。(1-An)はいうまでもなく、■の面が上か底に来ている確率です。

3. n+1回目で底面に来るためには、n回目では■面は必ず側面になくてはなりません。
側面にあった場合、次に下を向く確率は1/4です。(■面と底面が共有する辺を軸に回転した場合。それ以外では側面のままか、上を向く)
ですから
Bn+1=1/4An   (2)
です。

Anに関する漸化式(1)を解けば、Anの一般項は(-2/3)×(-1/2)^n+2/3であることが分かります。(A1=1, A2=1/2となることを確認下さい)
これよりBnは
(1/3)×(-1/2)^n+1/6
と求められます。(B1=0, B2=1/4などで検算してみてください)

従ってlim(n→∞)Bn=1/6です。
題意の立方体を規則に従って何回も何回も転がせば、印のある面が最初にどこであったとしても、最終的にはどちらを向く確率も等しく1/6に近付くということは直感的に理解できると思います。
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AnをA(n)と書きます。


1.について
A(1)=1ですね。どの4辺を選んでも印のついた面は側面にくるからです。
A(2)は4辺のうちの2辺を選べばいいからA(2)=1/2
(どの2辺かはよく考えてください。)

2.について
A(n+1)
=(n回目に印のついた面が側面にあって、かつ、n+1回目も印のついた面が側面にある確率)
+(n回目に印のついた面が側面になくて、かつ、n+1回目に印のついた面が側面にある確率)
=A(n)×1/2+(1-A(n))×1

3.について
B(n+1)
=(n回目に印のついた面が側面にあって、かつ、n+1回目に印のついた面が底面にある確率)
+(n回目に印のついた面が側面になくて、かつ、n+1回目に印のついた面が底面にある確率)
=A(n)×1/4+(1-A(n))×0

これによってB(n)が分かるから極限値も分かりますね。
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これを、(1)に代入すると、kb(n+1)=(2k+3)bn
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よろしく、おねがいします。





 
 

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(No.2 が、スマートですが…)

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途中で見失ったからでしょう。

(3)を満たす全てのα,βを求める義理はないので、
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…ということで立てただけの式です。
もし、
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|1/bnー1/b|=|bnーb|/(|bn||b|)<2ε/|b|^2 (n≧max(N,N´))

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