放物線y2=4x(yの2乗)の直交する二接線の交点の軌跡を求める問題です。
この放物線は分かるんですけど、直交する二接線の交点が良く分かりません。
この軌跡はどうなるのでしょうか。教えてください。

A 回答 (1件)

求める軌跡を動く点を(X,Y)として、このX,Yが満たす条件を


求めます。

まず、その2つの接線を方程式に表します。
で、その2つの接線の傾きをかけると,直交してるので、-1になります。
これが一つ目の条件です。

さらに、求めた2つの接線は(X,Y)を通るので、それらの方程式に
(X,Y)をいれてやれば式が2つ出来上がります。
これで条件が3つそろったので、X,Yの間の関係式が
未知数なしの状態で記述できるはずです。

えと、実際には解いてないので、ホントにあっているか確信は
もてませんけど、多分こんな手順でいいと思います。
がんばってくださいねー
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この回答へのお礼

放物線の公式から一次関数の定数をもとめて、2つの方程式をつけて解いたらできました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/28 03:53

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上記の問題で解き方が腑に落ちず困っています。理解された方、教えていただきたいのですが、

回答では、Bはy軸の交点にあることから、x=0であるので、接点の方程式に代入すると、
y=y−xy'
となり、線分ABは二等分されるのでA,Bのy座標の絶対値は等しい、とありました。
しかし、その後の式で、
y−xy'=−y
とありましたが、上記右辺の−yはBのx=0をy−xy'へ代入したものであると考えているのですが、
なぜ接線の方程式にBのx=0を代入し、y座標y−xy'を求めた後、その後再びy−xy'へx=0を代入しているのでしょうか?

説明が長くて申し訳ないです。
みなさんにお力を貸していただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あー、主さんは曲線上Aの座標(x、y)とAのところの接線の上の座標を混同していますね。
Aのところの接線の方程式はx、yとはちがうX、Yをつかわなくてはならない。
これを使うと、接線の方程式は、A(x、y)を通り、傾きy'の直線だから、
Y―y=y'(X―x)、これからBのy座標は左の式にX=0を入れて
Y=y―xy'・・・① と出てくる。
そして、このy切片Yは条件からAのy座標yと真反対だからY=―y、これを①に入れて
―y=y―xy'・・・②

この①②のことを解説の式は言っていますよ。

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b=±√(a^2m^2+b^2)から接線の方程式y=mx±√(a^2m^2+b^2)を求めました。もう一方の方程式は傾きが-1/mであることから、y=-1/m・x±√(a^2/m^2+b^2)を求めました。この2つの方程式から、
x={±√(a^2/m^2+b^2)∓√(a^2m^2+b^2)}/(m+1/m)
y={±m√(a^2/m^2+b^2)∓1/m・√(a^2m^2+b^2)}/(m+1/m)
となり、mを消去しようとしたのですが、なかなかうまくいきません。
アドバイスの程お願い致します。

Aベストアンサー

計算は煩雑だが、考え方は至ってsimple。
何で難しく考えるんだろう、回答者も。。。。。。。w

2接線の交点を(α、β)とすると、その接線は y=m(x-α)+β であらわせる。
この接線を与えられた楕円の方程式に代入すると、(a^2*m^2+b^2)x^2+2a^2*m(β-mα)x+a^2(β-mα)^2-(ab)^2=0。
これが接するから 判別式=0 → (a^2-α^2)m^2+2αβm+(b^2-β^2)=0.
2つの接線が直交するから、mの方程式の2解の積=-1 である。
(b^2-β^2)/(a^2-α^2)=-1 つまり α^2+β^2=a^2+b^2。
これを流通座標に直すと、 x^2+y^2=a^2+b^2。
但し、a^2-α^2≠0から、x≠±a。

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自分はそのまま2a^2-10だと思ったのですが
何故ACの値が10-2a^2となるのか分かりません。
解説宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

点A、BはP、Qより内側にありますね。ということは点C、Dのy座標(2a^2-10)は負になります。
ACの長さは距離ですから正であるひつようがあるので2a^2-10の絶対値を取っているのです。

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Aベストアンサー

No.2 おっとと、こっちもミスした。足し算間違えた。

y=2x² - 10x + 12

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Aベストアンサー

囲まれる部分のグラフを描いて見ましたか?

そうすれば、積分をy軸方向に行えば一回の積分でSが求まります。
S=∫[0,1] (√y-(2(y^2)-y))dy
=1/2
途中の積分は簡単ですからやってみて下さい。

なお、x軸方向に積分を行おうとすると面積を3つに分けて3回積分して加えて引くといった事をしないといけません。
或いはy=xの直線で面積領域を2つに分割してx方向とy方向の積分の和としてSを求める方法もあります。
最初の積分なら一回の積分だけでSが求まります。


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