僕は大学入試に向けてちょっとだけ頑張ってる受験生なのですが、(笑)
運動方程式等に関して質問があります。

ある先生に聞いた話なんですけど、
『エネルギー保存則も運動量保存則も運動方程式が元であり、変形したり積分したりすれば運動方程式から導くことが出来る』んですよね??

だから気になって、ホントかな~と思っていろいろ変形してたら

  ma=F
  m(Δv/Δt)=F
  mΔv=FΔt

『おぉ、これは確かに力積とか運動量保存則っぽい!』
ってなったんですけど、これは正解でしょうか?

また、エネルギー保存則はどうやって導くのでしょうか?
これはまったくわからないんです!どなたか教えてください。
よろしくお願いします。m(_ _)m

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A 回答 (6件)

おはよう御座います。

いろいろ回答されているようですが、
gedo-syosaさんの先生が仰っているのは、
次のようなことではないでしょうか?

運動方程式(v,r,Fなどはベクトルです)
外力が働いていない時は(F=0)
mdv/dt=0
両辺をt1からt2まで積分して
∫m(dv/dt)dt=0
∫mdv=0
mv2ーmv1=0
mv2=mv1
これは運動量保存則です。

同様にして
運動方程式(v,r,Fなどはベクトルです)
mdv/dt=F・・・・・・・・・(1)
この両辺にvをかけて
mvdv/dt=Fv・・・・・・・・(2)
変形して
(m/2)(dv^2/dt)=Fdr/dt・・・(3)
両辺をtで積分して
∫(m/2)(dv^2/dt)dt=∫(Fdr/dt)dt・・・(4)
∫(m/2)dv^2=∫Fdr・・・・・・・・・・・(5)
(1/2)mv^2[v1からv2]=外力Fがした仕事・・・(6)
(1/2)m(v2)^2ー(1/2)m(v2)^2=外力Fがした仕事・・・(7)
この(7)式はエネルギー保存則です。

後はご自分で考えてください。
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この回答へのお礼

>∫mdv=0
>mv2ーmv1=0

これってよく置換積分でやる、

  t | t1→ t2
  ----------
  v| v1→ v2

みたい事をしてるんですよね?
物理って言うより数学の質問ですが(笑
数学も苦手なもので・・・。すいません。

>後はご自分で考えてください。

じっくり、ゆ~~っくりと考えてみます。

お礼日時:2001/10/28 18:03

皆様よりの回答で大事なところは尽きていますが、昔は物理(の出来の悪さ)に悩む生徒、今は学生から質問を受ける立場の者として、少し補足コメントさせて頂きます。



運動方程式は、位置の2階微分量である加速度に関する方程式ですから、微分方程式の一種です。微分方程式は、一般に積分型に直して考えることもできます。質点の運動方程式の積分型が、あなたの導かれた「運動量の変化=力積」という式なのです。ただ、皆さんがおっしゃっているように、これは保存則ではありません。保存則というのは、時間と共に変化する現象の中でも、ある量を工夫して計算するとそれは変わらずに保たれている、こういうときに使われる表現です。質点系の力学というのを勉強されると、系の運動量保存に関する皆さんの説明がよく分かるようになるでしょう。

力学的エネルギー保存則は、運動方程式の右辺を決める力の関数形がある条件を満たすときにだけ導かれます。その条件は、力(ベクトル)が、位置の関数としてのあるスカラー関数(ポテンシャルエネルギーと呼ぶ)の(-)勾配になっているということです。こういう場合には、運動の能力を、位置エネルギーという運動以外の形に変換し、そしてそれをまた運動の形に戻すということが可能になります。これを保証するために、同じ条件下では同じことが繰り返し起こり得るという仮定が必要で、これが、時間の一様性という性質に深く結びついています。

このようなことは大学の授業で詳しく扱われるはずですが、物理学科以外では、大学により、また教官により、扱い方は随分違うと思います。最近は、基礎的なことを時間をかけて深く考えるような教え方は好まれないというような風潮もあり、個人的に、日本の科学・文化の将来に危惧を抱いております。あなたのような、自分で考えることの好きな方に是非期待したいものです。
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この回答へのお礼

>微分方程式

これはよく耳にする言葉なのですが、数年前から高校では扱わなくなってしまったらしくて・・・。まぁとにかく微分するんですよね?(^^;

・・・あぁ~、難しいですねぇ。
大学に行ったらもっとよく勉強します。

>最近は、基礎的なことを時間をかけて深く考えるような教え方は好まれないというような風潮もあり、個人的に、日本の科学・文化の将来に危惧を抱いております。あなたのような、自分で考えることの好きな方に是非期待したいものです。

しっかりと勉強してノーベル賞とか、ぜひ狙いたいです。(爆
将来、受賞できるように一生懸命頑張ります!(笑

お礼日時:2001/10/29 23:27

>> ポテンシャルエネルギー


> なんですかそのカッコいい名前のエネルギーは・・・。

ポテンシャルエネルギーは位置エネルギーと同じことです.
ポテンシャルとは潜在的能力と言うような意味です.
物体を高いところに持ってゆくと位置のエネルギーを持ちますが,
物体自体は変化していません.
そういうわけでポテンシャルエネルギーというのです.

> 僕は化学科を目指してるんですけど、そういう事は詳しくやりますかね?
> 物理化学とかいう分野もあるそうですけど・・・・。
物理化学はちょっと話が違います.
やるなら,「力学」「解析力学」というような授業でしょう.
化学科で「力学」「解析力学」がカリキュラムに入っているかどうかは,
大学によると思います.
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この回答へのお礼

>ポテンシャルエネルギー

なるほど、位置エネルギーのことでしたか~。
教えていただいてどうもありがとうございます。m(_ _)m

>やるなら,「力学」「解析力学」というような授業でしょう.

化学なのに力学ってのがあるんですか!
やっぱりなんか高校とはレベルはちがいますね~。
物理も化学も生物も混ざってる所が、結構あるようで。

お礼日時:2001/10/29 23:17

鵜呑みにせず自分で考えようという姿勢がなによりすばらしいですよ.



さて,gedo-syosa さんの導かれた
(1)  mΔv=FΔt
はそのとおりで,「運動量変化は力積に等しい」という法則ですね.
そうです,この法則は運動方程式だけから導けるんです.

では,運動量保存則は?
詳しい話は motsuan さんが書かれていまので,
地上付近の自由落下という簡単な例を考えてみましょう.
運動方程式は
(2)  ma = mg
で,初期条件を t=0 で v = 0 とすると
(3)  v = gt
ですから,落下速度がどんどん速くなりますね.
つまり,運動量は保存されない.
簡単な例ですが,運動方程式だけから運動量保存則を導くことはできないことを
示しています.

もちろん,地上付近の重力の起源は物体と地球との万有引力にあるわけで,
物体と地球を両方ともきちんと考えてやると,
両者の運動量を合計したものは保存されることを示すことができます.

運動量の場合と同様に,
エネルギー保存則も運動方程式だけから導くことはできません.

では,こういう保存則は運動方程式の詳細によるかというと,
そうではなくて,空間や時間の対称性と関係していることが知られています.

対称性と保存量の間の関係は大学の物理学科の2年くらいの内容です.
理工系の基礎教育の物理のレベルですと,やらない場合が多いようです.
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この回答へのお礼

>地上付近の自由落下という簡単な例を考えてみましょう.

わざわざ例を出していただいてありがとうございます。
・・・が、例は簡単でも話は難しいですねぇ。(笑
あとでもう一度じっくりと読んでみます。

>対称性と保存量の間の関係は大学の物理学科の2年くらいの内容です.
>理工系の基礎教育の物理のレベルですと,やらない場合が多いようです.

僕は化学科を目指してるんですけど、そういう事は詳しくやりますかね?
物理化学とかいう分野もあるそうですけど・・・・。

お礼日時:2001/10/28 17:41

運動量保存の法則は


作用反作用の法則と運動方程式を組み合わせたものです。
なんでそんな組み合わせをもってくるかというと、
というか前提なのですが、この法則は系のなかで力を及ぼしあって、
他からは力が加わらない場合に、その系では運動量と呼ばれる量が保存されると言う法則です。
したがって、さんが1個の質点についていくら考えてもこの法則は導かれません。
(ただし、導出の途中まではそのとおりです。)

運動量保存の法則は

 系の全運動量
   p=Σm(i) v(i)
 (m(i)、v(i)はそれぞれi番目の質点の質量、速度(ベクトル))の時間変化
   dp/dt=Σm(i) dv(i)/dt=Σm(i) a(i) = ΣF(i)
 (a(i),F(i)はi番目の質点の加速度とかかる力)を考えると、
 お互いに力を及ぼしあっているから、作用反作用の法則より
   dp/dt = ΣF(i) = 0
 となって、ベクトル量 p の時間変化はありません。つまり、系全体の運動量が保存 されます。
 
という法則です(0の積分ですね)。つまり、運動方程式だけから導かれるわけではありません(運動方程式は力の起源や性質について説明していない)。系全体の運動量という概念がわからないと、はたして、これは運動量保存の法則を使うのか、エネルギー保存の法則を使うのか分からなくなるのではないでしょうか?

エネルギー保存の法則も、エネルギーの式を書き下して、その式の座標の意味を考えながら時間変化をみると0となって、エネルギーが保存されていることが分かります。この場合、たとえばポテンシャルエネルギーを考えたとき、反作用とか考えなくてもいいですよね。つまり、1個の質点について考えることができます(本当は反作用がポテンシャルの元になるものにも働いているはずですが普通はその質量を無限大としているため、はじき返されると考えます)。(運動する方向への積分になっています。)
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この回答へのお礼

ぬぅ・・・。難しそうですねぇ~。
こんなの自分で考えて導けるはずもありませんでしたね。(爆
なんかシグマとか出ちゃってるじゃないですか。(^^;

今、ちょっと時間がないので後ほどじっくり見させていただきますね。

>ポテンシャルエネルギー

なんですかそのカッコいい名前のエネルギーは・・・。
運動エネルギーと位置エネルギーと弾性エネルギーしか知りませんよ(笑

お礼日時:2001/10/28 17:34

なつかしいですね~


僕も大学は物理で受験したので
このへんはよよくなやまされたところなんです

gedo-syosaさんの変形、間違ってないですよ

エネルギー保存則は普通に微分するといいんです
つまり運動エネルギーを時間について微分するとどうなるでしょうか?

あとなかなかいいページ見つけたので
参考URLにいれておきます。暇があったら読んでみてください

じゃあと数ヶ月ですかね、がんばって!

参考URL:http://doraneco.pos.to/physics/column/bisekig.html
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この回答へのお礼

>僕も大学は物理で受験したので

僕は化学と物理、両方で受験するんですよ。
両方ともどちらかというと苦手ですけど(^^:

>参考URL

ありがとうございます。
あとで見させていただきますね。

>じゃあと数ヶ月ですかね、がんばって!

はい、頑張ります!!

お礼日時:2001/10/28 17:25

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この後の操作が、参考書によって、(1)式を時刻t1からt2まで積分すると書いている場合と、時刻0からtまで積分すると書いている場合がありました。

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まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」などとわざわざ断っていないわけです。
極座標系に移行したことで問題の本質はx(t), y(t)の代わりにl(t), θ(t)を求めることに帰着します。大抵の場合はひもは伸び縮みしないと仮定しますのでlについて解く必要はなく、θについてのみ解くことになります。その方程式が
ml(d^2θ/dt^2)= -mg sinθ  (3)
なわけです。

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sinθ≒θ  (4)
の近似を行って解きます。このとき(3)は
ml(d^2θ/dt^2) = -mg θ  (5)
となります。これの解き方はいろいろあります。線形微分方程式の理論を知っていれば解は直ちに
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だと分かります。αはC sinα=φを満たす定数です。
2階の微分方程式ですが初期条件が「t=0でθ=φ」の一つしか与えられていないので、定数が一つ未定のまま残ります(*1)。

愚直に微分方程式を解くのであれば下のようにやります。
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d/dt {(dθ/dt)^2} = -(g/l) d/dt (θ^2) ←両辺に(dθ/dt)をかけた上で、積の導関数の公式((y^2)'=2y y')を逆に使った
(dθ/dt)^2 = -(g/l) θ^2 +C1 ←C1は積分定数
dθ/dt = √{-(g/l) θ^2 +C1}  (7)
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dθ/dt = √C1√(1-sin^2 ψ)  (8)
を経て
√(l/g)√C1 cosψ dψ = √C1 cosψ dt  (9)
と変形でき、両辺を積分することで
√(l/g) ψ= t+C2 ←C2は積分定数  (10)
を得ます。θの表式に戻すと
θ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g) (t+C2)}  (11)
となります。これは本質的に(6)と同じ式です。初期条件「t=0でθ=φ」を代入することで
φ=√(l/g)√C1 sin{√(l/g)C2}  (12)
を得ます。これを使うと(11)からC1, C2のいずれかを消去できます。初期条件がもう一つあれば運動は一意に定まります(脚注参照)。

もちろん、「軌道に沿ってx軸を定める」でも解けます。この場合の運動方程式は
m(d^2 x/dt^2)= -mg sin(x/l)  (13)
となります。本質的に(3)と同じであることは申し上げるまでもなく、同様に解くことができます。

考え方は上記でよいはずですが中間で計算ミスがあるかも知れませんので、ONEONEさんご自身でも確認しながら読んで頂けると幸いです。

*1 もし初期条件が「t=0でθ=φまでおもりを持ち上げて手を放す」という意味であれば、「θの最大値はφ(厳密には|φ|)」という条件が新たに加わるので運動は一意に定まります。この場合はφsinα=φからα=π/2、よってθ=φsin{√(g/l) t+(π/2)}=φcos{√(g/l) t}と求めることができます。

まず座標系についてのお話をします。下の図をご覧下さい。

  y
  ↑
  ・→x
   \
   →\
   θ \
      ●

振子の支点を・、先端に吊るされたおもりを●で表しています。支点の位置をxy座標の原点に取るならば、鉛直からの振れ角をθとして
x= l sinθ  (1)
y= -l cosθ  (2)
であることは既にご承知かと思います。
このように置くこと自体が、(x, y)の直交座標系から(l, θ)の極座標系に移行していることに相当します。ただほとんど自明なことなので「極座標に置き換えて」...続きを読む

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まず、(1)から(3)までの全体について。
かっての時代、ガウス先生が学長で、若き研究者のリーマンさんは、
一般化された計測の概念を発表しました。ガウス先生は感激のあまり声もなかったという話を読んだことがあります。リーマンさんの概念は一般化された計測の概念ですから、この概念を利用して一般化された運動方程式を考えるということは正しいことだと思います。それから、4次元目に時間の概念
を導入したのをミンコフスキー時空間といいますが、この時空間が
アルバートさんの世界になりました。リーマンさんの概念からいえば、
一般解の中の特殊解ですから、一般化された運動方程式と特殊な
運動方程式の関係をしっかり知るためにもibm_111さんの研究は大切ですね。

(1)剛体の考えかた。
剛体は密度ρnの性質で決まる。 
n=1~3 で線密度、面密度、体積密度が定義される領域では、剛体といえるものがある。
n=4 (エネルギー密度・s:プランク定数も入る)以上では剛体は存在しない。
(2)一般相対論の世界(ミンコフスキー時空間)が現実の存在時空をあらわすものであれば、3次元以下の運動方程式はその影響下にある。剛体もしかり。但し、四次元目の虚の時間軸上では剛体では存在しえない。エネルギー密度分布になる。(4次元限界は概念的限界(特殊解)であるが故の問題。)
それから、
(3)全体概念に同じ
一般的には四次元密度ρ4はエネルギー密度をあらわします。
体積密度ρ3(剛体の概念)はその中で許される特殊解という概念かな。

ということでかなり私見(豊富)が入っていますが
参考になれば。
ibm_111さんがんばってくださいね。
それから蛇足ですが、#1で軸比なるものを勝手に使いましたが、
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でないか?と疑っていた時期があります。
楽しみました。 ありがとう。
以上

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Qエネルギー保存則を導く

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MX''=-Fx
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mv+0=mV+MV
とおもりと台は一緒になって滑っています。
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なので、水平方向の速度のみになります。
速度が違うということは、斜面に接していないことになり矛盾します。ですので斜面に接している=X方向の速度が同じ=速度が同じとなります。

角度が与えられていないなら重力加速度を導入して解くのでは駄目ですか?それならFxも必要なくなりますけど。
表記の問題ですが、もしFxというのがFのx方向という意味ならこのまま重力加速度と同じなので直接的に解けますよね。

それと、エネルギーはスカラ量です。Y方向の運動は最高到達点ということにより無視できるので、XY軸を導入して無理に2次元で考えるメリットはありません。

では。

Qハイゼンベルグの運動方程式について

量子力学の授業でハイゼンベルグの運動方程式を習ったのですが(授業は、シュレディンガーの立場で進めています)、ハイゼンベルグの運動方程式は、定常状態の時は使えないのでしょうか?回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

質問の意味が分かりかねますが、ハイゼンベルグの運動方程式は物理量に対する方程式なので、状態に関わらず使えます。

Qエネルギー保存則(位置エネルギーと熱エネルギー)

次の問いでどうしても理解出来ない点があります。


問)高さ84mのダムがある。
水の重力による位置エネルギーがすべてエネルギーに変化すると
放流により水の温度は何度上昇するか。
ただし、重力加速度は9.8m/s^2、水の比熱は4.2J/g/kとする


 位置エネルギーとエネルギーの和は=で結ばれるのですよね?

  放流した水の質量をm(kg)、温度上昇をt(℃)とするとエネルギー保存の法則より

    m×9.8×84=1000m×4.2×t
             t=0.196

    となっているのですが、なぜ水の質量mは1000でかけるのかが
    わかりません。
    どうしてなのでしょうか?
    また、位置エネルギー、熱エネルギーの公式は覚えておく方がよいのでしょうか。
 
    よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私は理系ですが、公式は暗記していません。
どうやって覚えているかというと、

「位置エネルギーは、力に対して、その力をかける距離をかけたもの」
これって、仕事の定義と同じでしょう。

「比熱は、温度の上がりにくさを表す物質固有の比例定数」
「物質の量(質量)が多いほど、それだけ熱を与えないと同じだけ温度が上がらない」
これさえ覚えておけば、いつでも、
温度上昇 = 比熱 × 質量 × 与えた熱量
という式が書けます。
単位だけ書くと、
K = ? × kg × J
ですから、つじつまを合わせるためには、比例定数である比熱の単位は当然、K/(J・kg) になります。

問題では、K/(J・kg) ではなく K/(J・g) になってしまっているので、
4.2K/(J・g) = 4.2K/(1J×0.001Kg) = 4200K/(J・Kg)
と直してから計算すればよいです。
それが、1000をかける意味です。


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