凸四辺形OABCにおいて、OA=28、AB=21、BC=5、
∠OAB=∠OBC=90°である時、∠AOCの大きさを求めよ、という問題なんですが、三平方や三角比などで考えたんですけどだめでした。う~ん、教えてください。

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A 回答 (2件)

小学生の知識で解ける解法でいきます。

(ただし3:4:5の直角三角形の存在を知っていることは仮定。お受験小学生は知っているはず)まずは答えから。

辺ABを延長して、CからABにおろした垂線の足をHとすると、△OABと△BHCが相似です。
△OABの3辺がわかっているので、BH=4,CH=3が相似から持ってこれる。
で、CからOAに垂線をおろしその足をKとすると、OK=CK=25だから△OKCは直角二等辺三角形。(終)

で、この解法のポイントはたぶん2つほどで、
1.辺の長さから角度を求めようとするのだから、せいぜい三角定規の角度とかだろうという甘い考え(笑)を大事にすること。(→CからOAに垂線をおろす考えが出てきます)
2.直線に対して直角が斜めにささっている形は相似の出るパターンだということ。
これはたとえば「長方形ABCDの紙があって、点Dを辺BC上にくるように紙を折る」というような図で現れる形です。
本問でいうと、直線ABに対して角OBCの直角がささっているので、△BCHというのを付け足そうという発想です。
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この回答へのお礼

相似を見落としていました。ありがとうございました。

お礼日時:2001/10/28 15:53

あまり数学が得意ではないのですが。

。。

まず図形を書いたあと、∠AOB=θ1、∠BOC=θ2とします。
△OABは∠OABが直角だから三平方の定理が使えます。でもOA:AB=28:21=4:3だから、3:4:5の直角三角形ってことがわかるのでOB=35ってすぐに出ますが。

次に∠AOC(θとします)の値を求めるには、θ1とθ2を足せばいいのでここでtanの加法定理を使います。

(加法定理): tanθ=(tanθ1+tanθ2)/(1-tanθ1・tanθ2)

ここで図形をみて、tanθ1とtanθ2の値を求めると、tanθ1=21/28=3/4、tanθ2=5/35=1/7となります。
これらを加法定理の式に代入してあげると、tanθ=1となります。
これでθの大きさがわかりますよね?
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この回答へのお礼

1つの問題について、いろいろ解き方がありますね。勉強になります。

お礼日時:2001/10/28 15:54

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(2)BD→、CD→のなす角をαとしてSinαを求めよ。
(3)また、AD,CDの中点をそれぞれM.Nとするとき、BD→・MN→を求めよ。

→回答
(1)はとけました。 こたえはーu→+v→です。
(2)もとけました。
(3)がとけませんでした。

(3)の回答を教科書で確認したら、
BD・MN=(v→+2u→)・(3/2×U→ー1/2 ×v→)と式が出来てました。

BDは(1)BA+ADを求めると、(図をかいてみると解りました)v→+2u→となるのがわかったのですけど、MNがどうして(3/2)U -(1/2)vとなるのか解りませんでした。どなたか教えてください。
宜しくお願いします!!>_<

Aベストアンサー

MN→=BN→-BM→・・・(1)です。
MはADを1:1に内分するから、分点のベクトルの公式で
BM→=(BA→+BD→)/2・・・(2)
同様に、NはCDを1:1に内分するから、
BN→=(BC→+BD→)/2・・・(3)
(2),(3)を(1)に代入すると、
MN→=(BC→+BD→)/2-(BA→+BD→)/2
   =(BC→)/2-(BA→)/2
ここで、BC→=3u→、BA→=v→なので、
MN→=(3/2)u→-(1/2)v→  となります。

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直角三角形ABCがあります(∠B=90°)AB=3cm、BC=4cm、CA=5cm(斜辺)。またその三角形の内側に接している2つの正方形があります。
1つは、辺AB上に点D、辺BC上に点F、辺CA上点Eをとる正方形です。(DB=BF=FE=ED)
もう1つは、辺FC上に点H、辺CE上に点I,J、辺EF上に点Gをとる正方形です。(HI=IJ=JG=GH)

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(2)小さな正方形の1辺の長さを求めなさい。

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Aベストアンサー

(2)ですが・・小さい正方形の一辺の長さをycmとしてそれについている2つの三角形△EGJと△GFH
の相似比で求められると思います

まず△GFHの辺GFの長さをxcmするとここに登場する三角形は相似で、辺の比は3:4:5なので
GF:GH=x:y=3:5になります
これより5x=3y
x=(3/5)y

次に辺EFの長さは(1)より12/7cmなので辺EGは(12/7-x)cmになりますので
EG:GJ=(12/7-x):y=5:4
これより5y=4(12/7-x)
5y=48/7-4x

x=(3/5)yを代入して
5y=48/7-4×(3/5)y
5y=48/7-(12/5)y
(37/5)y=48/7
y=(48/7)×(5/37)
=240/259

となります。NO2さんと同じ答えになると思います
y=240/259cm

QΔABCは∠A=120°、AB=1/ACを満たす。

ΔABCは∠A=120°、AB=1/ACを満たす。∠Aの二等分線とBCとの交点をDとするとき、ADをAB=Xで表しなさい。という問題がどうしても解けません。途中式を含めご教授ください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#1さんの補足ですが
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Q四角形ABCDは円Oに内接し、AB=1、BC=1,CD=2,∠BCD=

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を求めるのにはどうやって解けばいいのでしょうか?
ヒントでもいいので回答よろしくお願いします

Aベストアンサー

三角形の相似比から、
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△ECDの内接円の半径rは、
△ECDの面積=(EC+CD+DE)×r/2
から、
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QBC=20cmAB=AC∠A=90の三角形ABCがある。辺ABAC上に

BC=20cmAB=AC∠A=90の三角形ABCがある。辺ABAC上にAD=AEとなるように2点DEをとりDEから辺BCに垂線を引き、その交点をそれぞれFGとする。長方形DFGEの面積が20平方センチメートルとなるとき、辺FGの長さを求めよ。
※やばいです。なかなか解けなくて困っています。誰かわかりやすい解説をお願いします。

Aベストアンサー

答えって整数じゃないですよね。

まず、辺FGをXとおくと
△BDF≡△CEG∽△ABCですから、DF=BF、EG=CGです。
従って、BF+CG+X=20cmですから、BF=CG=(20-X)/2となります。
∴X{(20-X)/2}=20m2
です。
これをとくと
X=10±2√15
となります。
√15を3.87に換算すると
X=17.74cm or 2.26cm
となります。


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