x^2-2ax+3a^2-2≦0が因数分解できません……。どなたか分解の仕方を教えてください……。お願いします……

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A 回答 (2件)

もしかして問題文は「x^2-2ax+3a^2-2≦0を満たす実数xが存在するようなaの範囲を求めよ」ではないですか?それなら因数分解するのは無意味です。

有理数の範囲ですっきり因数分解できませんから。

その問題文だとしたら、
(y=)x^2-2ax+3a^2-2
=(x-a)^2+2a^2-2
と平方完成して、2次関数のグラフで考えるとよいです。y≦0となるxが存在するためには、「グラフがx軸に接しているOR交わっている(下に凸の場合なので)」ならOKです。平方完成した上の式から、頂点が(a,2a~2-2)であることがわかりますから「頂点のy座標≦0」となる
  2a^2-2≦0
をとけばよいのです。

どぉーーーしても因数分解したいのなら、x^2-2ax+3a^2-2=0を解の公式で解いた2解α,βを求めて(x-α)(x-β)と因数分解をするという手がありますが、ルートがついてしまって汚い式になります。そちらからでもこの問題はアプローチできなくはないですが、あまりスマートではないですね。
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 ヒントだけ。



(左辺)=(x^2-2ax+a^2)+2(a^2-1)

 がんばってくださいね。
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Q1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇔0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1?

aはa≧5をみたす定数として、
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1と
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1
は同値でしょうか?
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も真なので同値だと思うのですが。

Aベストアンサー

前半)
> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

後半も
>> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

Q3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1におけ

3次関数y=x^3-2ax^2+a^2x (a>0)の0≦x≦1における最大値を求めたい。
まず、yはx=(ア)のときに極大値(イ)をとり、x=(ウ)のとき極小値(エ)をとり、さらに(ア)以外にy=(イ)となるようなxの値はx=(オ)である。
そこで、求める最大値をaの関数と考えてM(a)で表すと次のようになる。
a≧(カ)のとき M(a)=(キ)
(カ)>a≧(ク)のとき M(a)=(ケ)
(ク)>a>0のとき M(a)=(コ)

という問題なんですが、(ア)~(オ)までは分かったんですが、
場合わけする部分がどうすれば解答にたどり着くか分かりません。
分かる方解説よろしくお願いします。

解答
(ア)a/3(イ)(4a^3)/27(ウ)a(エ)0(オ)4a/3
(カ)3(キ)a^2-2a+1(ク)3/4(ケ)(4a^3)/27(コ)a^2-2a+1

Aベストアンサー

dy/dx=3x^2-4ax+a^2
     =(3x-a)(x-a)
     =0
とおくとx=a/3、a
ですから、極大値はx=a/3のとき、極小値はx=aのときですね。ここで、この関数のグラフを書いてみましょう。原点を通り、x>0の領域で極大および極小値を持ちます。
 問題になるのは0<=x<=1の領域ですから、x=1の直線がこのグラフとどういう位置関係にあるかで最大値が変わってきますよね?
 例えばa/3>=1であればx=1の時が最大値、a/3<1<=aであればx=a/3のときが最大値というように。
 グラフ中のいろいろな位置にy軸と平行な直線を書きこんで、どこが最大値になるか考えてみて下さい。

Q∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
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さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

Qy=x^(1/2^(1/2))-x (0≦x≦1) のxの最大値とその時のyの値

y=x^(1/2^(1/2))-x (0≦x≦1) のxの最大値とその時のyの値を教えてください。
考え方もお願いします。

式を日本語も交えて書くと
y=xのルート1/2乗-x
となります。

参考書とかに載っていたものではないで問題に不備があるかも知れませんが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

y=x^(1/2^(1/2))-x
微分して、
y'=(1/2^(1/2))x^(1/2^(1/2)-1)-1=0
x^(1/2^(1/2)-1)=1/(1/2^(1/2))
x=(1/(1/2^(1/2)))^(1/(1/2^(1/2)-1))
整理すると、
x=1/(2^(√2/2+1))≒0.3063
y=1/(2^(√2/2+1/2))-1/(2^(√2/2+1))≒0.1269

Qx,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□を埋めよ

こんばんわ。宜しくお願い致します。

[問]
x,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、
(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□
を埋めよ。

という問題で困ってます。
(y-3)/(x-9)=k
とおいてから
y=kx-9k+3
から先に進めません。
何か良い方法がありましたらお教え下さい。

Aベストアンサー

x^2+y^2=36,y≧0 は、原点中心の半径6の円の上半分
(y-3)/(x-9)=k
とおくと
(y-3)=k(x-9) は、(9,3)を通る直線
この直線が半円と共有点を持つときの傾きkの範囲を求めるということ。
最大値はすぐわかりそう。
「最小値は直線と原点の距離が6」という条件でやったらいいと思います。


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