n^2個のxの関数Aij(x)、i,j=1・・nを要素にもつn×n行列をA(x)とし、
その行列式をdetA(x)とする。Aij(x)が微分可能なとき、detA(x)も微分可能な関数であり、

               | A11(x)   ・・・・・・・ A1n(x)|
| ・             ・   |
  d/dx・detA(x)=Σ(i=1~n)| d/dx・Ai1(x) ・・・・・・d/dx・Ain(x)|
| ・             ・   |
              |  An1(x)    ・・・・・・Ann(x) |
が成り立つことを示せ。
見にくくてすいません。どうか誰か解いてみて下さい。お願いします。

A 回答 (2件)

行列式の定義に積の微分の公式を使って微分を計算して、


でてきた結果をうまく行列式の形にくくります。
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よくわかりませんが


Aがほとんど全てのxで逆行列をもつとするとdetA=|A|と表して
|A(x+dx)| = |A(x) + A'(x) dx|(ここでA'はAのxについての微分)
= |A(x)|1 + A(x)^(-1) A'(x) dx|
から
(d/dx)|A(x)| = |A(x)| tr( A(x)^(-1) A'(x) )
=tr( |A(x)| A(x)^(-1) A'(x) )
=tr(A~A'(x)) (ここでA~はAの余因数行列)
となることから、(d/dx)|A(x)| =tr(A~A'(x))が期待されます。
あとは定義にもどればいいのではないでしょうか?
以上アドバイスです。
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