複雑な行列式から固有値を求める

こんばんは！固有値が求められないので質問させていただきました。

｜α　0　β　0　0　0｜
｜0　α　β　0　0　0｜
｜β　β　ω　0　0　β｜
｜0　0　0　α　0　β｜
｜0　0　0　0　α　β｜
｜0　0　β　β　β　ω｜

という6行6列の行列があります。
行列全体をβで割って（α-λ）/β＝X（λ：固有値）
などとおければ、簡単に固有値が求められそうな行列なのですが、
3行3列目と6行6列目にωがあることによって、対角成分の計算を綺麗に行えません。誰か良い方法がありましたら、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2005/08/22 16:11

siegmund です．

No.1 で書き間違い，もしかしたら誤解を招くかも知れないところ，
があったので，その修正から．

まず，
A, B の定義の式で，固有値をうっかり x と書いてしまいました．
固有値はλにしていますので，x はλに置き換えてください．

それから，論旨からおわかりかと思いますが，
A，B は行列です(行列式ではない)．
テキスト表示で区別するのはなかなか難しいですが

　　┌　　　　　　　　　┐
　　｜α－λ　０　　β　｜
Ａ＝｜　０　α－λ　β　｜
　　｜　β　　β　ω－λ｜
　　└　　　　　　　　　┘

　　┌　　　　　┐
　　｜０　０　０｜
Ｂ＝｜０　０　０｜
　　｜０　０　β｜
　　└　　　　　┘

とすれば，行列であることが明確に見えましたかね．
本当は丸かっこですが，テキストでは表現しようがありません．

--------------------------------------------

> それぞれ３次方程式ですが，どちらも λ＝ａ が解になっているのは
> 視察でわかります．
> なんでですか！？僕が行列式を理解していないのかな。

|A+B| も |A-B| も

　　｜※　０　＠｜
　　｜０　※　＠｜
　　｜＠　＠　＃｜

の形ですね．
３行３列ですから，
たすきがけの方法(サラスの公式)で行列式を展開したときに本来は６項あるはずですが，
０があるために実際は３項しかありません．
よく見れば，生き残った３項のどれも※(つまり，α-λ)の因子を含んでいます．
実際，上の行列式を展開すれば
※※＃ - ＠＠※ - ＠＠※
で，※が共通因子です．
これが「視察」です．

もし，上のようなことに気づかなくても，
|A+B| も |A-B| も３行３列の行列式ですから，
たすきがけの方法(サラスの公式)で難しいところはないはずです．
λのべきで整理すると

|A+B|
= -λ^3 + (2α + β + ω)λ^2 + (- α^2 - 2αβ + 2β^2 - 2αω)λ
　+ α(αβ - 2β^2 + αω)

|A-B|
= -λ^3 + (2α - β + ω)λ^2 + (- α^2 + 2αβ + 2β^2 - 2αω)λ
　+ α(- αβ - 2β^2 + αω)

となっています．
定数項がαでくくれるのはすぐ見えるでしょう．
したがって，
もしこれらの３次式が簡単な形で因数分解できるとすれば，
定数項の形からして因数はλ-αではないかと推測できます．

どこかミスタイプがあるかも知れないので，チェックもよろしく．

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2005/08/21 13:44

対角成分に全部 -λ を付けた行列式を計算して，

固有値を求めればよいわけですね．
この行列式は対称性がよく

Ａ＝｜α－ｘ　０　　β　｜
　　｜　０　α－ｘ　β　｜
　　｜　β　　β　ω－ｘ｜

Ｂ＝｜０　０　０｜
　　｜０　０　０｜
　　｜０　０　β｜

として，

｜Ａ　Ｂ｜
｜Ｂ　Ａ｜

の形になっています．


｜Ａ　Ｂ｜
｜Ｂ　Ａ｜

＝｜Ａ＋Ｂ　Ｂ＋Ａ｜
　｜　Ｂ　　　Ａ　｜

＝｜Ａ＋Ｂ　　０　｜
　｜　Ｂ　　Ａ－Ｂ｜

＝｜Ａ＋Ｂ｜ ｜Ａ－Ｂ｜

と変形できますから(都合のいいことに積の形になっている！)，
結局

｜Ａ＋Ｂ｜＝０

と

｜Ａ－Ｂ｜＝０

を解けばいいことになります．
それぞれ３次方程式ですが，どちらも λ＝ａ が解になっているのは
視察でわかります．
あとはそれぞれ２次方程式に帰着されますから，簡単でしょう．

> 3行3列目と6行6列目にωがあることによって、対角成分の計算を綺麗に行えません。

もしかしたら何か誤解されていないか，ちょっと気になりました．
対角成分だけ問題にすればよいわけではないです．
むしろ，３行６列目と６行３列目のβが邪魔，という形ですよね．

この回答への補足

それぞれ３次方程式ですが，どちらも λ＝ａ が解になっているのは
視察でわかります．
なんでですか！？僕が行列式を理解していないのかな。

それと、展開してみたのですが、固有値を式展開がうまくいかなくて、固有値を求めることができませんでした。

補足日時：2005/08/22 00:41