方程式f(x)=0が重解x=aをもつ場合
2次のニュートン法は
x_k+1=x_k-2f(x_k)/(f'(x_k)-√D)
D=((f'(x_k))^2-2*f(x_k)*f''(x_k)
(D>0かつf'(x_k)>0の時)
となりますが、
このときのx_k+1とx_kの幾何学的な関係がわかりません。
よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

「2次のニュートン法」と仰っているのは、


f(x), f’(x), f”(x)のx=x_kにおける値が分かっている時に、x=x_kの近くを放物線で近似することによって、方程式f(x)=0のx_kよりも良い近似を得ようということですね。

[1] この公式、ちょっと変ですよ。
f(x)をx=x_kの近くで近似するような放物線を
y= a (x-x_k)^2 + b (x-x_k) + c
とすると、
y’= 2 a (x-x_k)+b
y”= 2 a
です。これにx=x_kを代入すると、
c = f(x_k)
b = f’(x_k)
2 a = f”(x_k)
となり、これでa,b,cが決まり、放物線の具体的な形がわかりました。この放物線が y=0と交差するのは二次方程式の解
(1) x-x_k = (- f’(x_k) - D^{1/2}) / f”(x_k)
(2) x-x_k = (- f’(x_k) + D^{1/2}) / f”(x_k)
ただし D = {f’(x_k) ^2 - 2 f”(x_k) f(x_k)}
の2点です。ここで右辺の分子を有理化してやれば
(1) x-x_k = -2 f(x_k) / (f’(x_k) - D^{1/2})
(2) x-x_k = -2 f(x_k) / (f’(x_k) + D^{1/2})
となります。二つの解( (1)の方が(2)より小さい)のどちらを選ぶか、という問題ですが、
「f’(x_k)とf”(x_k)の符号が異なれば(1)、同じであれば(2)を選ぶ」というのが正解です。
実際にグラフを描いて見れば分かると思います。つまりf”(x_k)>0の場合とf”(x_k)<0の場合に分けて、その放物線上のどこに<x_k, f(x_k)>が来るかを考えると、f’(x_k)とf(x_k)の符号の組み合わせが(どちらかが0になる場合を除いて) 4通りづつあります。それぞれの場合で、「最寄りの解」が(1) (2)のどちらになるかをチェックすれば良いです。幾何学的な関係はグラフを見ればもうお分かりでしょう。
これでご質問の回答になってるんじゃないかと。

[2] f(x)が重解を持つかどうか、は繰り返し計算の最中には取りあえず関係のないことです。

[3] f(x)が重解を持つ場合、解の近くでのf(x)の振る舞いがどうなっているかによって、2次ニュートン法が使えるかどうかに大いに影響があります。計算の途中で
D が負にならないという保証は一般にはできませんから、具体的にf(x)を与えて、D<0にならないということを証明する必要があります。テイラー展開を使うと調べられます。

[4] いずれにせよ、「2次のニュートン法」は実用の観点からは使い物にならない方法です。方程式x^3 =0 すら解けないですよ。「1次の」ニュートン法
x-x_k = - f(x_k) /f’(x_k)
の方がずっと扱いやすいです。1次だからと言って馬鹿にしたもんでもありません。収束に近づくと有効桁数が繰り返しごとにK倍になる(精度がK倍じゃないですよ)という非常に速い方法です。重解でも有効桁数は繰り返しに比例して増えます。
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