複素数のtanh(x)の逆を取りたいのですが。
tanh-1(Q∠φQ)での逆双曲線関数の公式は分かるのですが。
tanh-1(α+jβ)の公式はあるのでしょうか?
もし、知ってる方いらっしゃいましたらお願いします。
いま、UBASICという複素数計算の出来るBASICでプログラムを組んでまして
UBASICですと、α+jβの形式での計算になるので、この形式のままで
いけたらと思ってます。
まぁ、α+jβをQ∠φQの形に直せば、それまでなのですけども。。。

A 回答 (1件)

逆双曲線関数 tanh^{-1} z は


(1)  tanh^{-1} x = log{(1+z)/(1-z)}
ですから,z を複素数 α+jβとして代入計算整理すれば公式が得られます.
ただし,複素数の log ですので,無限多価関数になっていることに注意が必要です.
tanh^{-1}(α+jβ) の主値は,

(2)  tanh^{-1}(α+jβ)
    = (1/2) tanh^{-1}{2α/(1+α^2+β^2)} + (j/2) tanh^{-1}{2β/(1-α^2-β^2)}

で,これに nπj (n は整数)を加えたものが一般値です.
主値は tanh^{-1} の加法定理を使うとか,(1)を使って log に書き直すとかで,
他にも等価な表現があります.

間違っているといけないので,岩波の数学公式集で確認しました.
なお,こういうことによく遭遇するのでしたら,この公式集は大変役に立ちます.
一組(三巻です)手元に置いて置かれることをおすすめします.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
岩波の公式集ですね。本屋さんで見てみます。

お礼日時:2001/11/01 14:20

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>α=a+ib…(A)とする。次の式をα、α~で表せ。

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基本的には(C),(D)のa,ibを代入すれば、どの式もαとα~で表すことが出来ます。
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=(i/4)(4α+2α~)(α+α~)
=i(2α+α~)(α+α~)/2 …(※)
上の解法の(※)の式と同じ。
式の纏め方は上と同様、いずれかで良いでしょう。

>α=a+ib…(A)とする。次の式をα、α~で表せ。

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または
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(1) 2次元ユークリッド平面上のベクトルの話だという限定を付けないと、長方形にはならない。(3次元なら、たとえば原点に重心がある正四面体の頂点がα,β,γ,δでも条件を満たすでしょ。)
(2) |α|=0の場合は例外だし、α,β,γ,δのうちに同じものが含まれる場合も例外。
ということに注意した上で
(3) |α|=|β|=|γ|=|δ|=1の場合に証明すれば、他の場合は自明なので、=1の場合だけ考える。
(4) x = (α+β) とすると、αとxがなす角θはxとβがなす角と同じ。
(5) (γ+δ) = -xでなくちゃならない。で、γとxがなす角ξはxとδがなす角と同じ。
あとはθ=ξを示せばよかろ。


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