”たたみこみ”で逆ラプラス変換の問題を解くものなのですが、
いまいち”たたみこみ”の活用法がわかりません。

 S^2/{(S^2+4)^2}

という問題で、これを部分分数分解して逆ラプラス変換すると、

 (1/2)t・cos2t+(1/4)t・sin2t

となる筈(苦)なのですが。
どうも問題を”たたみこみ”で解くことが出来ないのです。
 L[cos2t]=S/(S^2+4)
という関係式を使うのか、と感じてはいるのですが、そこで止まってしまいます。

”たたみこみ”について熟知(?)していらっしゃる方々、御回答お願いします。

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A 回答 (2件)

失礼しました。

もっと簡単に出来ました。
L^(-1)[S/(S^2+4)]=cos2t
を使って
L^(-1)[S^2/{(S^2+4)^2}]
=L^(-1)[(s/(S^2+4))*(s/(S^2+4))]
=∫0からtまでcos2(t-u)*cos2u du
=∫0からtまでcos(2t-2u)*cos2u du
=∫0からtまで(cos2tcos2u+sin2tsin2u)*cos2u du
=cos2t∫(cos2u)^2du+sin2t∫sin2ucos2udu
途中加法定理・2倍角の公式を使って
=(1/2)tcos2t+(1/4)sin2t

以上です
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この回答へのお礼

おおお!!(感動)
そうですか、たたみこみとはこのように解くものだったのですね!
有難う御座います、これでテストも出来・・・(ないと思いますが;)

お礼日時:2001/11/02 22:27

まずS^2/{(S^2+4)^2} を部分分数


 1/(S^2+4)-4/{(S^2+4)^2}と分解
この第一式はさらに分解して
(1/4i)*{1/(s-2i)-1/(s+2i)}
この式だけラプラス逆変換すると
(1/4i)*{e^(2it)-e^(-2it)}
=(1/2)*sin2t ・・・(1)

次に第二式は
L^(-1)[2/(S^2+4)]=sin2t より
ここでたたみこみを使って
L^(-1)[-4/(S^2+4)^2]
=L^(-1)[-(2/(S^2+4))*(2/(S^2+4)]
=-∫0からtまで(sin2(t-u)*sin2u)du
これを加法定理(2倍角も)を使ってからtの式をくくりだして
uの式をuで積分すると
=(1/8)sin2tcos4t-(1/8)sin4tcos2t-(1/8)sin2t
+(1/2)tcos2t
=-(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t ・・・(2)
(1)+(2)より
L^(-1)[S^2/{(S^2+4)^2} ]
=(1/4)sin2t+(1/2)tcos2t 

逆にこれをラプラス変換したらもとの式になりました
裏覚えの部分(公式)はちょっと本を見てしまいました
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これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
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> また、実数s>0,t>0で、s^2+t^2=1のとき、
> 1<=k<=√2

1<k≦√2 ですね。

> これより、k^2+2x^2k-x^4-2=0
> これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
> f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
> f(1)<=0かつf(√2)=>0

なぜその条件だといえるのですか?
一般に、2次方程式が実数のある範囲に解をもつ場合、このような場合以外の可能性も
当然考慮しなければなりません。
本問ではそれらの可能性は係数などの条件から排除できるわけですが、なぜ排除できるか
については、やはり理由を示すべきです。
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> これより、x^2(x^2-√2)=>0

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> 1<=k<=√2

1<k≦√2 ですね。

> これより、k^2+2x^2k-x^4-2=0
> これが、1<=k<=√2の範囲に解を持つ条件は、
> f(k)=k^2+2x^2k-x^4-2とおくと
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Aベストアンサー

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、証明したことになる。
そこで、p=cosθ,q=sinθとして、P-Qを書き下すと、

P-Q
=q^4-p^4+2p^2-1
=-{p^4-2p^2+(1-q^4)}  (pについて整理した)
=-{p^4-2p^2+(1+q^2)(1-q^2)}
=-{p^2-(1+q^2)}{p^2-(1-q^2)} (因数分解した)

ここで、p^2+q^2=1だから、p^2=1-q^2である。これを代入すると、
P-Q
=-{(1-q^2)-(1+q^2)}{(1-q^2)-(1-q^2)}
=-1*(-2q^2)*0
=0
したがって、P=Qである。

質問文の中の方法は、p^2+q^2=1という定理から出発して、証明する等式にもっていこうとしているのですが、この方法では、いろんな変形の可能性がどんどん増えていくばかりです。証明したい式から出発して、逆にたどっていくほうが近道です。

等式の証明は
左辺=右辺
というのが与えられたときに、

左辺=変形した結果・・・(1)
右辺=変形した結果・・・(2)
(1)(2)より、左辺=右辺

とするか、

左辺-右辺=変形式=0
∴ 左辺=右辺

とするかですよね。証明の構成がこのような簡単なパターンであっても、それを明示して、等式の証明をしていますよ、ということが分かるようにしたほうがいいと思います。

2番目の証明の構成方法で考えると、

証明せよと与えられた式の左辺をP、右辺をQとすると、
P-Q=0となれば、P=Qがいえて、...続きを読む


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