予め言っておきますが、私は社会人です。
仕事をしていますが、数学を解いてくれと頼まれました。
しかし、こういう風な問題を最近解いていないため、
解き方を忘れてしまいました。

√3sinθ+cosθをr sin(θ+α)の形にせよ
という問題があります。

解き方、答えを教えて下さい。
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1)sinθとcosθの係数をそれぞれ2乗したものを足して、それの平方根を取ります。



√(√3の2乗+1の2乗)=√4=2

(2)(1)で出た数字を前にだし、sinとcosをその数で割ります(2をかけて2で割っているので式の値は変わりません。)

√3sinθ+cosθ
=2(√3/2sinθ+1/2cosθ)

(3)次に( )の中の式と加法定理sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβを比較してみます。sin(θ+β)=sinθcosβ+cosθsinβ
するとcosβに相当するものが√3/2、sinβに相当するものが1/2であることがわかりますよね?これよりβの値が求まります。β=π/6

よって答えは2sin(θ+π/6)になります。
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この回答へのお礼

分かりやすい回答ありがとうございます。
そうですね。こういう解き方で解いておりました。
なんせ昔の話で・・・
ありがとうございます!

お礼日時:2001/11/01 10:54

√3sinθ+cosθ


= 2(√3/2sinθ+1/2cosθ)
=2(cos(π/6)sinθ+sin(π/6)cosθ)
=2sin(θ+π/6)

加法定理
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)
を使っています。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
こういう問題は離れるとすぐに忘れてしまいます。

お礼日時:2001/11/01 10:55

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 未然形に接続する助動詞 「らる」「さす」「ず・ざり」「む」「むず」「まし」「まほし」 同じく助詞 (仮定の)「ば」(打消接続の)「で」。その他は省略。

 連用形に接続する助動詞 「き」「けり」「つ」「ぬ」「たり」「たし」  同じく助詞「て」「つつ」「ながら」「てしか」「にしか」  同じく連用中止法の形「任せ、」及び「任せきり」のように他の動詞がつく形も連用形です。 

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=cosθ{-4(sinθ)^2+2sinθ+2}

=-2cosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)>0となり、

目的のcosθ(2sinθ+1)(sinθ-1)<0が得られます。

※これは「3倍角の公式」と言われる公式で、暗記で覚えてしまう方法もありますが、納得のいかない人は3θ=2θ+θであることを用いて三角関数の加法定理で自分で導き出すこともできますよ(余談ですが僕は覚えられないのでそうしてます。)

・参考
sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3

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三角関数以前に、基礎の基礎、分数の通分(つうぶん)や括弧をはずす操作の練習しなくちゃだめです。

 以下、めんどくさいから
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という式が意味を持つためには、(1+s)≠0かつc≠0でなくてはならない。つまり、この問題は暗黙のうちに「ただし(1+s)≠0かつc≠0であるものとする」という条件が付いているんです。

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  = (c^2+s^2+2s+1)/((1+s)c) となる。ここで公式 c^2+s^2=1 を使うと
  = (1+2s+1)/((1+s)c) である。そして分子を整理すると
  = 2(1+s)/((1+s)c) ですが、暗黙の条件(1+s)≠0があるから、安心して約分できます。
  = 2/c ふたたび、暗黙の条件c≠0によって、この式は確かに意味があります。
という訳で、答は
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三角関数以前に、基礎の基礎、分数の通分(つうぶん)や括弧をはずす操作の練習しなくちゃだめです。

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  c = cosθ, s = sinθ
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Q奥多摩の大岳山の特徴ある山容は、どこから見ても下のリンク先のような形な

奥多摩の大岳山の特徴ある山容は、どこから見ても下のリンク先のような形なのでしょうか?
もし、違う形に見えるのをご存知の方いられましたらお答えお願いいたします。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Otake-san2.jpg

Aベストアンサー

大岳山は山に囲まれていて、開けた東側から見る場合が大半だと思います。それでも奥多摩湖方面、御岳、桧原村、奥多摩周遊道路方面などからも見られますね。色々な方角から見た写真を載せておきます。上手くリンクしないようでしたらリンク先をコピーして別ウィンドウに貼り付けて見て下さい。

まずこちらがよく写真に出てくる大岳山で、至近距離のもの(東側)
http://livedoor.2.blogimg.jp/etouchiryouin/imgs/0/d/0dbbd855.JPG

八王子みなみ野シティより遠方に見た大岳山(南東側)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/8/80/%E4%B8%89%E9%A0%AD%E5%B1%B1%EF%BC%BF%E5%A4%A7%E5%B2%B3%E5%B1%B1%EF%BC%BF%E5%85%AB%E7%8E%8B%E5%AD%90%E3%81%8B%E3%82%89.JPG
私も大岳山の見える位置に住んでいます。近所のおばあさんが、子供の頃よりキューピー人形が寝ているように見えることから「キューピー山」と呼んでいたそうです。

桧原小(南側)から見た大岳山
http://itsukaichi.up.seesaa.net/image2/071115-6.JPG
桧原村、浅間嶺(南南西側)から見た大岳山
http://tokpa.web.fc2.com/seng/bp10.html

↓数馬方面(南西側)から見た大岳山
http://www.geocities.jp/watnohp/yama/sengmatu091103/sengmatu091103_0500.jpg
↓こちらが西南西側(三頭山・都民の森)方向から見た大岳山(左側の山)
http://image.blog.livedoor.jp/terusanyo/imgs/8/9/8951c91f.JPG
↓同じく御前山(左側)を含めて。通常、後に見える御前山が手前に見えます。
http://teel.mimoza.jp/odekake/09/odekake090221.html#(ページ内の下寄り)

奥多摩(北側方面)から見た大岳山(左側の山)
http://www.geocities.jp/yamakoji165/page017.html
御岳山方面(北北東側)から見た大岳山
http://blog-imgs-32.fc2.com/m/7/n/m7n4wfm19541121/20090921231704af9.jpg

日の出山山頂(東北東側)から見た大岳山
http://www.yamareco.com/modules/yamareco/upimg/3/33965/01113569e984d3bc4bc5e4af8132f78a.JPG

大岳山は山に囲まれていて、開けた東側から見る場合が大半だと思います。それでも奥多摩湖方面、御岳、桧原村、奥多摩周遊道路方面などからも見られますね。色々な方角から見た写真を載せておきます。上手くリンクしないようでしたらリンク先をコピーして別ウィンドウに貼り付けて見て下さい。

まずこちらがよく写真に出てくる大岳山で、至近距離のもの(東側)
http://livedoor.2.blogimg.jp/etouchiryouin/imgs/0/d/0dbbd855.JPG

八王子みなみ野シティより遠方に見た大岳山(南東側)
http://upload.wikimedia...続きを読む

Q{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

n → ∞のとき、
{√(1)+√(1+2)+√(1+2+3)+…+√(1+2+…+n)}/n^2 → √2/4

また、n → ∞のとき、
{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 → π√2/8

らしいのですが、証明がかいてありませんでした。
どうか証明を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関数 f(x)=√{(1-x^2)/2}
上限関数 g(x,Δ)=√[{(1+Δ)^2-x^2}/2] (但しΔ=1/n)
階段関数 {√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/n=√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]

(1)x=k/nのところで、階段の高い方より上限関数 g(x,Δ)が大きい事を示します。但しk=1~nです。
x=k/nの階段の高い方は√[{n(n+1)-(k-1)k}/(2n^2)]です。
x=k/nの上限関数 g(x,Δ)=g(k/n,1/n)=√[{(1+(1/n))^2-(k/n)^2}/2]=√[{(n+1)^2-k^2}/(2n^2)]
(上限関数) ≧ (階段関数の高い方) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
(n+1)^2-k^2 ≧ n(n+1)-(k-1)k を示せば十分です。
{(n+1)^2-k^2}-{n(n+1)-(k-1)k}=n-k+1≧0 より明らかです。

(2)x=k/nのところで、階段の低い方より下限関数 f(x)が小さい事を示します。但しk=0~nです。
x=k/nの階段の低い方は√[{n(n+1)-k(k+1)}/(2n^2)]です。
x=k/nの下限関数 f(x)=f(k/n)=√[{(1-(k/n)^2}/2]=√[(n^2-k^2)/(2n^2)]
(階段関数の低い方) ≧ (下限関数) を示すには、ルートと分母の(2n^2)が共通なので、
n(n+1)-k(k+1) ≧ n^2-k^2 を示せば十分です。
{n(n+1)-k(k+1)}-(n^2-k^2)=n-k≧0 より明らかです。

以上の事から階段関数は下限関数 f(x)と上限関数 g(x,Δ)の間に入る事がわかりました。
下限関数の面積をF,上限関数の面積をG(n),階段関数の面積をA(n)とすると、
F ≦ A(n) ≦ G(n) となります。
F=∫[0→1]f(x)dx=(1/√2)(単位円の面積÷4)=π(√2)/8
G(n)=∫[0→(1+Δ)]g(x,Δ)dx=(1/√2)(半径(1+Δ)の円の面積÷4)={π(√2)(1+Δ)^2}/8 (但し Δ=1/n)
つまり階段関数の面積はπ(√2)/8以上{π(√2)(1+1/n)^2}/8以下になります。
n→∞で階段関数の面積はπ(√2)/8に収束します。

#3、#5です。

>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)[Σ[k=1,n]{k/n} - 1/n + (n+1)/n]
>=lim[n→∞] (1/√2)(1/n)Σ[k=1,n]{k/n}

1/nが消えるのはわかるのですが、n/n(=1)が消えるのはなぜでしょう?


>でもそのはさみこむ方法は、後半ではうまくいきにくいし、…

後半もうまくいきましたので、以下に説明します。
n=7の場合のグラフを添付します。
区分求積法により、{√(1+2+…+n)+√(2+3+…+n)+…+√(n-1+n)+√(n)}/n^2 は幅(1/n),高さ{√{(k+1)+(k+2)+…+n}}/nの階段状の図形の面積になります。k=0~n-1です。
下限関...続きを読む


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