速さに比例した抵抗を受けながら重力のもとで落下する質点の運動方程式

m質量 g重力加速度 k比例定数 v速度 t時間として

m(dv/dt)=-mg-kv

と解答したのですが あっているでしょうか?

A 回答 (4件)

お尋ねの解答自体はあっています(siegmundさんの説明のとおりです)。


大切な問題が含まれていると思いますので、補足いたします。

これは、抵抗(あるいは摩擦)力が作用する運動の典型例です。抵抗力の特徴は、常に速度と反対方向に作用するということです。ですから、運動方程式中の速度は、スカラー量で書ける場合でも必ず符号付きで考えなくてはなりません。-kv についている「-」は、「今動いている方向と反対向き」というはっきりした意味を持つことを知っておけば、間違えたり不安な気持ちになったりせずにすむでしょう。

抵抗力のような力は、現象の可逆性を失わせるという効果を持っています。今の場合、もし重力だけが作用し抵抗力がなければ、実現する運動をビデオに撮り逆回しにしても何ら不自然ではありません(同じ運動方程式の解になっている)。しかし、速度に対する奇関数である抵抗力があるときの運動は、逆回しで見ると、例えば重力に逆らって上向き加速するなどとんでもないことになります。-kvの項というのは、このように重大な意味を持っているのです。
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v の方向が決めないと混乱の元です.


full3002 さんはそこで混乱したのかも知れません.
とにかく図を描いてみることです.

鉛直下向きに v の方向を取ると

    ↑ kv
    │
    ○ m
    │
    ↓ mg

の状況です.
つまり下向きの力は mg - kv です.
したがって,
(1)  m(dv/dt) = mg - kv

もし,上向きに速度を取るのでしたら,上向き速度を u として,u = -v ですから
上の(1)式に代入して
(2)  - m(du/dt) = mg + ku
すなわち
(3)  m(du/dt) = - mg - ku
です.

(1)(3)どちらも,u あるいは v の符号を適当に選ぶことにより,
落下(v>0,u<0)にも上昇(v<0, u>0)にも使えます.
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すみません!!


さっきの回答間違ってたみたいです!!
本当に申し訳ありません…。
mahiro19さんの答えで正解です。
本当に本当にごめんなさいっ!!
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符号が違うような気がします。


質店にかかる力がつりあうという考え方をすれば
抵抗は落下と逆の方向、重力は落下と同じ方向なので

m(dv/dt) = mg - kv

では?
うろ覚えなので、間違っていたらごめんなさい(>_<)
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