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積分∫(1/sqrt(x^2+1))dx は、log{x+sqrt(x^2+1)}+c
ですが、この積分問題は、x+sqrt(x^2+1)=tとおいて置換積分しますね。
こんなことをどうして思いつくんだろう?と疑問に思うのです。
この原始関数 F(x) = log{x+sqrt(x^2+1)} 自体どこから出てくるものなのでしょうか。初めてこの関数を微分してみた人は、どこからこんな式を考え付いて微分してみたのでしょうか?
 この log{x+sqrt(x^2+1)} という式は、きっと何か他の問題を解いている途中に出てきてたまたま微分したら、いい結果が出たのではないか、と思っています。
 ご存知の方、教えてください。

A 回答 (2件)

高校生でしょうか?



>こんなことをどうして思いつくんだろう?と疑問に思うのです。

これは、高校の範囲で無理やり積分しようとしているからです。
一般的には(大学1年生くらいかな)、双曲線関数
cosh(t) = (e^t + e^(-t))/2
sinh(t) = (e^t - e^(-t))/2
を使って、
x = sinh(t)
と置換します。
すると、
∫(1/sqrt(x^2+1))dx = ∫dt = t + C
と積分できます。
t = arcsinh(x) = log{x+sqrt(x^2+1)} 
です。
まあ、知ってて損はないので、ヒマな時にでも、双曲線関数について調べてみるといいです。
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この回答へのお礼

ご解答をありがとうございました。

お礼日時:2005/09/07 22:41

双曲線関数を経由していると思えば,


自然に理解できるのではないでしょうか.

(1)  sinh^2(y) + 1 = cosh^2(y)

(2)  (d/dy) sinh(y) = cosh(y)
から
(3)  x = sinh(y)
とでもおけば,ラッキーなことに分母分子がキャンセルします.
(3)から
(4)  y = arcsinh(x)
ですが,arcsinh(x) の別の表現が
(5)  log(x+sqrt(x^2+1))
に他なりません.
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この回答へのお礼

ご解答をありがとうございました。

お礼日時:2005/09/07 22:41

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