1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)この式が、(d-1)2^d+1となるらしいのですが、なぜそうなるのかわかりません。どなたか教えてください。

A 回答 (3件)

 S=1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)


2S=  1*2+2*4+3*8+・・・+(d-1)*2^(d-1)+d*2^d
上式から下式を辺々引いて
-S=1+2+4+・・・+2^(d-1)-d*2^d
  =(1-2^d)/(1-2)-d*2^d(等比数列の和の公式)
S=d*2^d+(1-2^d)
 =(d-1)2^d+1
 以上です
    
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この回答へのお礼

さっそくのご回答ありがとうございます。よくわかりました。ほんとにありがとうございます(^-^;)

お礼日時:2001/11/02 00:20

blue_monkeyです。


No1,No2の回答で解決済みかもしれませんが、
ほんの少しだけ異なる導出方法について補足させていただきます。
等比級数と微分の知識があれば次のヒントを元に導出可能です。

【ヒント】
・等比級数の和
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)
     
     =(x^(n+1)-1)/(x-1)
・xについて微分を行い、xに2を代入



【蛇足計算】
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)

(1)式は等比級数の和を考えると

(2) f(x)=(x^(n+1)-1)/(x-1)
(x≠1)
f(x)についてxで微分します。
(1)式をxで微分すると、

(3) (d/dx)f(x)=1+2*x^(1)+3*x^(2)+ +n*x^(n-1)

(2)式をxで微分すると

(4)  (d/dx)f(x)=(n+1)*x^(n)/(x-1)-(x^(n+1)-1)/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n)*(x-1)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n)*(x-1)-x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

(3)と(4)式にx=2を代入しますと

1+2*2^(1)+3*2^(2)+ +n*2^(n-1)

=[n*2^(n)-2^(n)+1]/1/1

=(n-1)*2^(n)+1

以上

誤計算、誤記、ウソがありましたらゴメンナサイ。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/02 00:50

ひとつひとつ見てみると、なんとなーくみえてくると思います。



 1*1、2*2、3*4・・・となっていますね。掛ける数(*の左側)と掛けられる数(*の右側)をそれぞれ見ていきます。

(左側)は、1,2,3,4・・・と1ずつふえていってますよね。なので一般式で
(つまり文字で表すと)d、d+1、d+2、d+3・・・となります。

(右側)も同じようにみていきます。1,2,4,8・・・と変化してますよね?これは一見するとなんの規則性もないようにみえるけど、よく考えてみると、

  1=2^0(どんな数もゼロ乗は必ず1になります)⇒このとき右側は 1
  2=2^1(2を一回掛ける)          ⇒このとき右側は 2
  4=2^2(2を二回掛ける→2*2)        ⇒このとき右側は 3
  8=2^3(2を三回掛ける→2*2*2)       ⇒このとき右側は 4

となります。ということはこれも一般式で表せて、2^(d-1)と書ける。
(⇒右側の数字と指数の差はどの項をみても-1となってるでしょ?)

だから1*1+2*2+3*4+4*8+・・・と続けていくとd個めに足されるのは 
d*2^(d-1)で表されるわけです。

これでわかったかな?
わからなかったらまた言ってください。それともほかに誰かもっといい説明をしてくれるかもしれないですが。

  
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この回答へのお礼

ご丁寧にご回答ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/02 00:44

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