1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)この式が、(d-1)2^d+1となるらしいのですが、なぜそうなるのかわかりません。どなたか教えてください。

A 回答 (3件)

 S=1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)


2S=  1*2+2*4+3*8+・・・+(d-1)*2^(d-1)+d*2^d
上式から下式を辺々引いて
-S=1+2+4+・・・+2^(d-1)-d*2^d
  =(1-2^d)/(1-2)-d*2^d(等比数列の和の公式)
S=d*2^d+(1-2^d)
 =(d-1)2^d+1
 以上です
    
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この回答へのお礼

さっそくのご回答ありがとうございます。よくわかりました。ほんとにありがとうございます(^-^;)

お礼日時:2001/11/02 00:20

blue_monkeyです。


No1,No2の回答で解決済みかもしれませんが、
ほんの少しだけ異なる導出方法について補足させていただきます。
等比級数と微分の知識があれば次のヒントを元に導出可能です。

【ヒント】
・等比級数の和
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)
     
     =(x^(n+1)-1)/(x-1)
・xについて微分を行い、xに2を代入



【蛇足計算】
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)

(1)式は等比級数の和を考えると

(2) f(x)=(x^(n+1)-1)/(x-1)
(x≠1)
f(x)についてxで微分します。
(1)式をxで微分すると、

(3) (d/dx)f(x)=1+2*x^(1)+3*x^(2)+ +n*x^(n-1)

(2)式をxで微分すると

(4)  (d/dx)f(x)=(n+1)*x^(n)/(x-1)-(x^(n+1)-1)/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n)*(x-1)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n)*(x-1)-x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

(3)と(4)式にx=2を代入しますと

1+2*2^(1)+3*2^(2)+ +n*2^(n-1)

=[n*2^(n)-2^(n)+1]/1/1

=(n-1)*2^(n)+1

以上

誤計算、誤記、ウソがありましたらゴメンナサイ。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/02 00:50

ひとつひとつ見てみると、なんとなーくみえてくると思います。



 1*1、2*2、3*4・・・となっていますね。掛ける数(*の左側)と掛けられる数(*の右側)をそれぞれ見ていきます。

(左側)は、1,2,3,4・・・と1ずつふえていってますよね。なので一般式で
(つまり文字で表すと)d、d+1、d+2、d+3・・・となります。

(右側)も同じようにみていきます。1,2,4,8・・・と変化してますよね?これは一見するとなんの規則性もないようにみえるけど、よく考えてみると、

  1=2^0(どんな数もゼロ乗は必ず1になります)⇒このとき右側は 1
  2=2^1(2を一回掛ける)          ⇒このとき右側は 2
  4=2^2(2を二回掛ける→2*2)        ⇒このとき右側は 3
  8=2^3(2を三回掛ける→2*2*2)       ⇒このとき右側は 4

となります。ということはこれも一般式で表せて、2^(d-1)と書ける。
(⇒右側の数字と指数の差はどの項をみても-1となってるでしょ?)

だから1*1+2*2+3*4+4*8+・・・と続けていくとd個めに足されるのは 
d*2^(d-1)で表されるわけです。

これでわかったかな?
わからなかったらまた言ってください。それともほかに誰かもっといい説明をしてくれるかもしれないですが。

  
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この回答へのお礼

ご丁寧にご回答ありがとうございます。

お礼日時:2001/11/02 00:44

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なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
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Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

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Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
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出すことはできますね。

Q線形です (1)を x+3y-2z=0 x-2y+4z=0 x^2+y^2+z^2=1をもちいて 答

線形です
(1)を
x+3y-2z=0
x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

Aベストアンサー

外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
だからそれと正反対のベクトルも、ベクトルa、bに垂直な単位ベクトルだから、これも答えに入れれば
よいのです。つまり外積から出した単位ベクトルの各成分に(-1)をかけた成分のベクトルも答えに
なります。そしてこうして出した2つのベクトルは、先に内積で出した2つのベクトルと一致します。

Q1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+

1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+5y=0
2.(dy/dx)+1-x-x^2-(2x+1)y-y^2=0
3.{(x+1)d^2y/dx^2}+{(4x+5)dy/dx}+(4x+6)y={(x+1)^2}e^(-2x)
の一般解を求めたいです。
解答解説をお願いします。

Aベストアンサー

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分方程式なので解ける.
z
=exp(-log(x+1))[∫(x+1)exp(log(x+1))dx+C]
=1/(x+1)[∫(x+1)^2dx+C]
=-1/(x+1)^2+C/(x+1).
w=1/(x+1)+Clog(x+1)+B.
y=[1/(x+1)+Clog(x+1)+B]exp(-2x).

疲れたので終わり・・・

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか?
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分...続きを読む

Q1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇔0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1?

aはa≧5をみたす定数として、
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1と
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1
は同値でしょうか?
1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も
0≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1⇒1-a≦(5a^2-26a+5)^2≦a-1も真なので同値だと思うのですが。

Aベストアンサー

前半)
> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。

後半も
>> aはa≧5をみたす定数として、
この↑条件下では同値ですね。


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