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現在、「積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
Aを正の定数とする。θを媒介変数とする曲線
X = acosθ^3
Y= asinθ^3
(0≦θ≦2π)
はアステロイド(星芒形)という。
この曲線によって囲まれた部分の面積を求めよ、です。


解答は、
求める面積をSとすると
曲線によって囲まれた部分は、
X軸、y軸について対称だから、
S/4=∫(0→a)ydx
となっていました。

でも、私は、
S/2=∫(0→a)ydx
となると思うのですが?
なぜなら、積分は、xが0→aの部分を積分するからです。

でも、そうすると解答がありません。
どうして、s/4となるのでしょうか?
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

A 回答 (3件)

>Aを正の定数とする。

θを媒介変数とする曲線
>X = acosθ^3
>Y= asinθ^3

問題のAとaはどちらかに統一していただいた方がいいですね。(同じAだと思いますので)

>X軸、y軸について対称だから、
>S/4=∫(0→a)ydx
>となっていました。

これで正しいです。
グラフを描いてみれば分かることですが、第一象限のyのグラフはθは0→π/2に変化するときxはa→0に変化します。(yは0→aに変化します。)
したがって、xが0→aに変化するときθはπ/2→0に変化し
第一象限のyについてxを0からaまで積分することは、第一象限分(星芒曲線とy軸とx軸で囲まれた全体の1/4部分)の面積部分を積分することになります。
変数変換の際のθはπ/2→0の積分となりますので注意してください。

>S/2=∫(0→a)ydx
となると思うのですが?
なぜなら、積分は、xが0→aの部分を積分するからです。
ここで言われるydxに相当する高さy,幅dxの微小な棒状面積の図形を考えて見てください。yはx軸からの高さになります。この微小な棒状面積をx軸にそってx=0~aまで加えたのが積分(面積)ですので、第一象限分(全体の1/4)の面積計算しかしていないことになります。
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この回答へのお礼

info22さま、御回答ありがとうございました。実際にθを0→π/2→π→/3π/2→2πと動かしてみたら、おっしゃるとおりになりました。最初にグラフの形をみたので、間違ってしまったようです。なんとか理解できました。ありがとうございました。

お礼日時:2005/09/01 22:57

どこが疑問なのか、よくわかりません。


多分、単純なカン違いなんだろうとは思いますが。

xが0→aの範囲で、yは正と負の2本があるから、
∫(0→a)ydx
で、その2本の間の面積が求まる、と思ったってことでしょうか?

∫(0→a)ydx
で求まるのは、yが正として、曲線y(x)と、実軸の間の面積ですね。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございます。

お礼日時:2005/09/03 22:35

おっしゃるとおりですね。



おそらく先を見越して、θで置換積分したときに0からπ/2とすれば、S/4になるから、と考えてのことだとは思いますが、解答の表現は正確ではないですね。
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この回答へのお礼

御回答ありがとうございました。

お礼日時:2005/09/03 22:35

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積分の応用で、できると思うんですけど、いまいちわかりません。
どうやってだすんですか?

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アステロイドx=a(cost)^3,y=a(sint)^3 (a>0)
の囲む面積Sならば
   S=4∫(0からaまで)ydx  だから
   x=a(cost)^3で置換すると
   dx=-3a(cost)^2・sintdt
S=4∫(π/2から0まで)a(sint)^3・-3a(cost)^2・sintdt
=12a^2∫(0から2πまで)(sint)^4・(cost)^2dt
=12a^2∫(0から2πまで)((sint)^4-(sint)^6)dt
=12a^2(I(4)―I(6))
   I(n)=∫(π/2から0まで)(sint)^ndtとすると
   I(n)=((n-1)/n)・I(n-2)
   I(2)=π/4より(2倍角の公式を使い積分)
   I(4)=3π/16,I(6)=5π/32
S=(3πa^2)/8            (終)
 
 
 

    


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