数字の謎解き

数学の授業のときに先生に出された問題なのですが考えても途中までしか分かりません。

問題は１～９の９つの数字を並べ替えて９ケタの数字を作るというものです。

その９ケタの数字は
・２つ目までは２で割り切れる
・３つ目までは３で割り切れる
・４つ目までは４で割り切れる
・５つ目までは５で割り切れる
・６つ目までは６で割り切れる
・７つ目までは７で割り切れる
・８つ目までは８で割り切れる
・９つ目までは９で割り切れる
という条件でした。

まず５つ目が５で割り切れることより５しかないことが分かります。

数学の得意な方,是非ご協力お願いします。

No.10 回答者： jisin74 回答日時： 2005/09/03 09:02

みたびNo.1です。

No.6様ありがとうございます、なるほど。
7で割り切れるかの判別法は知ってましたが、こうやって使うのですね。

例えば、中央が「６５４」のときで上位3桁の候補が「１８３」の場合に7桁目を「ｎ」とすると、
「『１８３６５４ｎ』が7で割り切れるかを判定」とは「(836-(1+540+n))が7で割り切れるかを判定」と同等。すなわち「(295+n)が7で割り切れるか」と同等。
→nの候補は(1or8)

以上、他の7つの候補でも繰り返し。という感じでしょうか。
なるほどこれなら計算機の助けなしでもなんとかなりますね。

納得です。どうもありがとうございました。

No.9 回答者： ryn 回答日時： 2005/09/02 22:56

> 7桁目が7で割り切れるために必要な数字」を

> どうやって求めるのか分かりませんでした。
そういえば書いてませんでしたね．

7桁の数字を1の位から3桁ずつのグループに分け，
左から奇数番目のグループの総和と
偶数番目のグループの総和の差が
7で割り切れるならその数字は7の倍数．
という方法を使いました．

これは，
　1001 = 7*11*13
のように 1001 が7の倍数になっている事によります．

No.8 回答者： jisin74 回答日時： 2005/09/02 21:55

No.1です。

No.6の方が、「(i) 中央が654のとき」で、「カッコ内の7桁目が7で割り切れるために必要な数字」をどうやって求めるのか分かりませんでした。(No.6さん、もしよければご教示下さい)

仕方ないので、別解法として以下のように求めました。

No.6の(i)の(イ)まで終わったところで、
　「奇偶奇６５４奇偶奇」

8つ目の「偶」は2か6ということで、6は確定したので、
　「奇偶奇６５４奇２奇」

のこる偶数は8しかないので、
　「奇８奇６５４奇２奇」

(a)ここで「３つ目までは３で割り切れる」ことを考えれば、1つ目の奇数+8+3つ目の奇数=3の倍数になるはず。
そうなる1つ目と3つ目の組合せは[1,3][3,1][1,9][9,1][3,7][7,3]の6組。

(b)また、「８つ目までは８で割り切れる」ことから、6つ目7つ目8つ目でできた3桁の数字「４奇２」は、8で割り切れるはず。これにあてはまる奇数は3か7。

(a)と(b)の条件を組み合わせると、候補は6つに絞り込まれる。
　7つ目が3の場合(1つ目と3つ目が[1,9]またはその逆)
　　「１８９６５４３２奇」(9つ目の奇は7しかない)
　　「９８１６５４３２奇」(9つ目の奇は7しかない)
　7つ目が7の場合(1つ目と3つ目が[1,3][1,9]またはそれらの逆)
　　「１８３６５４７２奇」(9つ目の奇は9しかない)
　　「３８１６５４７２奇」(9つ目の奇は9しかない)
　　「１８９６５４７２奇」(9つ目の奇は3しかない)
　　「９８１６５４７２奇」(9つ目の奇は3しかない)

あとは、上記6つをNo.2さんの参考URLの方法で7で割り切れるか判定。
答えは、「３８１６５４７２９」。

No.7 回答者： moonmist 回答日時： 2005/09/01 21:03

＃２です。

参考URLは正解なんだけど、違う意味で見当違いでしたねｗ
＃１さんの「まとめ」と、私の参考URLで、できそうですね。

＃３さん＆＃５さん
ゴメンネ。きっと俺のせいだよね。。。orz

No.6 回答者： ryn 回答日時： 2005/09/01 20:59

5つ目までが5で割り切れることから5番目は5．

　○○○○５○○○○

偶数番目までは偶数でなければならないので
　奇偶奇偶５偶奇偶奇

つぎに，4の倍数は下2桁が4の倍数になってなければならないことに注意すると，
4番目と8番目のすぐ上の桁が奇数であることから2か6．
したがって，
　奇偶奇２５偶奇６奇
　奇偶奇６５偶奇２奇
のどちらか．

さらに，3番目までと6番目までの条件によると
上位3桁と次の3桁はそれぞれ3で割り切れる．
すると，456番目の数字は258，654のどちらか．
ここまでで，
　奇偶奇２５８奇６奇
　奇偶奇６５４奇２奇
のどちらかとなる．

(i) 中央が258のとき
　上位3桁の可能性は 147,741 のどちらか．
　(ア)147のとき
　　147258○の7桁の数字が7で割り切れるためには
　　○は3でなければならない．
　　ところが，この場合14725836は8で割り切れない．
　　よって不適．
　(イ)741のとき
　　741258○の7桁の数字が7で割り切れるためには
　　○は0か7でなければならない．よって不適．

(i) 中央が654のとき
　　上位3桁の可能性があるのは次のもの．
　　ただし，カッコ内は7桁目が7で割り切れるために必要な数字．
　　　183(1or8)　→ 1も8も使用済み．
　　　189(5)　　→　5は使用済み．
　　　381(7)
　　　387(4)　　→　4は使用済み．
　　　783(2or9)　→　7番目は奇数だから2は不適
　　　789(6)　　→　6は使用済み．
　　　981(1or8)　→　1も8も使用済み．
　　　987(5)　　→　5は使用済み．



したがって，3816547，7836549が候補として残る．
今，8桁目は2と決まっているので，
　38165472，78365492
が8で割り切れるかどうかを確認する．
すると
　78365492
は条件を満たさず，
　38165472
は条件を満たすことがわかる．

以上より，
　381654729
が求める答え．
(これが9で割り切れるのは各桁の数字の和が9の倍数であることからＯＫ)　

No.5 回答者： nrb 回答日時： 2005/09/01 20:41

一桁目は０

・２つ目までは２で割り切れるで偶数
・５つ目までは５で割り切れる
　なので１桁目は０又５なので

２桁目は
・２つ目までは２で割り切れるの偶数
　なので候補２、４、６、８
・４つ目までは４で割り切れる
　なので末尾が０なので
　２０、４０、６０、８０どれでもOK
・３つ目までは３で割り切れる
　ので桁数時を足すと３で割れる
　２０ならば１２０、７２０
　４０ならば２４０、５４０（候補外）
　６０ならば３６０、９６０
　８０ならば１８０、４８０、７８０
の候補のうちどれか
・６つ目までは６で割り切れる
　ので２×３ですから全部候補


・９つ目までは９で割り切れるは
　にいつてはどんな並べ方でもOKなので
　無視
　０＋１＋・・・９＝４５
　４５なので９でどう並べれも割れる

・８つ目までは８で割り切れる
　なので
　０＋１＋・・・９＝で
　８で割れるのは
　８、１６、２４、３２、４０
　なので４０しかないので４５－４０＝５
　頭は５になる
　５○○○・・・・・０

・６つ目までは６で割り切れるなので
　3桁目までの候補が全部６で割れるので
　４、５、６桁の３数字で６で割れる

・８つ目までは８で割り切れるから
　下３桁で８で割れる
　１２０、２４０、９６０、４８０、がのこる

問題は・７つ目までは７で割り切れるで回答がでるのたが・・・・・うっ判らん・・・・・
　7の倍数…1の位から3桁ずつの群に分け、左から奇数番目の群の和と偶数番目の群の和との差が7で割り切れる。なので

　お昼ね使用
　たれかに引継ぎ・・・・

　　　

　
　
　



　
　
　
　

　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　

No.4 回答者： hisexc 回答日時： 2005/09/01 20:40

何種類も答えがある問題は中学生には向かない気がします。

147258369
147258963
183654729
189654723
381654729
387654129
741258369
741258963
783654129
789654123
981654723
987654123

No.3 回答者： sat4 回答日時： 2005/09/01 20:37

　５つ目が５で割り切れるということは、

最後の数字は０か５ですが、１～９までの数字を使うので、必ず５となりますが、
その場合、（最後から）２つ目までは２で割り切れる
という条件を満たすことは出来ないですよね。
それとも、これは、「左から○番目までは」の意味でしょうか？

No.2 回答者： moonmist 回答日時： 2005/09/01 20:18

＞まず５つ目が５で割り切れることより５しかないことが分かります。

「5つ目【まで】５で割り切れる」なので、5つ目が５と決めることはできないのではないでしょうか？

「9桁の２つ目」っていうのが上の2桁なのか下の2桁なのかわかりませんが、下の二桁とすれば私が考えるに、、

・2つ目までは2で割り切れる→
???????02,???????04,???????06・・・,???????96,???????98、
っていう意味じゃないのですか？

その中で3つ目までは、３で割り切れるということなので、
×??????002,○??????102,×??????202,×??????302,○??????402・・・×??????998
ということでしょう。
この○になったの中からさらに4桁・・・っていうことでしょう。
でも実際にそれをやるのは結構大変でしょうから、１から９までの割り算の法則っていうのを組み合わせて解くパズルなのだと思います。

参考URLのサイトの一番下を参考にして、解いてみてください。
私も、今は時間の関係でできませんが、あとでやってみます。
もし見当違いでしたらスミマセン。

参考URL：http://fleshwords.at.infoseek.co.jp/dt/dt055.htm

No.1 回答者： jisin74 回答日時： 2005/09/01 20:08

部分的回答ですが、

(1)「９つ目までは９で割り切れる」は当たり前ですね
(2)2,4,6,8番目の数字は、いずれも偶数
(3)(2)より、1,3,5,7,9番目は奇数

ここまでをまとめると
「奇、偶、奇、偶、５、偶、奇、偶、奇」
ですね。

1番目から7番目までの数について「7で割り切れて、同じ数字を2つ以上含まない、100の位が5である7桁の数」というのをプログラム作って求めればかなり絞り込めると思います。