数学の授業のときに先生に出された問題なのですが考えても途中までしか分かりません。
問題は1~9の9つの数字を並べ替えて9ケタの数字を作るというものです。
その9ケタの数字は
・2つ目までは2で割り切れる
・3つ目までは3で割り切れる
・4つ目までは4で割り切れる
・5つ目までは5で割り切れる
・6つ目までは6で割り切れる
・7つ目までは7で割り切れる
・8つ目までは8で割り切れる
・9つ目までは9で割り切れる
という条件でした。
まず5つ目が5で割り切れることより5しかないことが分かります。
数学の得意な方,是非ご協力お願いします。
A 回答 (10件)
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No.10
- 回答日時:
みたびNo.1です。
No.6様ありがとうございます、なるほど。
7で割り切れるかの判別法は知ってましたが、こうやって使うのですね。
例えば、中央が「654」のときで上位3桁の候補が「183」の場合に7桁目を「n」とすると、
「『183654n』が7で割り切れるかを判定」とは「(836-(1+540+n))が7で割り切れるかを判定」と同等。すなわち「(295+n)が7で割り切れるか」と同等。
→nの候補は(1or8)
以上、他の7つの候補でも繰り返し。という感じでしょうか。
なるほどこれなら計算機の助けなしでもなんとかなりますね。
納得です。どうもありがとうございました。
No.9
- 回答日時:
> 7桁目が7で割り切れるために必要な数字」を
> どうやって求めるのか分かりませんでした。
そういえば書いてませんでしたね.
7桁の数字を1の位から3桁ずつのグループに分け,
左から奇数番目のグループの総和と
偶数番目のグループの総和の差が
7で割り切れるならその数字は7の倍数.
という方法を使いました.
これは,
1001 = 7*11*13
のように 1001 が7の倍数になっている事によります.
No.8
- 回答日時:
No.1です。
No.6の方が、「(i) 中央が654のとき」で、「カッコ内の7桁目が7で割り切れるために必要な数字」をどうやって求めるのか分かりませんでした。(No.6さん、もしよければご教示下さい)
仕方ないので、別解法として以下のように求めました。
No.6の(i)の(イ)まで終わったところで、
「奇偶奇654奇偶奇」
8つ目の「偶」は2か6ということで、6は確定したので、
「奇偶奇654奇2奇」
のこる偶数は8しかないので、
「奇8奇654奇2奇」
(a)ここで「3つ目までは3で割り切れる」ことを考えれば、1つ目の奇数+8+3つ目の奇数=3の倍数になるはず。
そうなる1つ目と3つ目の組合せは[1,3][3,1][1,9][9,1][3,7][7,3]の6組。
(b)また、「8つ目までは8で割り切れる」ことから、6つ目7つ目8つ目でできた3桁の数字「4奇2」は、8で割り切れるはず。これにあてはまる奇数は3か7。
(a)と(b)の条件を組み合わせると、候補は6つに絞り込まれる。
7つ目が3の場合(1つ目と3つ目が[1,9]またはその逆)
「18965432奇」(9つ目の奇は7しかない)
「98165432奇」(9つ目の奇は7しかない)
7つ目が7の場合(1つ目と3つ目が[1,3][1,9]またはそれらの逆)
「18365472奇」(9つ目の奇は9しかない)
「38165472奇」(9つ目の奇は9しかない)
「18965472奇」(9つ目の奇は3しかない)
「98165472奇」(9つ目の奇は3しかない)
あとは、上記6つをNo.2さんの参考URLの方法で7で割り切れるか判定。
答えは、「381654729」。
No.7
- 回答日時:
#2です。
参考URLは正解なんだけど、違う意味で見当違いでしたねw
#1さんの「まとめ」と、私の参考URLで、できそうですね。
#3さん&#5さん
ゴメンネ。きっと俺のせいだよね。。。orz
No.6
- 回答日時:
5つ目までが5で割り切れることから5番目は5.
○○○○5○○○○
偶数番目までは偶数でなければならないので
奇偶奇偶5偶奇偶奇
つぎに,4の倍数は下2桁が4の倍数になってなければならないことに注意すると,
4番目と8番目のすぐ上の桁が奇数であることから2か6.
したがって,
奇偶奇25偶奇6奇
奇偶奇65偶奇2奇
のどちらか.
さらに,3番目までと6番目までの条件によると
上位3桁と次の3桁はそれぞれ3で割り切れる.
すると,456番目の数字は258,654のどちらか.
ここまでで,
奇偶奇258奇6奇
奇偶奇654奇2奇
のどちらかとなる.
(i) 中央が258のとき
上位3桁の可能性は 147,741 のどちらか.
(ア)147のとき
147258○の7桁の数字が7で割り切れるためには
○は3でなければならない.
ところが,この場合14725836は8で割り切れない.
よって不適.
(イ)741のとき
741258○の7桁の数字が7で割り切れるためには
○は0か7でなければならない.よって不適.
(i) 中央が654のとき
上位3桁の可能性があるのは次のもの.
ただし,カッコ内は7桁目が7で割り切れるために必要な数字.
183(1or8) → 1も8も使用済み.
189(5) → 5は使用済み.
381(7)
387(4) → 4は使用済み.
783(2or9) → 7番目は奇数だから2は不適
789(6) → 6は使用済み.
981(1or8) → 1も8も使用済み.
987(5) → 5は使用済み.
したがって,3816547,7836549が候補として残る.
今,8桁目は2と決まっているので,
38165472,78365492
が8で割り切れるかどうかを確認する.
すると
78365492
は条件を満たさず,
38165472
は条件を満たすことがわかる.
以上より,
381654729
が求める答え.
(これが9で割り切れるのは各桁の数字の和が9の倍数であることからOK)
No.5
- 回答日時:
一桁目は0
・2つ目までは2で割り切れるで偶数
・5つ目までは5で割り切れる
なので1桁目は0又5なので
2桁目は
・2つ目までは2で割り切れるの偶数
なので候補2、4、6、8
・4つ目までは4で割り切れる
なので末尾が0なので
20、40、60、80どれでもOK
・3つ目までは3で割り切れる
ので桁数時を足すと3で割れる
20ならば120、720
40ならば240、540(候補外)
60ならば360、960
80ならば180、480、780
の候補のうちどれか
・6つ目までは6で割り切れる
ので2×3ですから全部候補
・9つ目までは9で割り切れるは
にいつてはどんな並べ方でもOKなので
無視
0+1+・・・9=45
45なので9でどう並べれも割れる
・8つ目までは8で割り切れる
なので
0+1+・・・9=で
8で割れるのは
8、16、24、32、40
なので40しかないので45-40=5
頭は5になる
5○○○・・・・・0
・6つ目までは6で割り切れるなので
3桁目までの候補が全部6で割れるので
4、5、6桁の3数字で6で割れる
・8つ目までは8で割り切れるから
下3桁で8で割れる
120、240、960、480、がのこる
問題は・7つ目までは7で割り切れるで回答がでるのたが・・・・・うっ判らん・・・・・
7の倍数…1の位から3桁ずつの群に分け、左から奇数番目の群の和と偶数番目の群の和との差が7で割り切れる。なので
お昼ね使用
たれかに引継ぎ・・・・
No.4
- 回答日時:
何種類も答えがある問題は中学生には向かない気がします。
147258369
147258963
183654729
189654723
381654729
387654129
741258369
741258963
783654129
789654123
981654723
987654123
No.3
- 回答日時:
5つ目が5で割り切れるということは、
最後の数字は0か5ですが、1~9までの数字を使うので、必ず5となりますが、
その場合、(最後から)2つ目までは2で割り切れる
という条件を満たすことは出来ないですよね。
それとも、これは、「左から○番目までは」の意味でしょうか?
No.2
- 回答日時:
>まず5つ目が5で割り切れることより5しかないことが分かります。
「5つ目【まで】5で割り切れる」なので、5つ目が5と決めることはできないのではないでしょうか?
「9桁の2つ目」っていうのが上の2桁なのか下の2桁なのかわかりませんが、下の二桁とすれば私が考えるに、、
・2つ目までは2で割り切れる→
???????02,???????04,???????06・・・,???????96,???????98、
っていう意味じゃないのですか?
その中で3つ目までは、3で割り切れるということなので、
×??????002,○??????102,×??????202,×??????302,○??????402・・・×??????998
ということでしょう。
この○になったの中からさらに4桁・・・っていうことでしょう。
でも実際にそれをやるのは結構大変でしょうから、1から9までの割り算の法則っていうのを組み合わせて解くパズルなのだと思います。
参考URLのサイトの一番下を参考にして、解いてみてください。
私も、今は時間の関係でできませんが、あとでやってみます。
もし見当違いでしたらスミマセン。
参考URL:http://fleshwords.at.infoseek.co.jp/dt/dt055.htm
No.1
- 回答日時:
部分的回答ですが、
(1)「9つ目までは9で割り切れる」は当たり前ですね
(2)2,4,6,8番目の数字は、いずれも偶数
(3)(2)より、1,3,5,7,9番目は奇数
ここまでをまとめると
「奇、偶、奇、偶、5、偶、奇、偶、奇」
ですね。
1番目から7番目までの数について「7で割り切れて、同じ数字を2つ以上含まない、100の位が5である7桁の数」というのをプログラム作って求めればかなり絞り込めると思います。
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