三角関数の和→積の公式、積→和の公式がなかなか覚えられません。何か簡単に覚えられるような方法を知ってらっしゃる方、お願い致します。

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A 回答 (4件)

加法定理の「咲いたコスモスコスモス咲いた」式のバリエーションで和を積に変える公式の覚え方があります。



sinA+sinB=2sin(1/2)(A+B)cos(1/2)(A-B)
咲いた咲いた咲いたは(和)コスモス
         
sinA-sinB=2cos(1/2)(A+B)sin(1/2)(A-B)
咲かない咲かないコスモス咲かない
(ないはマイナスの意)

cosA+cosB=2cos(1/2)(A+B)cos(1/2)(A-B)
コスコス越せ越せ(意味不明)

cosA-cosB=-2sin(1/2)(A+B)sin(1/2)(A-B)
越さない越さない先々までも

僕の教えてる高校生は意味不明のコスコス越せ越せを一番最初に覚えてました。
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この回答へのお礼

いままでの回答のなかでは最も試験などで使えそうです。
(決して今までの回答が悪いという事はないのですが)
実は私、高校生なのですが、コスコス越せ越せを最初に覚えるのはわかる気がします。一つはコサインのみで公式ができていること、もう一つは、恥ずかしくって言えないです。想像してみて下さい、わかってらっしゃるとは思いますが・・・。回答してくださってありがとうございます。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

firstbeat様がすでに行列と変換を学ばれたかどうかわからないのですが、


行列の回転変換を利用して導く方法もあります。(和→積)

まず、原点に関するθの回転変換が以下のように表されます
{cosθ -sinθ}
{sinθ cosθ}
これを R(θ)とおきます。

次に、α回転、β回転の変換の組み合わせの回転を考えます。
考え方は、
α+βにより一気に回転させる方法→R(α+β)で表す
α回転ののちβ回転させる方法→R(α)R(β)で表す
しかしこれらは同じものなので、
R(α+β)=R(α)R(β)
と表すことが可能です。
これを計算すると、和積公式が出てきます。
(あくまで行列が前提なので、参考にならないかもしれません、すいません)

参考までに回転変換の覚え方ですが、
{cosθ -sinθ}
{sinθ cosθ}
高校のときの先生に
"コス"い"婆さん""死ん"でも"コス"い
コス→cos、婆さん→-sin、死ん→sin
と覚えろといわれました(笑)

この回答への補足

すいません!!行列わからないです。せっかく回答していただいたのに、理解できないのは、情けない限りです。すいません。

補足日時:2000/12/09 10:21
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私が覚えたのは、


1) Sin(A+B) = Sin(A)Cos(B)+Cos(A)Sin(B)

Sin(A+B) は sin cosの組み合わせ。

2) Cos(A+B) = Cos(A)Cos(B) - Sin(A)Sin(B)

Cos(A+B) は coscos, sinsinの組み合わせで、マイナス。

以上です。他は覚えていません。他の式はみんなこの式から導出できるので、導出するときの組み合わせとやり方を覚えているだけです。


Sin(A-B) = Sin(A + (-B)) として、 Cos(-B) = Cos(B)の関係とSin(-B) = Sin(B)の関係(これは図を書けばすぐにわかる)を使えば導出できます。
Cos(A-B)も同様です。

では、積和はどうするのか?。簡単です。SinCosの積和であればSin(A+B)の式とSin(A-B)の式から導けます。
CosCos又はSinSinの場合は、Cos(A+B)とCos(A-B)の式から導けます。

ついでに倍角と半角の公式も導けます。
倍角は、
Sin(2A) = Sin(A+A) = Sin(A)Cos(A)+Cos(A)Sin(A) = 2Sin(A)Cos(B)
Cos(2A) = ........以下省略

これらはほとんどルールみたいな物ですから、始めに述べた2本の式を導出するのは面倒ですが、それ以降は簡単に導出できます。

覚える公式は極力少なく!のポリシーをもつただの人からのアドバイスでした。
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この回答へのお礼

こうやって公式をひとつだけ覚えて、その一つをもとにして、発展させていけばよいのですね。数学苦手なんで、とりあえず公式から入ろうと思い、とにかく覚えていましたが、三角関数の分野は公式が多くて、しかも似通っているものばかりで、なかなか覚えられませんでした。この方法ならなんとか覚えられそうです。ありがとうございました。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

私は次のようにして覚えました。

積和変換はこうですよね。
 sinAcosB=(1/2){sin(A+B)+sin(A-B)}
 cosAsinB=(1/2){sin(A+B)-sin(A-B)}
 cosAcosB=(1/2){cos(A+B)+cos(A-B)}
 sinAsinB=(1/2){cos(A+B)-cos(A-B)}
じーっと見るといろんな規則性があるのがわかります。そこで、
(1)まずsinとcosの並び方を次のように
   唱えて覚えます。(何回も唱える)
  SCSS CSSS CCCC SSCC
(2)次に右辺のA+BとかA-Bとか
   和の+-の規則性を覚えます。

これでもう大丈夫。ちなみに和積変換は積和変換をひっくり返すだけなので覚える必要はありません。どうです? 簡単でしょう?
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この回答へのお礼

上の回答も「ナルホドなぁ」と思っていたのですが、こちらのご回答も、別の視点からの覚え方なんで、回答してくださってホントにありがたいなぁと思っております。朝、トイレに入っている時にでもこの覚え方を実行して、和積変換をしっかり使いこなせるようにしたいと思います。本当にありがとうございます。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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Q和積の公式の覚え方!!

友達が、和積の公式を書くときに「咲いた咲いた・・・」とか言っていたのですが
これって何か有名な覚え方があるのでしょうか??
いつもテストの時覚えられなくて困っているんですけど
ゴロあわせみたいな覚え方教えてもらえないでしょうか??

Aベストアンサー

私も高校時代,覚えていたのは加法定理だけでした(それもsinとcosだけ)。
テストのときは,最初の5分ぐらいで,問題用紙の裏を使って,加法定理から一連の公式を全部導き出して書いていました。

「咲いた」は加法定理ですね。おそらく,加法定理から和積を導くときにつぶやいていたのではないでしょうか。
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

……と思ったら,これの「和積バージョン」があるようです。
参考URLのページに,和積の覚え方がいろいろと載っています。
ただあまり品の良くないものもあるので,周囲に人がいるところで見る場合はご注意を。
一つ紹介しますと,

咲いた わ 咲いた わ 咲いた わ コスモス
sin A + sin B = 2 sin {(A + B)/2} cos {(A - B)/2}

咲か ない 咲かない コスモス 咲か ない
sin A - sin B = 2 cos {(A + B)/2} sin {(A - B)/2}

越し ます 越します 明日越す 越す
cos A + cos B = 2 cos {(A + B)/2} cos {(A - B)/2}

越さ ない 越さない まだ 先 々も
cos A - cos B = - 2 sin {(A + B)/2} sin {(A - B)/2}

※「わ」とか「ます」が「+」、「ない」が「-」になってたりして、なかなか細かいです。

トップページ(http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html)から入ると,数学・化学を始めとして,膨大な量の語呂合わせが楽しめます。
ただし,特に周期表では下品度が増しますのでお気をつけ下さい。(^^)

参考URL:http://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro/waseki.html

私も高校時代,覚えていたのは加法定理だけでした(それもsinとcosだけ)。
テストのときは,最初の5分ぐらいで,問題用紙の裏を使って,加法定理から一連の公式を全部導き出して書いていました。

「咲いた」は加法定理ですね。おそらく,加法定理から和積を導くときにつぶやいていたのではないでしょうか。
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

……と思ったら,これの「和積バージョン」があるようです。
参考URLのページに,和積の覚え方がいろいろと載っています。
ただあまり品の良くないものもあるので,周...続きを読む

Q和積・積和の公式の導き方

和積・積和の公式の導き方を教えてください。加法定理でやるらしいですが自力では出来ませんでした。

またこれらは覚える必要はあるのでしょうか。ほかの2倍角の公式などは、、学校の先生は「覚える必要はない」といっていましたが、数学の得意な人は「奇麗事を言わないで覚えた」といっていたので、受験という点も考慮して僕は導き出せますが、丸暗記しました。

しかし和積・積和の公式は苦痛なので、どうしようか迷っています。導き出すのもそんな長い手順ではなかったような気がするのでこれは導き出そうと以前までは思っていました。しかし特に数学が得意でない僕にとっては規則性に着目して暗記してしまったほうが早い気がします。どうなのでしょうか。

以上をよろしくお願いします。

Aベストアンサー

別に丸暗記してもいいですけど,符号ミスをする事もありますから,「+と-どっちだっけ?」となった時に自分で確認できるようにならないとまずいと思います.その意味で自力で導出できる事は必須です.
2倍角,3倍角の公式程度なら間違えにくいので暗記しましたけど(というよりも,数多く計算をこなしていると自然に覚えちゃいますよ),勿論自力で導出できるようにしてました..

例えば,sin同士の和積の場合,以下のようにやっています.
まず,
 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny …(1)
 sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny …(2)

とsinの式を2つ用意します.角度の部分は(x+y)と(x-y)の組です.
もし,sin○+sin△と和の形式の場合は(1)+(2)を((3)),sin○-sin△という差の形式の場合は(1)-(2)をしてあげればいいです((4)).

 sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy …(3)
 sin(x+y)-sin(x-y)=2cosxsiny …(4)

ここで,x+y=A,x-y=Bとでもおいてあげると,(3)(4)はそれぞれ(3')(4')と書き換えられます.

 sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2) …(3')
 sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) …(4')

x=(A+B)/2,y=(A-B)/2となるのは,一度計算して確認したら,あとは覚えてもいいかも(笑).

具体的に例えばsin4θ+sin2θを積の形に変換したいのなら,A=4θ,B=2θとしてあげると,x=3θ,y=θなので,sin4θ+sin2θ=2sin3θcosθとなります.

積和にしてもほぼ同じです.一から計算しても30秒もかからない程度だと思うので,丸暗記よりはこちらの方がいいと思います.

別に丸暗記してもいいですけど,符号ミスをする事もありますから,「+と-どっちだっけ?」となった時に自分で確認できるようにならないとまずいと思います.その意味で自力で導出できる事は必須です.
2倍角,3倍角の公式程度なら間違えにくいので暗記しましたけど(というよりも,数多く計算をこなしていると自然に覚えちゃいますよ),勿論自力で導出できるようにしてました..

例えば,sin同士の和積の場合,以下のようにやっています.
まず,
 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny …(1)
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