三角関数の和→積の公式、積→和の公式がなかなか覚えられません。何か簡単に覚えられるような方法を知ってらっしゃる方、お願い致します。

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A 回答 (4件)

加法定理の「咲いたコスモスコスモス咲いた」式のバリエーションで和を積に変える公式の覚え方があります。



sinA+sinB=2sin(1/2)(A+B)cos(1/2)(A-B)
咲いた咲いた咲いたは(和)コスモス
         
sinA-sinB=2cos(1/2)(A+B)sin(1/2)(A-B)
咲かない咲かないコスモス咲かない
(ないはマイナスの意)

cosA+cosB=2cos(1/2)(A+B)cos(1/2)(A-B)
コスコス越せ越せ(意味不明)

cosA-cosB=-2sin(1/2)(A+B)sin(1/2)(A-B)
越さない越さない先々までも

僕の教えてる高校生は意味不明のコスコス越せ越せを一番最初に覚えてました。
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この回答へのお礼

いままでの回答のなかでは最も試験などで使えそうです。
(決して今までの回答が悪いという事はないのですが)
実は私、高校生なのですが、コスコス越せ越せを最初に覚えるのはわかる気がします。一つはコサインのみで公式ができていること、もう一つは、恥ずかしくって言えないです。想像してみて下さい、わかってらっしゃるとは思いますが・・・。回答してくださってありがとうございます。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

firstbeat様がすでに行列と変換を学ばれたかどうかわからないのですが、


行列の回転変換を利用して導く方法もあります。(和→積)

まず、原点に関するθの回転変換が以下のように表されます
{cosθ -sinθ}
{sinθ cosθ}
これを R(θ)とおきます。

次に、α回転、β回転の変換の組み合わせの回転を考えます。
考え方は、
α+βにより一気に回転させる方法→R(α+β)で表す
α回転ののちβ回転させる方法→R(α)R(β)で表す
しかしこれらは同じものなので、
R(α+β)=R(α)R(β)
と表すことが可能です。
これを計算すると、和積公式が出てきます。
(あくまで行列が前提なので、参考にならないかもしれません、すいません)

参考までに回転変換の覚え方ですが、
{cosθ -sinθ}
{sinθ cosθ}
高校のときの先生に
"コス"い"婆さん""死ん"でも"コス"い
コス→cos、婆さん→-sin、死ん→sin
と覚えろといわれました(笑)

この回答への補足

すいません!!行列わからないです。せっかく回答していただいたのに、理解できないのは、情けない限りです。すいません。

補足日時:2000/12/09 10:21
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私が覚えたのは、


1) Sin(A+B) = Sin(A)Cos(B)+Cos(A)Sin(B)

Sin(A+B) は sin cosの組み合わせ。

2) Cos(A+B) = Cos(A)Cos(B) - Sin(A)Sin(B)

Cos(A+B) は coscos, sinsinの組み合わせで、マイナス。

以上です。他は覚えていません。他の式はみんなこの式から導出できるので、導出するときの組み合わせとやり方を覚えているだけです。


Sin(A-B) = Sin(A + (-B)) として、 Cos(-B) = Cos(B)の関係とSin(-B) = Sin(B)の関係(これは図を書けばすぐにわかる)を使えば導出できます。
Cos(A-B)も同様です。

では、積和はどうするのか?。簡単です。SinCosの積和であればSin(A+B)の式とSin(A-B)の式から導けます。
CosCos又はSinSinの場合は、Cos(A+B)とCos(A-B)の式から導けます。

ついでに倍角と半角の公式も導けます。
倍角は、
Sin(2A) = Sin(A+A) = Sin(A)Cos(A)+Cos(A)Sin(A) = 2Sin(A)Cos(B)
Cos(2A) = ........以下省略

これらはほとんどルールみたいな物ですから、始めに述べた2本の式を導出するのは面倒ですが、それ以降は簡単に導出できます。

覚える公式は極力少なく!のポリシーをもつただの人からのアドバイスでした。
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この回答へのお礼

こうやって公式をひとつだけ覚えて、その一つをもとにして、発展させていけばよいのですね。数学苦手なんで、とりあえず公式から入ろうと思い、とにかく覚えていましたが、三角関数の分野は公式が多くて、しかも似通っているものばかりで、なかなか覚えられませんでした。この方法ならなんとか覚えられそうです。ありがとうございました。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

私は次のようにして覚えました。

積和変換はこうですよね。
 sinAcosB=(1/2){sin(A+B)+sin(A-B)}
 cosAsinB=(1/2){sin(A+B)-sin(A-B)}
 cosAcosB=(1/2){cos(A+B)+cos(A-B)}
 sinAsinB=(1/2){cos(A+B)-cos(A-B)}
じーっと見るといろんな規則性があるのがわかります。そこで、
(1)まずsinとcosの並び方を次のように
   唱えて覚えます。(何回も唱える)
  SCSS CSSS CCCC SSCC
(2)次に右辺のA+BとかA-Bとか
   和の+-の規則性を覚えます。

これでもう大丈夫。ちなみに和積変換は積和変換をひっくり返すだけなので覚える必要はありません。どうです? 簡単でしょう?
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この回答へのお礼

上の回答も「ナルホドなぁ」と思っていたのですが、こちらのご回答も、別の視点からの覚え方なんで、回答してくださってホントにありがたいなぁと思っております。朝、トイレに入っている時にでもこの覚え方を実行して、和積変換をしっかり使いこなせるようにしたいと思います。本当にありがとうございます。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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> これ学力というより暗記ですよね?

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Q三角関数 和と積の公式

0≦x<2πのとき、次の不等式を解け。
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解答 2cos3x cos2x + cos3x < 0
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ここまではできました。
この後の解答をお願いします。

Aベストアンサー

  (1) cos3x>0 かつ cos2x<-1/2

cos3x>0 (0≦3x<6π)

    (0/2)π≦3x<(1/2)π,
    (3/2)π<3x<(5/2)π, (7/2)π<3x<(9/2)π,
    (11/2)π<3x<(12/2)π

 (0/6)π≦x<(1/6)π,
 (3/6)π<x<(5/6)π, (7/6)π<x<(9/6)π,
 (11/6)π<x<(12/6)π,

cos2x<-1/2 (0≦2x<4π)

    (2/3)π<2x<(4/3)π,
    (8/3)π<2x<(10/3)π,

 (2/6)π<x<(4/6)π,
 (8/6)π<x<(10/6)π,
 
0--1,,,,,3---5,,,7---9,,,,,,,11---12
,,,,,,,,,,2---4,,,,,,,,,,8---10,,,,,,,,,,,

,,,,,,,,,,,,,3-4,,,,,,,,,,8-9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

   (3/6)π<x<(4/6)π, (8/6)π<x<(9/6)π

――――――――――――――――
(2) cos3x<0 かつ cos2x>-1/2

cos3x<0 (0≦3x<6π)

    (1/2)π<3x<(3/2)π,
    (5/2)π<3x<(7/2)π,
    (9/2)π<3x<(11/2)π

     (1/6)π<x<(3/6)π,
     (5/6)π<x<(7/6)π,
     (9/6)π<x<(11/6)π

cos2x>-1/2 (0≦2x<4π)

    (0/3)π≦2x<(2/3)π,
    (4/3)π<2x<(8/3)π,
    (10/3)π<2x<(12/3)π

    (0/6)π≦x<(2/6)π,
    (4/6)π<x<(8/6)π,
    (10/6)π<x<(12/6)π

,,,1---3,,,,,,5---7,,,,,,9-----11
0----2,,,,,4-------- 8,,,,10-----12

,,,,,1-2,,,,,,,,,5---7,,,,,,,,,,10--11

(1/6)π<x<(2/6)π, (5/6)π<x<(7/6)π, (10/6)π<x<(11/6)π

――――――――――――――――

(1)、(2)を合わせて、
(1/6)π<x<(2/6)π,
(3/6)π<x<(4/6)π,
(5/6)π<x<(7/6)π,
(8/6)π<x<(9/6)π,
(10/6)π<x<(11/6)π となるようです。

  (1) cos3x>0 かつ cos2x<-1/2

cos3x>0 (0≦3x<6π)

    (0/2)π≦3x<(1/2)π,
    (3/2)π<3x<(5/2)π, (7/2)π<3x<(9/2)π,
    (11/2)π<3x<(12/2)π

 (0/6)π≦x<(1/6)π,
 (3/6)π<x<(5/6)π, (7/6)π<x<(9/6)π,
 (11/6)π<x<(12/6)π,

cos2x<-1/2 (0≦2x<4π)

    (2/3)π<2x<(4/3)π,
    (8/3)π<2x<(10/3)π,

 (2/6)π<x<(4/6)π,
 (8/6)π<x<(10/6)π,
 
0--1,,,,,3---5,,,7---9,,,,,,,11---12
,,,,,,,,,,2---4,,,,,,,,,,8---10,,...続きを読む

Q三角関数の公式について

加法定理は覚えなければならないと思いますが、
半角の公式や3倍角の公式や、積を和に直す公式や和を積に直す公式を皆さまは暗記していて使っているのでしょうか?
それとも覚えないで、その場その場で導いているのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

stripeさん、こんばんは。
>加法定理は覚えなければならないと思いますが、
半角の公式や3倍角の公式や、積を和に直す公式や和を積に直す公式を皆さまは暗記していて使っているのでしょうか?

私は、ズバリ、覚えていません!
覚えていたのは、

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsonβ

のみです。
これさえ覚えていれば、あとの公式は、すぐに導き出せますね。

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)ですから、
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

とわかりますし、
sin(α-β)やcos(α-β)は、覚えた2式において、
βのところに-βを入れればいいだけ。

2倍角の公式にいたっては、α=βとすればいいだけです。

あと、積和公式とかも、いろいろありますが、

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
--------------------------------上下たすと

sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
が得られます。
ここで、α+β=A,α-β=Bとおくと、

sinA+sinB=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2

という具合に、さっと求められます。
このようにすれば、たった2つの式を覚えているだけで
すべての式が導き出せるので、忘れたときなど、大変便利です。

もちろん、記憶に自信があれば、すべての公式を暗記すれば完璧ですよね。
でも、「あれ・・どうだったっけ・・符号は??」
なんて迷っちゃうときがあるので、そういうときに
「どうすれば導き出せるのか」を知っていると強いです。

私は、和積公式、積和公式を見ただけで
「げげっ、こんなのとても覚えられない」と思っていたので
三角比の試験では、まず試験が始まると、答案の裏に
公式をざざっと導き出していました(笑)

一番いいのは、一応覚えてしまっておいて、
いつでも自力で導き出せるようにしておくこと、です。
頑張ってくださいね。

stripeさん、こんばんは。
>加法定理は覚えなければならないと思いますが、
半角の公式や3倍角の公式や、積を和に直す公式や和を積に直す公式を皆さまは暗記していて使っているのでしょうか?

私は、ズバリ、覚えていません!
覚えていたのは、

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsonβ

のみです。
これさえ覚えていれば、あとの公式は、すぐに導き出せますね。

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)ですから、
=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

とわかりますし、
sin(α-β)やcos(α-β)...続きを読む

Q三角関数の和積の公式について

sinA+sinB=2sin{(A+B)/2}・con{(A-B)/2}・・・(1)
sinA-sinB=2cos{(A+B)/2}・sin{(A-B)/2}・・・(2)

などの、和積の公式があると思うのですが、右辺の{(A-B)/2}のところで、疑問に思ったのですが、角度の条件として、A>Bという条件はついているのでしょうか。もし40°と30°を和積する場合に、(1)だと、どちらをA,Bにしても値は変わらないと思うのですが、(2)の場合だと、A=40°,B=30°のときは、sin10°になるけど、A=30°,B=40°のときはsin(-10°)になりますよね。そして、sin10°≠sin(-10°)だから、結果も違ってきますよね。このように考えると、混乱してしまうのですが、どのように考えればよいのでしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(2)ではAとBを入れ替えると左辺も右辺も符号が変わるから差し支えないのです。


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