Diracのδ関数について教えてください。公式(定義)のひとつに

2πδ(x)=Σexp(inx) , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)

がありますが、右辺の n についての和を、整数のかわりに半奇数(n= -∞,・・・, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, ・・・, ∞)と変えた場合、この級数はδ関数と何らかの関係がつけられるものでしょうか?

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A 回答 (2件)

超関数はフーリエ変換やフーリエ級数を使って扱うのがしばしば便利で、ご質問もその範疇のものです。


2πδ(x)=Σexp(inx) , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)
これは周期2πを持つ周期的δ関数のフーリエ級数展開を表しています。つまりδ(x)は|x|=0,2π, 4π, .... 以外では0になっていて、
∀x (δ(x) = δ(x+2π))
という性質を満たします。

右辺の n についての和を、整数のかわりに半奇数(n= -∞,・・・, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, ・・・, ∞)と変えた場合をD(x)とすると、
D(x) = Σexp(i(n+1/2)x) , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)
=exp(ix/2)Σexp(inx)
=2π exp(ix/2)δ(x)
です。ゆえにD(x)は
|x|=0,2π, 4π, .... 以外では0になっています。また
D(x+2π) = 2π exp(i(x+2π)/2)δ(x+2π)
= 2π exp(ix/2)δ(x+2π)exp(iπ)
= 2π exp(ix/2)δ(x)exp(iπ)
= -2π exp(ix/2)δ(x)
= -D(x)
だから
∀x (D(x) = -D(x+2π))
です。そして、
D(0) = δ(0)
ですから
D(x)は周期4πを持ち、|x|=0, 4π, 8π,... ではδ(x)と同じで、|x|=2π, 6π, ... では-δ(x)と同じである、そういう関数になります。

ちなみに、周期的でないδ関数はフーリエ変換
2πδ(x) = ∫exp(itx) dt (積分は-∞~∞)
で表されます。
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この回答へのお礼

stomachmanさん、こんにちは。とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
nを1/2ずらしてδ(x)に関係付けたわけですが、もとの場合とnの取る値の範囲がずれた影響はないのでしょうか?(といっても、-∞+1/2~∞+1/2 をどう考えればいいかよくわかりませんが・・・)

お礼日時:2001/11/07 01:57

stomachman さんの完璧解答があるので,蛇足の補足ですが...



> nを1/2ずらしてδ(x)に関係付けたわけですが、
> もとの場合とnの取る値の範囲がずれた影響はないのでしょうか?
>(といっても、-∞ +1/2~∞+1/2 をどう考えればいいかよくわかりませんが・・・)

単純に考えるなら,すべての n について和を取っているのですから,
すらしても影響はありません.
ただし,もう少し慎重に考えると,無限和に注意しないといけません.
n をずらすのは和の順序を変更するのと同じことで,
無限和で項の順序を変更するには注意が必要です.

δ関数は普通の関数ではなく,stomachman さんが書かれていますように超関数ですが,
とりあえずは積分核+極限操作と考えて置けばよいでしょう.
こういう立場なら,
exp の中味に -ε|n| という強い収束因子(ε>0)を加えておいて和を収束させ,
「おとなしい」関数との積を作って積分してからε→0 とすれば大丈夫です.
そもそも,もとの Σexp(inx)が通常の意味では収束しませんよね.

なお,今の周期的δ関数は基本周期が -π<x<π ですが,
周期関数でなくて定義域を -π<x<π に限定してしまっている
(しばしば暗黙の内に)場合もありますので,ご注意下さい.
具体的問題に関してδ関数が出てくる場合にどちらになっているかは
その問題の設定によります.
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この回答へのお礼

siegmundさん、こんにちは。蛇足どころか丁寧な補足をありがとうございます。
ご指摘のように、δ関数の実用としては Σexp(-ε|n| +inx) としておけばOKですね。
細かな点の注意もしていただき恐縮です。

お礼日時:2001/11/08 20:32

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Qデルタ関数のフーリエ変換

デルタ関数をフーリエ変換するプログラムを作成したいと思っています。

フーリエ変換自体のプログラムは出来上がりました。(いくつかの計算例で確認しました。)

そこで質問ですが、デルタ関数はどのように入力すれば良いのでしょうか?

F( 1 )=大きな数字、
F( 2 以降) =0
でしょうか?

デルタ関数をフーリエ変換すると、『1』になるのを確認したいと思っています。

プログラム言語は『Fortran』を使用しています。
以上、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本物のデルタ関数は入力できません。
巾と高さの積が1になる擬似デルタ関数をいろいろ作って
変換してみるのがおもしろいと思いますよ。
擬似デルタ関数と離散フーリエ変換では予想と違うものが
計算されると思います。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qデルタ関数に関する質問です:

最近ネット上と講義中によく
「デルタ関数」が見えます。
1. デルタ関数はどのような関数ですか。
2. どう使用しますか。

何卒、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電子に対してクーロンの法則を適用し、電子の数だけ足す必要があります。このとき個々の電子を扱うのではなく電荷密度の概念を用いると、計算の見通しが非常に良くなります。

 それで電磁気学の基本式は、電荷密度の概念に基づいて定式化されました。ところが個々の電子(密度でない電荷そのもの)を扱う必要も、やっぱりあるのですよ。しかし電子のような「点電荷」は電荷密度の概念上では、体積0に0でない電荷量が集中したものなので、点電荷の電荷密度は無限大になって、電磁気学の基本式の適用がかなり面倒になります。

 δ関数導入以前にはこういう場合、点電荷である電子の位置はとりあえず除外し、基本式から必要な解を求めていました。でも解の原因である電子を考慮に入れていないので、この解には不定性(曖昧さ)がありました。

 不定性(曖昧さ)を除くためには、電子の位置まで解を延長し、うまく電子の点電荷量と辻褄が合うように「接続条件」を定める必要がありました。


 ディラックは上記のような計算において、点電荷の無限大密度をもし仮に使用したら、無限大密度は常に積分の中にしか現れない事に気づきます。電子の電荷量はふつうeで表されるので、それを体積0で割った密度e/0を、e/0=δ(s)(無限大)と書く事にします。sは電荷eを持つ電子の位置です。
※本当は、こんな計算はやっちゃいけなんのですけどね(^^)。

 実際に考えてみると意外な事に、δ(s)の積分に関して、

  ∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある   (1)

などは明らかです。ここで∫δ(s)dV=eの意味は、体積Vの中に電子が1個しかなかった時、その体積内の全部の電荷密度を合計したみたら、それは電子の電荷eに等しくなったという式です。当然ですよね?。それしかないのだから。

 同様に、

  ∫δ(s)dV=0,sは積分領域Vの外部にある   (2)

も当然です。体積Vの中は空なのだから。

 ただし(1)(2)より体積Vとして、電子の位置sを含むいかに小さな体積を取っても、(1)が成り立ちます。おおざっぱに言えば、位置sのみ含む大きさ0で体積でも、(1)が成り立ちます。その意味でδ関数の積分は異常ですが、非常に明解です。


 数学的には∫δ(s)dV=eではなく、

  ∫δ(s)dV=1,sは積分領域Vの内部にある   (1’)

の方が便利です。このとき(1)は、

  ∫eδ(s)dV=e∫δ(s)dV=e,sは積分領域Vの内部にある

と書けば良い事になります。


 ディラックはまさに(1’)と(2)を、そのまま理論物理の中に持ち込みました。しかし持ち込んでも何の役にも立たたなければ(1’)と(2)は、「無限大を強引に積分してみせただけ」の数学的には破綻している、取り扱い危険物にしか過ぎません。

 そうではなかったのは、(数学的根拠はないが)(1’)と(2)さえ認めれば、

  ∫f(x)・δ(s)dV=f(s),sは積分領域Vの内部にある   (3)

の数学的証明は、けっこう簡単だったからです。

 (3)がなぜ重要かというと、先に述べた「接続条件の結果」というのが、(3)の右辺そのものだったからです。みんな「接続条件の計算」に(3)のような単純さを望んでいたのに(意味を考えると、当然そうなると思えるのに)、誰も上手く定式化できませんでした。なのでδ関数は、かなり急速に受け入れられました。だって便利なんだもの・・・(^^;)。


 とは言え正しい結果を出すのなら、それを正当化する必要があります。それをやったのがシュワルツの超関数理論です。それを(改良?)したのが、佐藤超関数です。


 δ関数は今では、電磁気学や量子力学などの理論物理の世界だけのものではありません。土木工学の分野にだって浸透しています。

 点電荷を1点に集中した無限大の電荷密度と考えるように、1点に集中した構造物に作用する外力を土木工学では、無限大の荷重密度とみなし、集中荷重と呼びます。土木工学の基本式の多くは、荷重密度を基本としているからです。


 で、δ関数との実際上の付き合い方なのですが、以上の経緯から明らかなようにδ関数は、実用的に使うためにこそ導入されました。

 なのでシュワルツの超関数を知らなくても、(1’)と(2)と(3)さえ押さえておけば、実用的には十分だったりします・・・(^^;)。

 δ(デルタ)関数は最初、電気工学から理論物理学の門を叩いた物理学者ディラックが導入しました。

 例えば電磁気学の多くの式は、電荷密度の分布という概念に支えられています。電荷の元は電子で、それはもちろん密度ではありません。しかし目に見える物体は滅茶苦茶に沢山の電子を含んでいるので、体積当たりの電荷密度という考えを使っても、非常に良い近似が可能です。

 (密度でない)点電荷に対するクーロンの法則はご存知と思うのですが、帯電した物体から生じる電場を計算するには、物体内の全ての電...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

QDIRACのデルタ関数

DIRACのデルタ関数について教えてください.

Aベストアンサー

ディラックのデルタ関数をxの関数として
δ(x)
と表すとします.
このときδ(x)は
x=0のみ(正確には限りなく幅が0に近い0の近傍)で0以外の値を取り,
そのほかの部分ではδ(x)=0
となるような関数です.
そして,0でδ(x)が取る値はとても大きく,0を含む範囲で積分をすれば,
幅が限りなく0に近いにもかかわらず,その積分値が1となります.

Q何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

Aベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると)
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)>0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1>0
です。
 さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'(ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる)の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

 (**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…~(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…~(*)
となりましょう。

 で、~(**)⇒~(*)を証明すりゃ良い。まず~(**)...続きを読む

Qデルタ関数

ディラックのデルタ関数に以下の関係式があると参考書に載っていました。
δ(ax) = δ(x)/a (where a>0)

上記の関係式ですが、成り立つxの範囲に制限はあるのでしょうか?

どうもイメージ的にデルタ関数は0付近で急激にあがり、上記の式が成り立たないのではないかと思ってしまっています。

Aベストアンサー

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0なので

θ(ax)=1(x>0),0(x<0)

すなわちθ(ax)=θ(x)であり,

(2)δ_ε(ax)={θ(x)-θ(x-ε/a)}/ε

=(1/a){θ(x)-θ(x-ε/a)}/(ε/a)

(1)でεをε/aに置き換えると

(☆)δ_ε(ax)=(1/a)δ_{ε/a}(x)

右辺からδ_ε(ax)は0~ε/aに面積1/aが集中していることがわかります.つまり,δ_ε(x)に比べてδ_ε(ax)はピークの幅が1/aになりその結果ピークの面積も1/aになります.(横に圧縮)

実はこれは一般に言えることです.f(x)のグラフに山があってその広がりが⊿,高さがhならば,f(ax)の場合その山の幅は⊿/aで高さは変わりません.したがってf(x)の山の面積S≒h⊿/2,f(ax)の山の面積(1/2)h⊿/a=S/aになります.

☆においてε→+0とすると,★となります.

理想的なδ関数になると,ピーク幅は0になってしまうので(☆)のような解釈はできず,xの範囲に制限はなくいつでも成り立つしか言いようがありません.

δ関数を例えば電気回路のインパルスのモデルとして実用的に使うときなどは,パラメータεなどを用いた(1)のような式で解釈すると結構その振る舞いを納得できることが多いです.

(★)δ(ax)=δ(x)/a

はx≠0では両辺とも0で明らかに成り立ちます.問題は原点付近です.理想的なδ関数の場合は∞になる点が原点に集中してしまうのでよくわかりにくいと思います.

そこで近似的δ関数で考えましょう.すなわちε>0をとり,底辺ε,高さ1/εの長方形のグラフをあらわす関数をδ_ε(x)とします.すなわち

(1)δ_ε(x)={θ(x)-θ(x-ε)}/ε

ここにθ(x)はヘビサイド関数

θ(x)=1(x>0),0(x<0)

です.ε→+0とすればδ_ε(x)はδ(x)になります.

a>0として

δ_ε(ax)={θ(ax)-θ(ax-ε)}/ε

={θ(ax)-θ(a(x-ε/a))}/ε

a>0な...続きを読む

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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