こんにちは。
学生から離れて少し経ちますが、すっかり上記のことを忘れてしまいました。

タイトルの通り、内積、外積の意味を教えていただきたいのです。
内積は結局これを意味していて、外積はこれのことだ!
というように。

式は分かりますが、いまいちその意味がわかりません。

よろしくお願いします。

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A 回答 (4件)

内積:


一方のベクトルを他方のベクトルへ正射影させた値と、
その他方のベクトルの絶対値との積で表したスカラー値
を求めることです。

外積:
2つのベクトルが2辺をなす平行四辺形の面積の値と
同じ大きさで、2つのベクトルで作られる平面に
垂直なベクトル(向きは右手系か左手系で逆になる)
を求めることです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
"一方のベクトルを他方のベクトルへ正射影させた"
というところがよく分かりません。
よろしくお願いします。

お礼日時:2001/11/07 14:46

"一方のベクトルを他方のベクトルへ正射影させた"



2つのベクトルの原点を同じにします。
片方のベクトルAの先から、もう一方のベクトル(のつくる線B)にむかって垂線を引きます。その垂線とBとの交点を先とし、原点を原点にとったときにできるベクトルが、Aの正射影です。

図に描くと簡単なことですが、文にすると複雑になってしまいました。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
そうですね、図解した方が簡単に説明できるものも
文章で書くと理解しにくくなるものです。
(何とか今回は理解しましたが・・・)

お礼日時:2001/11/08 09:03

長さを二つ掛け合わせると面積の次元になります。


ベクトルにも長さがありますから、それを掛け合わせた
時に面積を表すようになっていたら便利じゃないか、
そこで考え出されたのが外積です。二つのベクトルで
作られる平行四辺形の面積を表します。向きは?
面積を表すものなのですから、本当は面の向きを
表したいのです。だけどそれは難しい。うまい具合に、
三次元空間内では、平面に直交する直線が全て同じ
向きになりますから、それで代用してしまえってんで
外積の定義が完成したわけです。
だけど、まてよ、これじゃ同じものを掛け合わせた
時にゼロになってしまう。これはまずい。やはり
同じものを掛け合わせた時に元の自乗になる量も
欲しい。サインの替りにコサインを使ったらうまく
いくんじゃないかってんで作られたのが内積。

・・・信用しないで下さい。私が勝手にそう思って
いるだけですから。
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では、念の為ベクトルとスカラーについて



スカラー:大きさのみを有する量 (1つの数値で表される)
ベクトル:大きさと方向を有する量(複数個の数値の組で表される)

参考URLもどうぞ。

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/in_pro/in_pro.htm
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Q内積と外積について

内積と外積の定義は解ります。
しかし、なぜその概念が出てくるのか?
必要性は何か?

ある人は、内積を定義すれば「なす角がわかる」から、と言っていましたが、
その考え方では、まだわからない角を使って定義することに私は納得いきません。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

 こんばんは。物理で内積や外積の考え方を利用します。内積は「仕事」の考え方で用いますし、外積はトルクモーメントの考え方で用います。内積は高校物理の範囲ですが、外積は大学教養レベルです。

Qベクトル、内積、外積など

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソコン上では三角関数などは級数なので精度、
   処理速度、共に両立できない。

なので、なるべく少ない計算量で、四則演算のみを用いた
解法が必要です。

以下は私の考えた手順ですが、

  (1)ベクトルBcとBa(もしくはBp)との外積によりベクトルNを得ます。

  (2)ベクトルNとBcとの外積によりBcに直行するベクトルBc´を得ます。

  (3)ベクトルBc´とBpとの内積が負ならば、点Pは線分B-Cの外に位置します。

  これをB-C、C-A、A-Bと行うことで判定します。

これでは外積を2回、内積を1回計算する必要があり、計算量が多いので
より簡潔な手法が必要です。




(本当に数学って大切ですね、もっと勉強しておけばよかった(^^;)

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソ...続きを読む

Aベストアンサー

点Pが点ABCを含む平面上にあるなら、
ベクトルAbとApとの外積、ベクトルBcとBpとの外積、ベクトルCaとCpとの外積
この3つのベクトルは平面の法線ベクトルなので、同じ方向か逆方向のベクトルになります。

3つとも同方向なら点Pは三角形ABC内です。

2つのベクトルが同方向か逆方向かは内積の正負で判断できます。

Qベクトルの内積は外積のトレースである

 
これは正しいですか。
正しければその意味を説明して下さい。
 

Aベストアンサー

ベクトルの内積は外積のトレースである

質問者の言っている外積は正しくはテンソル積といいます。

ベクトルの外積は正しくはベクトルを生むだけでトレース(対角項の和)なるものは定義できません。


まあ、実用的な3次元でやりましょう。x,y,z方向の単位ベクトルをi↑,j↑,k↑とすると

ベクトルP↑=pxi↑+pyj↑+pzk↑

ベクトルQ↑=qxi↑+qyj↑+qzk↑

内積IP=P↑・Q↑=pxqx+pyqy+pzqz

内積は横ベクトル×縦ベクトルで作るスカラーです。

テンソル積は縦ベクトル×横ベクトルで作る2階のテンソルです。縦横に3×3の9個成分を持つ量です。

ベクトルの上位の構造を持つ量です。

記号は丸の中に×を書きますがこのサイトでは出ないようなので◎で代用します。

テンソル積TP=P↑◎Q↑=(T(i,j))

T(1,1)=pxqx, T(1,2)=pxqy, T(1,3)=pxqz

T(2,1)=pyqx, T(2,2)=pyqy, T(2,3)=pyqz

T(3,1)=pzqx, T(3,2)=pzqy, T(3,3)=pzqz

trace(TP)=pxqx+pyqy+pzqz=P↑・Q↑=IP

つまり質問はテンソル積を用いることにより正しいことが証明されます。

ベクトルの内積は外積のトレースである

質問者の言っている外積は正しくはテンソル積といいます。

ベクトルの外積は正しくはベクトルを生むだけでトレース(対角項の和)なるものは定義できません。


まあ、実用的な3次元でやりましょう。x,y,z方向の単位ベクトルをi↑,j↑,k↑とすると

ベクトルP↑=pxi↑+pyj↑+pzk↑

ベクトルQ↑=qxi↑+qyj↑+qzk↑

内積IP=P↑・Q↑=pxqx+pyqy+pzqz

内積は横ベクトル×縦ベクトルで作るスカラーです。

テンソル積は縦ベクトル×横ベクトルで作る2階のテンソルです。縦横に3×3の9個...続きを読む

Q外積、内積に使われる記号の読み方を教えてください!

外積 a×b

内積 a ・ b

それぞれなんて読みますか?
別に決まっていない、とどこかで聞いた場合は、「決まっていない」と回答していただければと思います。また、どこかの文献でみていないのにもかかわらず、適当には答えないでもらいたいです。

回答お願いします!

Aベストアンサー

英語圏ではa×bは「エイ クロス ビー」、a・bは「エイ ドット ビー」が一般的です。
日本語圏でも同じく言う人が多いかと。しかしaとbの外積、内積とそのまま言う人もいるので特に決まっていないと答えるのが無難でしょうね。

Q内積、外積の発想はどのようにしてなされたのですか?

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

私は大学1年生なので、かっちりした数学を学習しておらず、厳密な定義などを言われても分からないのですが、こんな感じで生まれた、または、こんな疑問からの発想で生まれたんじゃないかな、というような意見を教えていただければと思います。もちろん、歴史を絡めていただけると、なおありがたいです。

よく、内積は物理の仕事から、外積は物理の力のモーメントからなどと言われていますが、なんだか納得できません。
線形空間などに計量できるように内積を導入するなどと見ましたが、どういう意味か全くわかりません。だれか教えてくれませんか?
また、内積や外積はベクトルについて考えていれば自然に考えが生まれるなど、詳細を書かずに一般論を言われている方もいましたが、一体その「自然」とは?
確かに自然数について考えて入れば加法や減法といった演算は自然に考え付くのかなと想像はできますが、それは自然数というものを人間が直感によって理解しやすいものだからなのではないでしょうか?ベクトルへの人間の理解とは全く程度が異なるような感じがして、なんだかこの手の回答は理解できませんでした。


どこが自然なのか?何を考えて内積や外積に気がついたのか?
なにか知っていましたら教えていただければと思います。
また、内積や外積について、そのように定めたことによって得られたものなどを、内積という概念が導入された経緯とともに教えていただければとても助かります。


※現代において厳密に整備された概念や、内積をもとにして生み出された概念、また公理的な概念による説明などはこの質問の意図するところではありません。自然数とは何かと聞かれて、ペアノの公理を説明するような回答は望んではいないということです。あくまで「直感」的な立場の回答をお願いいたします。また、簡単に思いつくような、検索欄に「内積 歴史」などによって調べて出てきた日本語でのネット上のページや、知恵袋、okwaveといった質問投稿サイトでの同様の質問はいろいろと見てみましたし、大学の図書館で言及しているものがないかをパラパラと調べてみましたが、結局知りたい情報はありませでした。(英語のサイトは、英語があまり得意ではなく、挫折してしまったので、そちらの情報などで役に立つものがあるのかもしれませんけれども・・・)
どなたか内積の歴史などについて言及している本をご存じではありませんか?
知っていましたら是非教えてください。


回答、よろしくお願いいたします。
皆さまの回答、お待ちしております。

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

私は大学1年生なので、かっちりした数学を学習しておらず、厳密な定義などを言われても分からないのですが、こんな感じで生まれた、または、こんな疑問からの発想で生まれたんじゃないかな、というような意見を教えていただければと思います。もちろん、歴史を絡めていただけると、なおありがた...続きを読む

Aベストアンサー

内積や外積、ベクトルの起源は、ハミルトンの四元数です。四元数の純虚数空間の数をベクトルと呼びます。
ベクトルの積を求めます。
z=bi+cj+dk
w=qi+rj+sk
とすると、
z*w
=(-bq-cr-ds)
+(cs-dr)i
+(-bs+dq)j
+(br-cq)k
となります。
このz*wの実数部分が内積のマイナス1倍であり、虚数部分が外積になっているのがわかります。このため、四元数の積を簡単に表すために内積や外積が生まれました。
ベクトルについては今使われる意味に変わっていきましたが、そこでも内積や外積は特に物理を通じて役立つものだったため四元数の概念が衰退した後も定着していくことになります(四元数自体もかなり復権していますが)。


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