ベン図について、ご存知でしたら、教えて下さい
お願いします

(1)”ベン”というひとが、考え出したのですか?
(2)表現できる限界は、3つくらいだと思うのですが、
   ちゃんと説明されているような、サイトはありませんか?
   たとえば、日本にいる人を全体として、
   (A)未婚者
   (B)女性
   (C)茶髪
   (D)ケータイがJ-phone
   なんてのは、表現できないのではないかと・・・
   (2次元の紙1枚の上で)
(3)んで、もし(2)で限界がはっきりしているなら、
   それを解決する方法は、どんなのがあるのでしょうか?
   たとえば、「階層化」など・・・

(4)ベン図のように、集合を絵的(直感的)に表現する手法は、ほかにあるのでしょうか?

よろしくお願いします。

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A 回答 (3件)

(4)


Venn 図ほどポピュラーではありませんが、よく知られているものとして
Haasse(ハッセ)図と言うものがあります。

Haasse図に関してはあまりいいサイトが見当たらなかったので具体例で簡単に
解説しておきます。

3つの集合の典型的なVenn図はご存知ですね。3つの円が品という字の
ように配置され、真中で交わっている奴です。ご存知なければここを御覧下さい
http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWha …

で、この3つの集合をA,B,Cとすると部分集合として
A,B,C,A∩B,A∩C,B∩C,A∩B∩C
の7つがあります。Venn図では各部分集合が各領域に対応しています。
さてこの部分集合の間には
A⊃A∩B,A⊃A∩C,B⊃A∩B,B⊃B∩C,……,A∩C⊃A∩B∩C
等の包含関係があります。

そこで各部分集合(この場合はAとかB∩Cとかです)をあるルールに従って
平面上に配置し、さらにそのルールに従って各部分集合を線でつなぎます。
そのルールとは
”集合XとYにX⊃Yという包含関係がある場合は、XをYの上側
(真上でなくてもよい)に配置し、XとYを線でつなぐ”
というものです。包含関係がない場合は位置の上下はどうでもよいとします。

このようなルールで作られた線図をHasse図といいます。下の図はそのようにして
作った3つの集合のVenn図に対応するHasse図です。
なお一番上のΦは空集合、すなわちどの集合にも属さないものを表します。
Venn図でいえばどの円にも含まれていない一番外側の領域に対応しています。


      Φ
     /|\ 
    / | \
   /  |  \ 
  /   |   \
 A    B    C
 |\  / \  /|
 | \/   \/ |
 | /\   /\ |
 |/  \ /  \|
A∩B  B∩C  A∩C
  \   |   /
   \  |  /
    \ | /
     \|/
    A∩B∩C


このようにしてどんなVenn図に対してもそれに対応するHasse図が描けます。
しかし本来のHasse図はVenn図のように「集合」を表すものではなく、「順序構造」
を表すものであり、Venn図よりずっと応用範囲の広いものです。

各要素の間に「順序」という関係が定義されているような集合があるときに
”「順序」の大きいものXを「順序」の小さいものYの上に書き、XとYを線で結ぶ”
というルールによりその順序構造を図にしたものがHasse図です。

ですから何らかの「順序」が定義されるような体系であればHasse図を書くことが
出来ます。
例えば会社の組織図なども一種のHasse図です。A部がB課の上に書いてあれば
A部はB課より「順序」が大きい(会社組織であればさしずめ権限があるという
ことでしょうか)ということを表しているわけです。

集合の集まりに対しても、集合の包含関係を「順序」関係とみなすことにより
順序構造が入るので、Hasse図で表現することも出来るのです。

下のURLにもHasse図の例が載っていますので参考にして下さい。必ずしも
集合のVenn図に対応したものばかりではありません。

参考URL:http://www.dmi.stevens-tech.edu/~llasser/gallery …
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この回答へのお礼

oodaiko さん、たたみかけるようなご回答ありがとうございます。
じつは私は、質問(4)について、あきらめかけておりました。

パソコンディスプレイ上での集合同士の包含関係を、表現するのに適したものは、ないものか?と言うところから、出発した質問でした( < 何をいまごろ,はよ言わんかい)

ご教示いただいた
>Hasse図
は、このような(隠した)要求を(も)ほぼ満足するものです。(だと思っています、「直感的に」・・)

特に、この絵に感銘いたしました。
>      Φ
>     /|\ 
     ・・・・・

>「順序構造」
階層構造、ネットワーク(グラフ)との 関連・差異さえ把握することがままならない状況ではありますが、勉強していこうと思います。

「Hasse図」をキーにした検索で、関連サイトも見つけられました。
http://www.gavo.t.u-tokyo.ac.jp/~hosoyama/softki …

無知蒙昧な私の質問に丁寧にご回答いただき、ホントにありがとうございました。

今後、関連の疑問をもつ方が、oodaiko さんのご回答を見て、知識を深められること、それが将来の人類の知識レベルの向上につながる事を確信いたします。

ykkw_2001 (感謝)

お礼日時:2001/11/09 13:09

ykkw_2001 さんこんにちは


(1)について
その通りです。
John Venn という論理・確率論の研究者が考えました。
Vennの経歴・業績については下のサイトが詳しいです(英語)
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/ …

(2)原理的に表現できる集合の数に上限はありません。
グニャグニャの見にくい線で囲まれた領域で良いのなら
いくらでも多くの集合に対するVenn 図を描くことが出来ます

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWha …

このサイトの真中当たり「Do they always exist?」の部分に
2および3集合のVenn 図から出発してシステマチックに要素を増やしていく
方法が解説してあります。この方法で集合の数が2から8まで増えていく
様子のアニメーションもあります

ただしVenn 図の形にいろいろな条件を付ければ制限が出てきます。

・対称なVenn 図
この場合の対称とは回転対称性のことです。対称なVenn 図が描けるとすれば
それは集合の数が素数である時に限ります。ただしこれは必要条件なので
集合の数が素数であれば対称なVenn 図が必ず描けるということは言えません。

http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennSym …
集合の数が5および7の場合の対称なVenn 図が載っています。


上で紹介したサイトは以下の参考URLの中のページです。ここにはVenn 図に関する
いろいろな研究の結果がまとめてあり大変参考になります
(ただし英語です。しかも本格的な数学のサイトなので専門用語だらけですが)

参考URL:http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennEJC …
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

  ジョ・・・・じょん・べん。

#日本人じゃなくてよかったね。日本に生まれてたら、小学校でスンゲーいじめられそうです。

んなことはおいといて、業績を拝見いたしますと、

     偉い人だったんだ・・・

>(2)原理的に表現できる集合の数に上限はありません。
だったんですね・・・ 「トポロジ」を思い出しました。

>・対称なVenn 図
 この辺で既に私の頭がオーバーヒート、その存在意義からして理解を超えてしまいます。
 とにかく、いろいろな研究がなされているもんだと言うことを知る事が出来ました。
教えていただいたURLは、もう少し時間をかけて、探検してみることにします。

ホントにありがとうございました。

#偉いぞ、ベン!

お礼日時:2001/11/08 15:22

> (2)表現できる限界は、3つくらいだと思うのですが、


>  ちゃんと説明されているような、サイトはありませんか?

限界について書いてあるわけではないですが、私のリンク集には、参考URLの
ページがあります。

参考まで。

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/ …
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この回答へのお礼

そうそう、このような図で質問したかったんですが・・
円ではない形状を使うと、n個できるわけですね。

う~しかし、4個あたりで私の動物的直感の範囲を超えてしまいます。

きれいに整理されている参考URLをありがとうございました。

お礼日時:2001/11/08 13:50

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Qベン図

現在、ソフトウェア開発技術者試験の勉強をしているものです。
以下の問題で、どうしても腑に落ちない問題があります。

お忙しいところ、申し訳ございませんが、
ご助言よろしくお願いいたします。

【問題】
100人の学生を調べたところ、スペイン語を学んでいるのは26人、
中国語は38人、フランス語は36人であった。

また、スペイン語と中国語は7人、中国語とフランス語は10人、
フランス語とスペイン語は8人で、三つのいずれの言語も学んでいないのは23人であった。

3言語すべてを学んでいる学生は何人か。

解答には、以下の通りありました。

スペイン語と中国語   :a
中国語とフランス語   :b
フランス語とスペイン語 :c
3言語すべてを学んでいる:d

何かを学んでいる学生の人数(重複あり)
→26+38+36=100人

何かを学んでいる学生の人数(重複なし)
→100-23=77人

故に、
77+(a+b+c+2*d)=100…(1)

続いて、
a+d=7人
b+d=10人
c+d=8人

故に、
a+b+c+3*d=25…(2)
a+b+c+2*d=25-d…(2)'

(1)と(2)'の式を整理すると、

77+25-d=100
d=102-2
=2人

となり、答えは3人となる。

ここで、よく分からないのが、
(1)式の重複(a+b+c+2*d)の考え方です。
a+b+cの意味は分かるのですが、
2*d(dを2回カウント)の考え方が良く分かりません。

どうかご助言よろしくお願いいたします。

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ご助言よろしくお願いいたします。

【問題】
100人の学生を調べたところ、スペイン語を学んでいるのは26人、
中国語は38人、フランス語は36人であった。

また、スペイン語と中国語は7人、中国語とフランス語は10人、
フランス語とスペイン語は8人で、三つのいずれの言語も学んでいないのは23人であった。

3言語すべてを学んでいる学...続きを読む

Aベストアンサー

No.2の方のおっしゃる通り、解答があまり分かりやすくないですね。
実際にベン図を描きながら、次のように考えるのはいかがですか。
(1)まず、何かしら学んでいる人は、100-23=77人います。これは重複がありません。
(2)26+38+36=100人は、1カ国語しか学んでいない人を1回、2カ国語だけ学んでいる人を2回、3カ国語すべてを学んでいない人を3回、重複して数えた人数です。
(3)7+10+8=25人は、2カ国語だけ学んでいる人を1回、3カ国語すべてを学んでいる人を3回、重複して数えた人数です。
(4)ここで(2)-(1)=23人は、2カ国語だけ学んでいる人を1回、3カ国語すべてを学んでいる人を2回、重複して数えた人数になります。
(5)すなわち、(3)-(4)=2人が、3カ国語すべてを学んでいる人数です。
言葉だけで読んでるとわかりにくいと思いますが、ベン図を描きながら追っていただくとわかると思います。

Qベン図

100%自信がないので答えが合ってるかどうか確認して頂けますか?
写真の色が濃いところ(ちょっと分り難いですが)を上から順番に答えています。
数字は答えとは関係ないので無視して下さい。
左側がA,右側がBです。

A ∪ B'
(A ∪ B)'
(A ∩ B)'

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

1番目が違います。
A ∪ B'
これだと、「AとBでないところ」になるので、図の4の領域を含んでしまいます。
「Aと、Bでないところの共通部分」と考えると、
「Bでないところ」は、Bの円以外の部分(Aも含む)、これとAの共通部分は、図の1の領域(三日月のような形の部分)になりますね。
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Qベン図

プレゼンで集合などを示すために、ベン図を使おうと思っています。3つまでのベン図はわかるのですが、5つの場合はどのような図になるのかわかりません。知ってる方いればお願いします。

Aベストアンサー

まず、
1つの場合は全体を2つの領域に分割します。
2つの場合は↑の2つの領域をさらに2つずつに分割して4つの領域。
3つの場合は8つの領域。

5つの場合は計32の領域に分割される事が予測できますが、果たして紙に描けるんだろうか?

--
と、こちらに図解がありました。

n個の集合のベン図
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/benzu/benzu.htm

参考URL:http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/benzu/benzu.htm

Qベン図を使っての問

ベン図の使い方がいまいちわかりません・・・
●問題●
引越しをする人が転居の通知を、去年又は今年に年賀状をくれた人に出すことにした。今年くれた人は去年くれた人より14人多く、去年も今年もくれた人は85人で、転居の通知は135人に出すことにした。今年、年賀状をくれた人は何人か。 答え:117人

※集合・人数を習い始めたばかりで先に進まず、昨日数問ここで質問したら「削除」されちゃったのでどなたか教えてください。

出来たら他の問題は自力で解きたいので、ベン図のコツなどあればお願いします(m*_ _)m

Aベストアンサー

□・・今年だけ、○・・去年だけ、■・・去年の今年も
とすれば、
|---今年---|
|□□□□|■■■■|○○○○|
|□A人□ |■85人■|○A-14人|
|□□□□|■■■■|○○○○|
・・・・・・・・・|---去年---|
と図で表せます。
全部足して135になるようにAを求めれば、今年の人数は
A+85で求められます。

Qベン図の考え方について(長文です)

こんにちは。

ベン図の考え方について分からない部分が出てきまして。。。。。


こんな問題です。。。。。




100人の子どもに、A、B、C3問のクイズを出しました。

A正解40人。
B正解38人。
C正解35人。

ABC3問中、2問のみ正解21人。

3問とも不正解30人でした。

では、3問とも正解は何人いますか。




このような問題です。

解答欄を見てみますと。。。。。。。。。。。。。。


ベン図より。
(ここでは図は省略致しますが。。。。。。。。。)

Aのみ正解した人数をa
Bのみ正解した人数をb
Cのみ正解した人数をc
と置きますよね。

で、次に。。。。。。。。。

AとBの2問正解した人数をp
BとCの2問正解した人数をq
CとAの2問正解した人数をr

と置きます。

3問とも正解した人数はxとします。


式を立てます。
2問のみ正解した人数が21人なので。。。。。。。。
p+q+r=21

今、Aか、Bか、Cのどれか1問のみ正解だった人数をyと置きますと
a+b+c=y
という式が成り立ちます。

で、そうすると次の2式が成り立ちます。

(a+b+c)+2(p+q+r)+3x(これは延べ人数)
40+38+35=y+2×21+3x………………………(1)

(a+b+c)+(p+q+r)+x(これは実際の人数)
100-30=y+21+x……………………………………(2)

(1)、(2)より。。。。

113=y+42+3x…………………………(1)‐
70=y+21+x………………………………(2)‐

あとは計算して、
x=11

3問正解した人数は11人が答えなのですが。。。。。。



上の、
(a+b+c)+2(p+q+r)+3x(これは延べ人数)
という式(延べ人数)の立て方が今ひとつピンとこないです。。。。。。。。。。。
後の連立の計算等は分かるのですが。。。。。。。
多分、公式みたいなものなのですが。。。。。

延べ人数を求める式
(a+b+c)+2(p+q+r)+3x
特に、(p+q+r)を2倍してやる部分がピンときません。。。

AとBの2問正解した人数と
BとCの2問正解した人数と
CとAの2問正解した人数を
求めるのだから2倍ではなく3倍なのかな、と思っちゃったり。。。。。
(xの3倍は何となく分かるのですが。。。。。。。)

初歩的な質問で恐縮ですが、お時間のある時にお答え頂ければ嬉しいです。

こんにちは。

ベン図の考え方について分からない部分が出てきまして。。。。。


こんな問題です。。。。。




100人の子どもに、A、B、C3問のクイズを出しました。

A正解40人。
B正解38人。
C正解35人。

ABC3問中、2問のみ正解21人。

3問とも不正解30人でした。

では、3問とも正解は何人いますか。




このような問題です。

解答欄を見てみますと。。。。。。。。。。。。。。


ベン図より。
(ここでは図は省略致しますが。。。。。。。。。)

A...続きを読む

Aベストアンサー

Aを正解した人数は
a+p+r+x
Bを正解した人数は
b+p+q+x
Cを正解した人数は
c+q+r+x
なので、延べ人数は、
a+p+r+x+b+p+q+x+c+q+r+x
=(a+b+c)+2p+2q+2r+3x
=(a+b+c)+2(p+q+r)+3x
=40+38+35
になります。


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