どうも。先ほど同じ質問をした方がいらっしゃったと思いますが、どうにも回答のほうが怪しいので改めて私のほうから質問させていただきます。
∞×0には答えはありますか?あるとしたらそれは∞ですか、0ですか?ないのならこれはどのように計算するのでしょうか。
私の記憶ではこれは不定形と言うもので単純には計算できないと思っていたのですが。基本的に∞と言う数は存在しないで、「無限に大きくしていく」と言う過程をlimで表現するのではなかったでしょうか。それともカントールが言うように∞を数える立場に立つと違うのでしょうか。この辺りにきちんとした知識をお持ちの方にご回答願います。

A 回答 (15件中11~15件)

#3の回答に1票。


#2の方はなぜ
>0についても、「ゼロに収束するような関数」であるとします。
と仮定するのでしょうか?

#1の方の
>(例2)lim[x→∞]{x・(1/x)}=1
    lim[x→∞]{x・(1/(x^2))}=0
    lim[x→∞]{x^2・(1/x)}→∞

これらは∞×0の形

とありますが、

lim[x→∞](1/x)
lim[x→∞](x^2)

は0ではありません。限りなく0に近づくだけです。


#2の回答と#1の回答は同じ考えだと思います。



0をかける相手の数がどんな極限値であっても答えは0です。
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無限大 × 無限小


であれば、それぞれの強さによって、
無限大、有限数、無限小
などとなるでしょうが、
ゼロと無限小は違って、ゼロはゼロで、どれだけ大きな値をかけてもゼロになるのでは?
(おそらく、質問者さんや、ゼロとはいえないとおっしゃっている回答者の方々は、ゼロと無限小を混同されていませんか?)
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∞X0という問題の定義(特に∞は数値では無い)によるのでしょうが、ここでは、


f(x) X 0という 関数 かける 定数0 という演算として考えると、f(x)がどんな挙動をとったとしても0になるような気がします。0に近づくのではなくて、0なのですから、演算対象の数値が決まった時に0になるのではないでしょうか?
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たしかに、先ほどの同じ質問の答えでは2件とも0とおっしゃていますが、こう決め付けるのは間違いです。



 (補足:厳密には、無限大∞は数値ではないので、
 掛け算をしようとすること自体が間違いです。
 ですがここでは、∞を「無限大に発散するような関数」
 であると解釈して話を進めます。
 同様に、0についても、「ゼロに収束するような関数」
 であるとします。)

∞×0は、このままでは答えは存在しません。
無限大の方が強ければ、∞×0=∞になることもあり、
ゼロの方が強ければ、 ∞×0=0になることもあります。
二つの力が均衡していれば、ある一定の値に落ち着きます。

少し形を変えて書いてみます。
0=1/∞ですから、∞×0 = ∞/∞ということになります。
この場合には、分母の∞と分子の∞のどちらが強いかということで、値が決定されるわけです。
分母が強ければ全体としては0に収束、
分子が強ければ全体としては∞に発散、
均衡していればある特定の値を持つ
ということです。

さて、この時、「強さ」って何だ、と思われるでしょう。
これは、どれだけ速く無限に向かって発散していくかということを表しています。

例を出して見てみましょう。
(1)y=xと(2)y=x^2のグラフを考えてみれば明らかなように、
xを大きくしていけば(2)の方が速く無限大に向かって発散していきます。
この時、
lim(x→∞) x/(x^2) =0 となりますし、
lim(x→∞) (x^2)/x =∞ となります。

また、
(1)x (2) 2x の二つを考えたとすれば、
この二つは力が均衡しているので、
lim(x→∞) x/(2x) =1/2
lim(x→∞) (2x)/x = 2となります。

よく出てくる関数の力の強さを並べてみると、次のようになります。
log x < x < x^2 < x^3 <…< x^n < 2^x < 3^x <… < n^x < x! < x^x

さて、これでいかがでしょうか。
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∞×0形の極限は、式を見て判断します。



(例1)lim[x→∞](0・x)=0
これは、0に何をかけても0という性質からわかります。

(例2)lim[x→∞]{x・(1/x)}=1
    lim[x→∞]{x・(1/(x^2))}=0
    lim[x→∞]{x^2・(1/x)}→∞

これらは∞×0の形であり、それぞれの式に応じた計算方法で極限値を求めます。
----------------------------------
∞は数ではありませんし、単なる計算式としての ∞×0 の値は定義されません。

ただし、「どんな正の数よりも大きい数A」とか「0より大きく、どんな正の数より小さい数B」といったものを定義して数の集合に加えて考える数学理論があると聞いたことがあります。
そういうものは、詳しい人が回答してくれると思います。
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