集合論における選択公理は,現行の表現のままでは,
循環論法的主張になってしまっているのではないでしょうか?

つまり,それぞれの集合族について選択関数が選べると言っても,
選択関数は沢山あるから,1つ1つの集合族についてどの選択関数を選んだらよいか,
選択しなければいけないのではなでしょうか?
すると,選択関数を選択するのに,
また選択公理を使って選択しなけばいけないが,
それを選択するのにまた選択公理を使って・・・??!
これでは,いつまで経っても選べない!

だから,選択公理は,
すべての集合から成る領域において定義された選択関数の存在
を主張しないといけないのではなでしょうか?

従って,公理の表現を次のように改めないといけないと思うのですが・・・
∃f:V-{φ} → V ,∀a∈V ,∀x∈a ,x≠φ ⇒ f(x)∈x
(f:選択関数,V:すべての集合(族)からなる領域,φ:空集合,a:集合族,x:集合)

「強い選択公理」とか「弱い選択公理?」とかもあるようですが、
上記の点はどうなのでしょうか?

A 回答 (12件中11~12件)

> ∀a∈V ,∀x∈a ,x≠φ ⇒ ∃f:{x}→ x,f(x)∈x



これ、限量子(∀や∃)のスコープが分かりにくいのですけど
∀a∈V(∀x∈a (x≠φ ⇒ ∃f:{x}→ x(f(x)∈x)))
の積りだったら間違ってますよ。

正しくは
∀a(∀x∈a(x≠φ)⇒ ∃f:a → ∪a(∀x∈a(f(x)∈x)))
即ち、全ての元が空集合でない集合族aに対してaの各元xに対してxの要素を対応させる関数fが存在する。
このfが選択関数になるわけですね。

ちなみにこの選択公理は弱い形ではありません。他の公理の内容によるかもしれませんけど。
弱い選択公理というとaが可算集合に限定される可算選択公理など幾つかのものがあったと思いますけど、そういうのとは違うのかな。
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この回答へのお礼

再度のご回答をありがとうございます!
論理式での表現は分かりにくいので、普通の文章で述べてみます。

私の示した「最も弱い?」選択公理は、
「すべての集合族aの、それに属する空でないすべての集合x(の1つ1つ)について、
ある選択関数fが存在して、代表元f(x)を選ぶことができる。」 … A
という内容のものです。

それに対して、No.2さんの示した選択公理は、
「すべての集合族a(の1つ1つ)について、ある選択関数fが存在して、
それに属する空でないすべての集合xについて、その代表元f(x)を選ぶことができる。」 … B
という内容のものです。

そして、私が最初の質問の中で示した「最強の?」選択公理は、
「ある選択関数fが(ただ1つ)存在して、すべての集合族aに属する空でないすべての集合xに対して、
代表元f(x)を選ぶことができる。」 … C
という内容のものです。

この3つの「公理」について、本来の「選択公理」は
ご指摘の通り2番目の「公理B」を指している、ということだと思われますが、
もし、「公理A」では代表元f(x)を選ぶには不十分なので「公理B」を採用する、
というのであれば、全く同じ理由により、
「公理B」では代表元f(x)を選ぶには不十分なので「公理C」を採用する、
ということにはならないのでしょうか?

つまり、
「空でない集合xの1つ1つについて、常に選択関数fが存在する」
という「公理A」には問題があるので「公理B」を採択したのであれば、同じように
「空集合を元として持たない集合族aの1つ1つについて、常に選択関数fが存在する」
という「公理B」にも問題があるのではないでしょうか?
だから「公理C」を採択する必要がある、という事なのですが・・・

どうなのでしょうか?

お礼日時:2005/09/29 05:46

あなたが循環論法的と考えている選択公理を形式記述してみてください。

ついでに他の集合論の公理も。
選択公理を正しく理解して記述すれば全く循環論法的とは思わないはずです。

ちなみに質問の最後に記述してある形式記述はfが集合にならないので集合論的に無理があります。
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この回答へのお礼

早速にご回答をありがとうございました。
私は集合論の専門家ではありませんので、不適当な記述や表現についてはどうぞご指摘ください。

他の「外延性の公理」や「正則性の公理」などは今書き出しませんが、
私が知っている(1番弱い?)選択公理を「集合論の記号?」で書くと、
∀a∈V ,∀x∈a ,x≠φ ⇒ ∃f:{x}→ x,f(x)∈x
(V:すべての集合(族)からなる領域(クラス),a:集合族,x:集合,φ:空集合,f:選択関数)
ですが、どうなのでしょうか・・・?

なお、
「質問の最後に記述してある形式記述では、選択関数fが集合にならないので・・・」
とありますが、「これでは無理がある」ということであれば、
「選択関数f」の代わりに「直積の部分集合f」
としても構いませんが・・・

どうでしょうか?

お礼日時:2005/09/28 00:57

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Q逆、裏、否定、対偶

基本的なことなのですが、命題の逆、裏、否定、対偶が分からなくなりました。

1.簡単な例で『A⇒B』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

2.ちょっと高度な例で、『∀ε,∃δ,∀x (|x|<δ),(|f(x) - 0|<0)』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

Aベストアンサー

例は挙げません。以下、¬は否定(not), ∧は論理積(and), ∨は論理和(or)です。

●A⇒B の
  逆は B⇒A
  裏は ¬A⇒¬B
  対偶は ¬B⇒¬A
です。
●さて、A⇒Bとは ¬(A∧¬B) の意味です。
●また、
・¬¬A は Aと等価。
・¬(A∧B) は (¬A∨¬B) と等価
・¬(A∨B) は (¬A∧¬B) と等価
ですから、これらを使うと、A⇒B は (¬A∨B)とも等価であり、¬B⇒¬A とも等価であることが分かります。同様にして B⇒A は (¬B∨A) と等価で ¬A⇒¬B とも等価です。 さらに ¬(A⇒B) は (A∧¬B) と等価であることが分かります。

●命題論理について、その他に知っておくべきルールとしては
・A∧B は B∧A と等価
・A∨B は B∨A と等価
・A∧(B∧C) は (A∧B)∧C と等価
・A∨(B∨C) は (A∨B)∨C と等価
・A∧(B∨C) は (A∧B)∧(A∧C) と等価
・A∨(B∨C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価
があります。

●一階述語論理に関しては、
・∃xP(x)の否定 ¬(∃xP(x)) は ∀x(¬P(x))と等価
・∀xP(x)の否定 ¬(∀xP(x)) は ∃x(¬P(x))と等価
・∃x∃yP(x,y)は∃y∃xP(x,y)と等価
・∀x∀yP(x,y)は∀y∀xP(x,y)と等価
があります。

●さて、
∀ε,∃δ,∀x (|x|<δ),(|f(x) - 0|<0)
というのは略記法です。これをきちんと書くと
∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)
ということになります。

これは中に⇒を含んでいますが、全体としてはA⇒Bの形をしてませんから、対偶というものは考えられません。しかし否定なら考えられますね。
¬(∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)) は
∃ε¬(∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)) と等価で、これは
∃ε∀δ¬(∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)) と等価で、これは
∃ε∀δ∃x¬(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)) と等価で、これは
∃ε∀δ∃x(|x|<δ∧¬(|f(x) - 0|<0)) と等価で、これは
∃ε∀δ∃x(|x|<δ∧|f(x) - 0|≧0) と等価です。

 なお、(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0)の部分はA⇒Bの形をしていて、これは対偶¬B⇒¬Aと等価ですから、
∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0) は
∀ε∃δ∀x(|f(x) - 0|≧0⇒|x|≧δ) と等価。

例は挙げません。以下、¬は否定(not), ∧は論理積(and), ∨は論理和(or)です。

●A⇒B の
  逆は B⇒A
  裏は ¬A⇒¬B
  対偶は ¬B⇒¬A
です。
●さて、A⇒Bとは ¬(A∧¬B) の意味です。
●また、
・¬¬A は Aと等価。
・¬(A∧B) は (¬A∨¬B) と等価
・¬(A∨B) は (¬A∧¬B) と等価
ですから、これらを使うと、A⇒B は (¬A∨B)とも等価であり、¬B⇒¬A とも等価であることが分かります。同様にして B⇒A は (¬B∨A) と等価で ¬A⇒¬B とも等価です。 さらに ¬(A⇒B) は (A∧¬B) と等価であることが分...続きを読む

QV:有限次元内積空間,∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)= (∀x∈V)

宜しくお願い致します。

[問]VとDual(V)をそれぞれ有限次元内積空間とVの双対空間とする。
∀f∈Dual(V),∃1y∈V such that f(x)=<x,y> (∀x∈V)

という問題が証明できません。

Dual(V)はvHom(V,C):={f;f:V→C,fはベクトル空間準同型}(Cは複素数体を表す)
の事です。
fがベクトル空間準同型とは∀v,w∈V,∀c∈C,f(v+w)=f(v)+f(w)∧f(cv)=cf(v)と満たす線形写像の事です。

内積の定義は複素線形空間Vの任意の要素x,yに対して複素数<x,y>が定まり,次の4条
件を満たす時<x,y>をxとyの内積といい,内積が定義されている空間Vを内積空間と言
う。
(i) <x,x>≧0; <x,x>=0⇔x=0
(ii) <x,y>=<y,x>~ (~はバーを表す)
(iii) <x+y,z>=<x,z>+<y,z>
(iv) <αx,y>=α<x,y>

です。
この命題を満たすyとして何を採れば宜しいのでしょうか?

Aベストアンサー

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく,Ker(f)とuは直交
となるようにします.
#これは有限次元だから可能
#けどヒルベルト空間ならこれに類することができる
このとき,
∀x∈Vに対し
f(x-f(x)/f(u)u)=f(x)-f(x)/f(u)f(u)=0
したがって,x-f(x)/f(u)uはKer(f)の元
だから,
0=<x-f(x)/f(u)u,u> (uはKer(f)の直交補空間Uの元)
=<x,u> - f(x)/f(u) <u,u>
よって
<x,u>f(u)=f(x)<u,u>
f(x)<u,u>=<x,u>f(u)
f(x) = (f(u)/<u,u>) <x,u>
= <x, (f(u)/<u,u>)~ u>
ですか.複素でやってるので
内積の後ろに方に
スカラーを入れると共役になるのに注意.

#内積があれば,双対・もとのベクトル空間・双対の双対が
#簡単になるというありがたいお話ですな

んーー,わざわざ「射影」といったのに
証明のその部分を読み飛ばしてるとは・・・

>∃v∈V\Ker(f)でC∋)f(v)≠0(∵Kernelの定義)で∀x∈Vに対し
>f(x-f(x)/f(v)v)=f(x)-f(x)/f(v)f(v)(∵fは線形写像)=f(x)-f(x)=0…(1)

これ自体は正しいのですが,このvだと余計な成分があって駄目です。
射影もしくは「分解」とかの議論がありませんでしたか?
(何を参照したのか分かりませんがなければその証明はだめです)

vそのものではなく,
Kef(f)+U=Vのように直交分解して
v=w+u,wはKer(f)の元,uは0ではなく...続きを読む

Qallとanyの否定文の意味の違いについて

I don't want all sandwiches.
は「私はサンドイッチが全部欲しいというわけではない」と部分否定、
I don't want any sandwiches.
は「私はサンドイッチが全く欲しくない」と全体否定で訳しますが、
allとanyは肯定文ではさほど意味の違いを感じないのに否定文だと意味が全く違うのはなぜでしょうか?
allとanyそれぞれが持つニュアンスの違いによるもののようなんですが…
どなたか分かりやすく説明して下さいませんか?

Aベストアンサー

#2です。読み返してみると#2では御質問への回答になってなかったように思うので、#2の[A]~[C]の部分のみ次の[D]~[F]のように変更いたします。

[D] これは事実です。
anyは個々のものを1つずつ順に見ていって、「これも、あれも、それも、....、どれも」という意味です。心の中には常に1つのものしかありません。1度に1つずつ心に思い浮かべて、1番目から最後のものまで順に全部見ていって「どれも」と言う言い方です。

「どれも」のところにはこれの代わりに次の(ア)~(カ)のいずれかが入ります。
(ア)どれでも
(イ)どれも
(ウ)どれか
(エ)どんな~でも
(オ)どんな~も
(カ)どんなかの
(ア)~(ウ)は代名詞として用いた場合の意味であり、(エ)~(カ)は形容詞として用いた場合の意味です。

(ア)~(カ)のいずれが入っても、anyの中心となるイメージというか意味はいつも同じで、「心の中には常に1つのものしかない」、1言で言えば「どれも」という意味だ、ということです。

allは全体をまとめて「全部」という意味です。1度に全体を一括して心に思い浮かべます。

このような違いを「さほど意味の違いを感じない」と思うか「意味が全く違う」と思うかは人によって異なると思います。

[E]これは仮定です。
現実は別として空想の世界の話として考えれば、not anyとnot allはそれぞれ次の「(a)、(b)」又は「(c)、(d)」の2つの意味を表し得ます。
(1)not any
(a)「これも、あれも、それも、...、どれも」ということではない <部分否定>
(b)これもちがう、あれもちがう、それもちがう、...、どれも違う <全否定>

(2)not all
(c)全部・という訳ではない <部分否定>
(d)全部・ない <全否定>

[F]これは、空想、妄想です。
おそらくは、日常生活においては(a)のような意味を言い表したい場面が極めて少ないこと、(1)が(a)と(b)の両方を意味するとすると(1)を用いる度に(a)と(b)のどちらの意味であるかを考えなければならないので日常生活において不便であること、(a)と(c)が類似した意味であり(a)と(c)の両方を使い分ける必要性が低いこと、の3点から、まず(a)の意味での用い方が廃れたのではないでしょうか。

次に、もしnot allが(d)の意味を持っているということにすると全否定を表す言い方がnot any((b))とnot all((d))の2つあることになりますが社会生活では全く同じ意味を表す言い方は2つは必要ないこと、(d)の意味での用い方をやめるとnot allの意味が1つだけになってnot allの意味が分かりやすくなること、全否定を表す言い方は少なくとも1つは必要不可欠であること、の3点から((b)が残って)(d)の意味で用いる用い方が廃れたのではないでしょうか。

以上が、#2の[A]~[C]の変更結果です。

なお
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5465485.html
の#5の(4)、(5)の(b)に誤りがあったので、(4)、(5)を次のように変更させていただきます。

(4)I don’t have any money.
(a)どんな金も持ってない。
(b)どんな金でも持っているというわけではない。

(5)There aren’t any whales in the zoo.
(a)どんなクジラもいない。
(b)どんなクジラでもいるという訳ではない。

#2です。読み返してみると#2では御質問への回答になってなかったように思うので、#2の[A]~[C]の部分のみ次の[D]~[F]のように変更いたします。

[D] これは事実です。
anyは個々のものを1つずつ順に見ていって、「これも、あれも、それも、....、どれも」という意味です。心の中には常に1つのものしかありません。1度に1つずつ心に思い浮かべて、1番目から最後のものまで順に全部見ていって「どれも」と言う言い方です。

「どれも」のところにはこれの代わりに次の(ア)~(カ)のいずれかが入ります。
(ア)...続きを読む

Q関数f(x1,x2,x3,x4,x5)が最大値となるようなx1,x2,x3,x4,x5の求め方

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

(5) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x4をdに固定し、x5を変化させてyが最大となるようなx5を求める。(このときのx5をeとする)

このとき、f(a,b,c,d,e)は最大値??
多分、違いますよね。

変数を5つもつ関数f(x1,x2,x3,x4,x5)があります。
関数f(x1,x2,x3,x4,x5)は、一言では言い表せないような複雑な式とします。

y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1...続きを読む

Aベストアンサー

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、例えば八ヶ岳のように複数の頂上があった場合、見つかった値は最大値とは限りません。つまり八ヶ岳のひとつの頂上が見つかっただかで、これが八ヶ岳で一番高い頂上かどうかは分からないということです。こうして見つかった y の値を「局所最大値」と呼びます。確実に(局所でない大局的な)最大値を見つける方法は見つかっていません。

質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

歩幅の大きさにも注意が必要です。頂上や山の大きさに関係するのですが、多くの場合「一言では言い表せないような複雑な」訳で、山の大きさすら分かりません。一歩の大きさを大きくすればそれだけ速く頂上に到達できますが、頂上の正確な位置がでませんし、山よりも大きな歩幅ですと山を飛び越えてしまいますので、「十分に」小さな値にします。計算を速くするために、最初の歩幅は大きく、段々歩幅を小さくするというやり方もあります。

より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む

Q英語の否定についてNot allとNot everyone の違いは何かありますか?

英語の否定について
Not allとNot everyone の違いは何かありますか?

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また、allは複数、everyは単数扱いになります。
なお、not allは人に限らず、モノにも使いますが、not everyoneは人に関してですね。

Qx, y∈Rとするとき、条件「x>y⇒x^2>y^2」が成り立つ点(x, y)の集合を図示せよ。

x^2≦y^2 を(x-y)(x+y) ≦0 と変形する。
x>yの場合より、両辺をx-y>0で割ると
x+y≦0
∴y≦-x
x>y であって, しかも y≦-x であるような点の集合は、
x≦0、つまり,y軸の左側(y軸を含む)では、直線 y=x より上側(この直線も含む)
x>0、つまりy軸の右側では直線 y=-x より上側(この直線は含まず)

いつもお世話になります。
上記のように解いたのですが、説明不足でしょうか?
不自然な点、補足した方がよい点をご教授下さい。

Aベストアンサー

まず方針を書くべき。
でないと
>x^2≦y^2 を(x-y)(x+y) ≦0 と変形する。
が意味不明。

'x>y であって, しかも y≦-x であるような点の集合は、'

'x>y かつy≦-x であるような点の集合をxy座標から除くと、'
とすれば次の行で述べられた領域につながる。
つまり日本語が不自然。

Q車・ファッションなどで、身分違いの恋に否定的な意見が多いのはなぜですか

車・ファッションなどで、身分違いの恋に否定的な意見が多いのはなぜですか?

人間の恋愛では、身分違いの恋があってもいいじゃないと言われます。

しかし、物(車、ファッションなど)では、
身分不相応の物を持つのは恥ずかしい。収入に見合わないんじゃカッコ悪い。メッキはすぐバレる。
といった意見をよく目にします。
※偶然私が見たのにそういった意見が多かっただけかもしれませんが。。。

私は、周囲に迷惑をかけたり他人を見下したりしなければ、収入に合わないものでも全然良いと思います。
その物に理解があり心底好きで大切にしているなら、立派な趣味・教養だと思います。
(見栄だけのために無理して買うのはどうかと思いますが…)

やはり、車、ファッションなど、物における身分違いの恋には否定的な意見が多いのでしょうか?
そうであるならば、なぜ否定的な意見が多くなるのでしょうか?

Aベストアンサー

> 身分不相応の物を持つのは恥ずかしい。収入に見合わないんじゃカッコ悪い。メッキはすぐバレる。

 私も質問者様同様?全く構わないと思います。

 『身分不相応の物を持つのは恥ずかしい。』って言っても今時『身分』自体存在しません。『平社員がベンツに乗ってはいかん。』って言うこと?それとも超の付く零細企業のオヤジがベンツではいかんという事?“大きなお世話”ですね。自分のお金を出して買ったのですから他人にとやかく言われることではありません。

 『収入に見合わないんじゃカッコ悪い。』って、車に900万使える余裕があるということです。誰だって明日の米もないのにブランド品は買わないでしょう。クレジットで買って自己破産するのは自業自得です。そんな奴を基準にして気にすることはありません。

 『メッキはすぐバレる。』 メッキだってそれに気付かない奴もいるかも?気付かずに騙される方がバカって時代です。

> 車、ファッションなど、物における身分違いの恋には否定的な意見が多い

 結局、価値観の違いを言っているのでしょうが、“価値観の一致”なんて幻想だと思っています。要は理解できるかどうかでしょう。

 1000万あって、すずめの涙の金利で銀行に定期預金するお金持ち?もいれば、株に投資する者もいる、自分に投資する者もいれば、車を買う者もいる。それで良いと思います。それぞれがよく考えた上での行動ですから、他人がとやかく言うことじゃありません。それを理解できるかどうかです。

> 身分不相応の物を持つのは恥ずかしい。収入に見合わないんじゃカッコ悪い。メッキはすぐバレる。

 私も質問者様同様?全く構わないと思います。

 『身分不相応の物を持つのは恥ずかしい。』って言っても今時『身分』自体存在しません。『平社員がベンツに乗ってはいかん。』って言うこと?それとも超の付く零細企業のオヤジがベンツではいかんという事?“大きなお世話”ですね。自分のお金を出して買ったのですから他人にとやかく言われることではありません。

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Qy,z∈V'(Vの線形写像全体の集合)[x,y]=0→[x,z]=0は∃α∋z=αyを意味する事を示せ。

おはようございます。

[Q] Prove the following statement:
Let y,z∈V'(set of all linear functionals on V) [x,y]=0→[x,z]=0 implies that ∃α∋z=αy.

という問題に悪戦苦闘しています。
linear functionalは線形汎写像(終集合がRやCの線形写像)の意味。

この問題はつまり、
"y(x)=0⇒z(x)=0"が成立するならば
線形写像z:V→R(or C) はαyという写像(zはyのスカラー倍になっているような線形写像)。
つまり、
V∋∀x→z(x):=α(y(x))という写像
である事を示せ。
という意味だと解釈しています(勘違いしておりましたらご指摘ください)。
その場合,どのように証明すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

#1です。
>>V≠Ker(y)の時はα:=z(x_0)/y(x_0)と採れば
∀x∈Vに対し、
x∈Ker(y)ならz(x)=0且つy(x)=αz(x)=α・0 (∵仮定) =0となるのでy=zでOK。
x∈V\Ker(y)ならz(x)=(z(x_0)/y(x_0))y(x)=???=y(x)
何故か
z(x)=y(x)が言えません。

z=yではなくz=αyとしてるので問題は無いように思いますが。

Qいなり寿司の表巻き・裏巻きの違いは?

いなり寿司が好きなのですが、いままで表巻きが当然と思ってました。

しかし、裏巻きしてあるものを見かけました。
どういった意図でそうしているのか分かりません。

いなり寿司の表巻き・裏巻きの違いはなんなのでしょうか?

Aベストアンサー

こんばんは。
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裏のほうは、味のしみこんだ豆腐のぼそぼそした食感がダイレクトに舌に触れて、なんか素朴な田舎の味・・・って感じです。(祖母は埼玉出身ですが)

祖母はもう10年以上前に他界していて、長らく食べていません。
自分で作ればいいのですが、いなり寿司って結構面倒なので自分ではほとんど作らず(といってもたまーに作るときは必ず両方作っていましたが。そのくらいおいしいです!)
とてもなつかしい気持ちにさせていただきました。近日中に作りたいと思います。ありがとうございました!

QtAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,>0)である事を示せ

A:R^n→R^nは逆写像を持つ線形写像とする。
<,>:R^n×R^n→Rを内積とする。
tAAが対称なら正定値(つまり0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0)である事を示せ。
(tは転置の意味)

tAAが対称である事は
<tAAx,x>=<x,t(tAA)x> (∵随伴の定義)
=<x,tAAx>
と示せたのですが

0≠∀x∈R^n,<tAAx,x>>0がどうしても示せません。
どのようにすればしめせますでしょうか?

Aベストアンサー

Aは正則なんですね。では
〈tAAx,x〉=∥Ax∥^2≧0,
〈tAAx,x〉=0⇒∥Ax∥=0⇒Ax=0⇒x=0
でどうでしょうか。


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