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e^sinXの展開式ってどうなるのですか?

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ソフト 数学」に関するQ&A: 数学ソフト

A 回答 (2件)

以下のようになります。



1+x+(1/2)x^2 -(1/8)x^4 -(1/15)x^5 -(1/240)x^6
+(1/90)x^7 +(31/5760)x^8 +(1/5760)x^9 -(2951/3628800)x^10 +・・・・

注)各種数学ソフトを使えば簡単に展開式が出てきます。
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この回答へのお礼

これは、マクローリン展開なのですか?

お礼日時:2005/10/06 17:30

>これは、マクローリン展開なのですか?



マクローリン展開ですね。

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no …
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Qマクローリン展開の問題です。

マクローリン展開の問題です。

f(x)=log(cosx)のマクローリン展開を8次の項まで求めよ。ただし、係数は全て既約分数または整数で表せ。

答えが配布されておらず、考え方が分かりません・・・


ご回答よろしくお願い致します!!

Aベストアンサー

実際に、やってみよう。

log(1 + h) = h - (1/2)h^2 + (1/3)h^3 - (1/4)h^4 + o(h^4)
cos x = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + (1/8!)x^8 + o(x^8)
を使って、

log(cos x) = …

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + o(x^6) }^2
+(1/3){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + o(x^4) }^3
-(1/4){ - (1/2)x^2 + o(x^2) }^4
+ o(x^8)

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ (1/4)x^4 - (1/24)x^6 + (1/320)x^8 + o(x^8) }
+(1/3){ - (1/8)x^6 + (1/32)x^8 + o(x^8) }
-(1/4){ (1/16)x^8 + o(x^8) }
+ o(x^8)

= (-1/2)x^2 + { (1/24) + (-1/2)(1/4) }x^4 + { (-1/720) + (-1/2)(-1/24) + (1/3)(-1/8) }x^6
+ { (1/40320) + (-1/2)(1/320) + (1/3)(1/32) + (-1/2)(1/16) }x^8 + o(x^8)

= - (1/2)x^2 - (1/12)x^4 - (1/45)x^6 - (17/2520)x^8 + o(x^8)

正直しんどいけれど、
log と cos を級数展開した後は、多項式の計算に過ぎない。

実際に、やってみよう。

log(1 + h) = h - (1/2)h^2 + (1/3)h^3 - (1/4)h^4 + o(h^4)
cos x = 1 - (1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 + (1/8!)x^8 + o(x^8)
を使って、

log(cos x) = …

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + o(x^6) }^2
+(1/3){ - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + o(x^4) }^3
-(1/4){ - (1/2)x^2 + o(x^2) }^4
+ o(x^8)

= { - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - (1/720)x^6 + (1/40320)x^8 + o(x^8) }
-(1/2){ (1/4)x^4 - (1/24)x...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
が成り立つことは簡単に示せるのですが、
lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
となることの証明はどのようにすればいいのでしょうか?
ご存知の方がいらっしゃいましたらご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

e=lim(1+t)^(1/t)   〔t→0〕
がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q(1)arcsin(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。

(1)arcsin(x)のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)(1)を用いて、6arcsin(1/2)を計算して、厳密値と比較せよ。
特に、x=0でのtaylor展開と
6arcsin(1/2)がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

(1)
>テイラー展開はできました。これを求めたことでx=0でのということに
>なるのでしょうか?
テイラー展開がxのべき乗和の形に展開されているのでx=0の回りでのテイラー展開といえます。なお、x=0の回りのテイラー展開をマクローリン展開といいます。

(2)
f15(1/2)が3.1459198・・・となりません。
>fn(x)をf(x)のx^nの項までの和とすれば
と置いたので
f15(1/2)はx^15以下の次数の項の和です。項数で言えば8つ目までの項の和です。
f15(1/2)=

質問者さんの式では
f15(1/2)として 前から15項の和(つまりxの29乗以下の項の和)の式でx=1/2と置いていますので、これは f29(1/2)になります。
当然 f29(1/2)≠f15(1/2)
ですね。

Q科学の実験手順・操作のフローチャートの書き方がよく分かりません

お恥ずかしい話なのですが、
実験操作・手順のフローチャートの良い書き方が
未だによくわかりません。

僕が今回書き方がよくわからなかったのは、
化学的手法による抽出の操作でした。
酢酸エチル抽出がどうとかこうとか・・・
(図書館で少し調べてみたのですが、なかなか見つからなくて・・・)

なにかアドバイスがありましたらお願いします。
別に上記のようなものではなく、
どのような実験についてでも結構です。

皆さんの色々なフローチャートを参考に出来たら、と思っていますので。

お願いします。

Aベストアンサー

実験手順のフローチャートですから、実験を行った通りの順序、手法を書けば良いのです。
書き方はシンプル・イズ・ベスト!
誰もがそのチャートを見て、同じ操作が出来るように目指して書いて下さい。
実験手順、操作のフローチャートなんて、料理のレシピみたいなもんです。

「やった事」だけを書けば良いのですから、そう悩む必要はないと思いますよ。
むしろ、実験結果における考察の方が大切です。

古いモノですが、私が学生の時やった
「アルカリ性フォスファターゼによるp-ニトロフェニルリン酸の加水分解における温度の検討」
という実験のフローチャートを書きます。

反応液調製      酵素液調製
 |          |
 | pre-incubate 5min. |
 |←―――――――――|
 |  1ml添加
 ↓
mix
 ↓
incubate 20min.
 ↓
saturated NO2CO3 sol. 1ml添加
 ↓
mix
 ↓
A400測定
 ↓
検量線の式からp-NP生成量を求める
 ↓
酵素活性で表す
 ↓
グラフ用紙にプロット
 ↓
至適温度を求める

長くてすいません。下付き文字がないので、変な部分ありますが、こんな感じです。
参考になると良いのですが・・・・

実験手順のフローチャートですから、実験を行った通りの順序、手法を書けば良いのです。
書き方はシンプル・イズ・ベスト!
誰もがそのチャートを見て、同じ操作が出来るように目指して書いて下さい。
実験手順、操作のフローチャートなんて、料理のレシピみたいなもんです。

「やった事」だけを書けば良いのですから、そう悩む必要はないと思いますよ。
むしろ、実験結果における考察の方が大切です。

古いモノですが、私が学生の時やった
「アルカリ性フォスファターゼによるp-ニトロフェニルリン酸...続きを読む

Qセグメンテーション違反

C言語を使用しています。

構造体に値をいれようとしたら、コンパイルは出来るのですが、実行時に
「セグメンテーション違反です (core dumped)」
となってしまい、それ以上行えません。

構造体と代入したい変数との型は、合っています。

いろいろ本などで見ましたが、何が原因かわからず困っています。
教えてください。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

OSは何でしょうか。コンパイラは何を使用していますか?
通常、デバッグオプションをつけて実行すると、異常の発生したソースの箇所で止まりますので、それが手がかりになります。またNo1の方が言われてますように、ソースが公開できるのであれば、ソースを提示するのが良いかと思います。

Q行列の消去法のコツなど教えてください。

只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。

たとえば

3  1 -7  0
4 -1 -1  5
1 -1  2  2

このような行列があったとします。
習った方法は、
(1)一つの行に0でない数をかける。
(2)一つの行にある数をかけたものを他の行に加える。
(3)二つの行を交換する。

1  0  0  3
0  1  0  5
0  0  1  2
このような式に変形してx=3,y=5,z=2みたいな感じにするということでしたが、

今回教えていただきたいことは、
→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
→うまく変形するコツ。

の二つです。

やり方自体はなんとなくわかるのですが、単位行列に持っていくまでの手順がイマイチ難しくわからないので、よろしければご教授願います。

2月頭辺りからテストなのでズバリを突いて欲しいと思います。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

→1度に前述の3つの式を何回も使っていいのか。
何回でも使っていいです。1+1=2と1+1+1-1+1-1+1-1=2が等価なのと同じことと思ってください。

→うまく変形するコツ。
”うまく”はないですけど、初心者向けの解法のコツみたいなものとして、参考までに。
(1)n列目のn行を1にする。
(2)「n列の他の行の数」を、(1)で作った1に-(「n列の他の行の数」)をかけてたして0にする。
(3)単位行列になるまで(1)~(2)を繰り返す。
※nは1~行列の次数(2次正方とか3次正方とかの2,3)です。

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点(の集合)のことです.
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Qz = x^y の偏微分

z = x^y の偏微分


こんにちは。
数学の偏微分に関しての質問です。


z = x^y を偏微分せよ


という問題について教えて欲しいのです。

・偏微分可能であることを示す
・偏専関数を求める

これは例題でやったのですが、実際に偏微分するときどう手をつければいいのかわからず…。
偏微分というのがどういう事なのかをまず理解してないのも一つなのですが。

実際に解答するならばどう答えればいいのでしょうか。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

>偏微分というのがどういう事なのかをまず理解してないのも一つなのですが。
xで偏微分するときはyを定数と見做してxの微分をする。
yで偏微分するときはxを定数と見做してyの微分をする。
ただ、これだけのことです。

z=x^y=e^(ylog(x))

z_x≡∂z/dx=e^(ylog(x))*∂(ylog(x))/∂x
=e^(ylog(x))*y/x=(y/x)x^y

z_y≡∂z/dy=e^(ylog(x))*∂(ylog(x))/∂y
=(x^y)log(x)

QTOEFL ITPのスコアについて教えてください。

こんにちは。
大学でTOEFLのテストを受けました。
結果は443?点でした。
ですがこのスコアはどの程度のものなのでしょうか?
というのも、こんな成績で恥ずかしながら運良く入試がよく解けて大学の特待生として入学したので、傑出していなければ落とされてしまうのではと不安でたまりません。
偏差値60前後の大学なのですが、その新入生としてはやはり悪い数字でしょうか?
実際に、500点が留学の基準と言われていますよね?
それには少なくても満たないし…。
入試が終わってから一ヶ月サボったつけが回ってきたと後悔しています。
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ITPの場合は、満点が677点。でCBTやibtとの換算表においては、PBTとまったく同じ点数となります。
http://www.ncc-g.com/page33.html
443点ということは、cbtで127、ibt43と同じということですが、ibt43が高校卒業と同じぐらいのレベルですから、大学1年生としては妥当なスコアだと思います。これから努力すればスコアは上げられますよ。
http://eq-g.com/article/exam/exam-hikaku/

Q卒業検定に落ちた人!

卒業検定に落ちた人!
(ペーパー試験じゃなくて、実技の方)

どの理由で落ちたか教えてください。
あと10日程で、卒業検定です。
参考にさせてください。

Aベストアンサー

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返しで
抜けられるところ,未熟なため列から抜け出せず
全員が100点原点で不合格になった(実話ですよ)

ポイントは状況判断ミスと走行不能による検定中断になったため
一般的なことは皆様書かれているようなことで
おそらく,質問者様もある程度予測できていることも
あると思います
上のような,予測不可能な事態に巻き込まれたとき
如何に判断して抜け出せるかだと思います

運とか,こういう場面に出くわす確立とか
ありますが,平常,冷静を保つことが大事です!!

一般的なことは,皆様が書かれている通りです
自分は一発合格でしたが
私の卒業した学校であった,変わったエピソードがあります
参考まで

交差点手前でで一台のトラックが止まっていたのですが
検定車5台の内,先頭の運転手が信号待ちと判断
トラックの後ろに停止,残り4台も同様に停止しました
ところが,トラックは信号待ちではなく
交差点近くの電話ボックスで電話する為に停車していただけだった
検定者は誰も気付かず教官に指摘された
ところが,車間距離が近すぎて,免許所持者なら切り返し...続きを読む


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