ここから質問投稿すると、最大4000ポイント当たる!!!! >>

デカルト座標の拡散方程式は、ボルツマン変換とかラプラス変換とかフーリェ変換で解けるのですが、球対称の拡散方程式の解法がわかりません。この問題についてのっている参考書など御存じでしたら教えてください。よろしくおねがいします。

A 回答 (1件)

こういう問題は、どんな参考書にものっているんではないですか。

ラプラシアンを極座標で変換すればどうなるのかはご存じですよね。あとは、放物型2階偏微分方程式の解法を見ればよいと思います。拡散方程式、熱伝導方程式、シュレディンガー方程式は全て同じパターンです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。球座標系における拡散方程式をラプラス変換して、それを満たす解を考えてみたら思いつけて解くことがでました。

お礼日時:2007/04/06 22:41

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qノイマン境界条件の球の拡散方程式の解析解について

こんばんは。ノイマン境界条件の球の拡散方程式の解析解が必要なのですが、
WEBではなかなか見つかりません。

∂c/∂t=D/r^2*∂/∂r(r^2*∂c/∂r)
に対して、初期値c=c0、r=Rのとき∂c/∂r=a(定数)での
非定常のものなのです。

ヒントを含めましてよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

変数分離型の解から出発します。

c=R(r)T(t)とおき

∂c/∂t=D/r^2*∂/∂r(r^2*∂c/∂r)

に代入する。以下拡散係数Dは定数とする。

RdT/dt=(DT/r^2)*d/dr(r^2*dR/dr)

(1/DT)dT/dt=(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)

変数分離ができたのでこの値をk(t,rによらない定数)とおくと

(1/DT)dT/dt=k (1)

(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)=k  (2)

(1)より

dT/dt=kDT

解は

T=ce^(kDt) (3)

(2)より

d^2R/dr^2+(2/r)dR/dr-kR=0

k=1/p^2,r=puとおくと

d^2R/du^2+(2/u)dR/du-R=0

この解は変形球ベッセル関数(n=0)(url参照)

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E9%96%A2%E6%95%B0

変数分離型の解から出発します。

c=R(r)T(t)とおき

∂c/∂t=D/r^2*∂/∂r(r^2*∂c/∂r)

に代入する。以下拡散係数Dは定数とする。

RdT/dt=(DT/r^2)*d/dr(r^2*dR/dr)

(1/DT)dT/dt=(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)

変数分離ができたのでこの値をk(t,rによらない定数)とおくと

(1/DT)dT/dt=k (1)

(1/R)(1/r^2)d/dr(r^2*dR/dr)=k  (2)

(1)より

dT/dt=kDT

解は

T=ce^(kDt) (3)

(2)より

d^2R/dr^2+(2/r)dR/dr-kR=0

k=1/p^2,r=puとおくと

d^2R/du^2+(2/u)dR/du-R=0

この...続きを読む

Q球座標系の拡散方程式

ある論文を読んでいるのですが、二つの式の関係がわからなくて困っています。球状の気泡の成長に関するモデルです。一つ目の式中に,
∂c/∂r |_r=R ・・・(1)
という項が出てきます。半径r=Rのときの∂c/∂rの値という意味です。二つ目の式は球座標の拡散方程式の径方向成分です。
∂c/∂t = (D/r^2)*(∂/∂r)*(r^2*∂c/∂r)・・・(2)
論文では「(1)は式(2)を積分法で解析的に解いて求めた。」とあるのですが、具体的にどういう手順で解いたのかがわからなくて困ってます。
・(2)式の右辺は微分してD(∂^2c/∂r^2 + (2/r)*(∂c/∂r))と変形できるとおもいますが、積分するのだからこんなことしなくてもいいのでしょうか。
・定常状態として(2)式の左辺を0として、適当に境界・初期値条件を入れて解いたということでしょうか。それとも非定常状態としてそのまま左辺も右辺も積分するのでしょうか(それができるのかどうかもわかりませんが)。
計算手順の概略だけでも教えていただくと助かります。細かい計算は自分でやりますので。

ある論文を読んでいるのですが、二つの式の関係がわからなくて困っています。球状の気泡の成長に関するモデルです。一つ目の式中に,
∂c/∂r |_r=R ・・・(1)
という項が出てきます。半径r=Rのときの∂c/∂rの値という意味です。二つ目の式は球座標の拡散方程式の径方向成分です。
∂c/∂t = (D/r^2)*(∂/∂r)*(r^2*∂c/∂r)・・・(2)
論文では「(1)は式(2)を積分法で解析的に解いて求めた。」とあるのですが、具体的にどういう手順で解いたのかがわからなくて困ってます。
・(2)式の右辺は微分してD(∂^2c/∂r^2 + (2/r...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。

やはり両辺を体積分したのではないですか?

> d/dt((4pi*r^3*P)/(3RT))=4piR^2D*∂c/∂r |_r=R ・・・(1)

この右辺は、まさしく(2)の右辺を体積分したものになっています。
∫r^2dr∫dΩ (右辺) を実行すると、∫dΩ = 4π なので、すぐに導かれます。∫drの上限は R ですから、D r^2*∂c/∂r に R を代入したものになりますね。

これはガウスの積分定理を適用したのと同じことです。

左辺のほうは、∫dV ∂c/∂t = ∂/∂t (∫dV c(r,t) ) のようにして体積分を実行できます。

ところで、(2) で、(∂/∂r)* のように「*」で掛け算になっているのはおかしいですよ。微分演算子は数ではないので、掛け算ではありません。


人気Q&Aランキング