とあるSPI試験受けたときにでた問題です。
初歩だと思いますが当方確率の問題が苦手で未だに正解がわかりません。
解説付きでお願いします。

一枚づつ1~10の数字が書かれた10枚のカードがあります。
このうち3枚のカードを引き3枚のカードの数字を足した数が奇数である確率は?

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A 回答 (6件)

10個と制限がなくて、無数にカードがあるなら最初のかたの回答でい


いと思いますが、実際には枚数制限を考えないといけません。

10枚のカードから、3枚引く場合 10C3 = 120 通りの引き方があり
ます。

これに対して、その合計が奇数になる引き方は、奇+偶+偶の場合と
奇+奇+奇の場合がありますが、前者は 5C1 * 5C2 = 5 * 10 = 50、
後者は 5C3 = 10 で、その和は 60。

よって、合計が奇数になる確率は 60/120 = 1/2 となります。
1-10の場合は無数にある場合と結果的には同じ確率ですね。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
申し訳ないのですが、
10C3=120の計算方法がわかりません。(/_;)
よろしければ解説を、、、。

補足日時:2000/12/09 20:53
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10C3 というのは、10個のものから3個とるときの組み合わせの数を


いいます。(紙に書くときは、10 と 3 は小さく下げて書きます)

まず、10個のものから1個とる場合、10通りなのはわかりますよね?

次に、10個のものから2個とるには、1個目が10通りで、2個目が9通
りとなりますが、合計は 90通りではなくて、逆順も考えると90/2
= 45通りとなります。

では、10個のものから3個とるときは、先頭から順に、10通り、9通
り、8通りとなりますが、同じ3個の組がどんな順序で現れるかは、
3x2x1 = 6 通りあるので、(10 x 9 x 8) / (3 x 2 x 1) = 120 通
りということになります。これが 10C3 の意味です。

一般に、m C n = m! / ((m-n)! n!) と計算できます。m! は階乗の
意味で、m x (m-1) x (m-2) x ... x 1 です。
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この回答へのお礼

たびたびの回答ありがとうございます^^。
確率以前の問題でした^^;;。

やっと、、、、、理解できました。(この問題に関してだけですが)
また泣きつくことあるかも知れませんがそのときはお願いします。

お礼日時:2000/12/13 09:03

>奇数+奇数+奇数・・(1/2)×(4/9)×(3/8)


>最初の(1/2)は(5/10)のことですよね^^;;。
>奇数+偶数+偶数・・(1/2)×(5/9)×(1/2)
>最後の(1/2)は(4/8)のことですよね^^;。

 その通りでーす(^^)。
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この回答へのお礼

返答ありがとうございました^^。

お礼日時:2000/12/13 09:04

私のすぐ下の人の回答が模範解答かと思いますので、私はあえて別の方法で解答してみます。



「3枚のカードを引き3枚のカードの数字を足した数が奇数」を考えてみます。下の3人の方の回答にあるように、例えば「偶数と偶数と奇数」をひけば、奇数になるわけですが、ここでポイントは、『最終結果が偶数になるか奇数になるかは、1枚1枚の「1」とか「2」とかいう数字よりも、単に「偶数」をひくか「奇数」をひくか、しか問題ではない。』ということです。

そこで、「偶数」を「白石」、「奇数」を「黒石」と置き換えてみてください。
袋に「白石」と「黒石」が5個ずつ入っていて、そこから3個ひく。
「黒」「黒」「黒」の組み合わせか、
「黒」「白」「白」の組み合わせなら
3枚のカードの合計が「奇数」、つまり「黒」の勝ち。
こんなゲームを想像してみてください。
「黒」の勝ちパターンと「白」の勝ちパターンがちょうど正反対になっています。
ということは、『最初に「黒」「白」半々でスタートする
』のだから、途中の難しい計算なんて知らなくても、「黒」が勝つ確率と「白」が勝つ確率は同じにならないと変ですよね。

というわけで、「黒」が勝つ確率、つまり3枚のカードの合計が「奇数」になる確率は、ちょうど半々。つまり1/2となるわけです。
ちなみに、この考え方から、ひくカードの枚数が3枚でなくて、1枚とか5枚とかでも、合計が奇数になる確率は1/2であることがわかります。
ただし2枚とか4枚ひくときは、勝ちパターンと負けパターンが対称的ではないので、計算してみないとわかりません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ユニークな考えかたですね。
ここまで応用して考えられるようになりたいものです。
参考にさせていただきます。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

では、下の回答に補足をつけてみましょう。



3枚のカードを引いて奇数になる組み合わせは

奇数+奇数+奇数
奇数+偶数+偶数
偶数+奇数+偶数
偶数+偶数+奇数

の4通りです。では各パターンごとに確率を出してみましょう。

奇数+奇数+奇数・・(1/2)×(4/9)×(3/8)=1/12
奇数+偶数+偶数・・(1/2)×(5/9)×(1/2)=5/36
偶数+奇数+偶数・・(1/2)×(5/9)×(1/2)=5/36
偶数+偶数+奇数・・(1/2)×(4/9)×(5/8)=5/36

よって、上記の答えを全部合計すると18/36=1/2
となります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
奇数+奇数+奇数・・(1/2)×(4/9)×(3/8)
最初の(1/2)は(5/10)のことですよね^^;;。
奇数+偶数+偶数・・(1/2)×(5/9)×(1/2)
最後の(1/2)は(4/8)のことですよね^^;。

このように考えるのですね。
なるほど、納得できました。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

何通りあるか考えて求めてみる方が簡単そうですね。


別に1~10というのは考えなくていいようです。
ようは奇数か偶数かということだけなので。。。

奇数にするには
偶数+偶数+奇数
奇数+奇数+奇数
しかないと思います。

まず全部で8通り。
全部奇数は 1通り、
3回中1回奇数は 3通り、
よって(1+3)/8 = 1/2
確率 1/2 が答えです。 違いますか??
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
うーん、ちょっと納得。

お礼日時:-0001/11/30 00:00

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同様に「引かなかった場合」では、
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・2枚目で奇数を引く確立は(残り9枚で奇数は5枚ともありますので)「5/9」
以上から、「1/2×5/9=5/18」で「5/18」となります。
後は両方のケースの確立を足して、「4/18+5/18=9/18=1/2」ですから、答えは「1/2」です。

4. 3.で「両方とも奇数を引く確立」を求めてしまっているのでもう答えは出ているようなものですが、一応検討してみると、
・1枚目で偶数を引く確立は(偶数は10枚中5枚ありますので)「5/10=1/2」
・2枚目も偶数を引く確立は(残り9枚で偶数は1枚使われて4枚なので)「4/9」
よって、「1/2×4/9=4/18=2/9」で答えは「2/9」となります。

No.1、No.2のお二方もおっしゃられているとおり、質問文の条件がいまいちよく分かりませんが、「4」から「1枚目が10の位、2枚目が1の位」と仮定して回答させていただきます。

1. 上記の条件で作成できる9の倍数は「09,18,27,36,45,54,63,72,81,90」の10個です。(「99」は9を2つ使わなければならないので除外。)
一方作成できる数は「10の位は10枚のカードから、1の位は残りの9枚から選ぶ」ので、「10×9=90」ということで「90とおり」です。
よって、「10/90=1/9」で「1/9」となります。

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Q偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい

中2の数学の問題です。

問題:
偶数と奇数の和は奇数になることを説明しなさい。

問題集の解答で疑問に思う点がありましたので質問させていただきます。
解答:
m,nを自然数とすると偶数は2m、奇数は2n-1と表せる。
2数の和は、
2m+2n-1=2(m+n)-1
m+nは自然数だから2(m+n)は偶数になり、2(m+n)-1は奇数になる。
よって偶数と奇数の和は奇数である。
(証明終わり)

上記証明でわからない点が2点あります。
(1)m,nをなぜ自然数に限定しているのか。
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(2)もしm,nが自然数と置くのが正しいとしたとき、奇数を2n+3とおいてしまうと
3(n=1)から始まる奇数になり一般に自然数全体で証明したことにならないの
ではないかという疑問があります。
2m+2n+3=2(m+n+1)+1
このような解答も見かけます。
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問題ないのでしょうか? 

ご回答よろしくお願いします。   

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2数の和は、
2m+2n-1=2(m+n)-1
m+nは自然数だから2(m+n)は偶数になり、2(m+n)-1は奇数になる。
よって偶数と奇数の和は奇数である。
(証明終わり)

上記証明でわからない点が2点あります。
(1)m,nをなぜ自然数に限定しているのか。
m,nは一般に整数ではないのでしょうか?中学レベルではマイナ...続きを読む

Aベストアンサー

(1)についてですが、
負の数や0も、奇数・偶数として考える場合もあるので
m,nは整数としておくことが正解ではあります。

しかしながら、文部科学省が作った中学の教科書などでは
偶数、奇数に「0」や「負の数」を含めず、
自然数のみとして教えています。
なので、m,nを自然数に限定しているものだと考えられます。

Q確率 m枚のカードから1枚取り出す

1からmまでの番号が1つずつ書いてあるm枚のカードが入っている箱がある。この箱から1枚取り出してはまたもとに戻す操作をn回繰り返し、第i回目に取り出したカードの番号をAiとする。A1≧A2≧A3≧・・・・≧Anとなる確率をp(m,n)で表すとき、次の値を求めよ。
(1)p(2,n)
(2)p(3,n)
(3)p(4,7)
(4)p(4,n)

この問題を解いているのですが僕にとってかなり難問です。
とりあえず(1)なのですが、2がずっと続いて途中で1になるような確率を出せばいいのではないかと考えたのですが、「何個目で1に変わるのか」をどう表すのかがよくわかりません。1回目で変わる、2回目、3回目と分けようと思ったのですが、nなので無理でした。
こういう場合、確率はどのようにして出すのでしょうか?教科書や傍用問題集では見たことのないタイプです。
回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いします

Aベストアンサー

1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m

1≦A_n <A_(n-1)+1<A_(n-2)+2<A_(n-3)+3< …… <A_3+(n-3)<A_2+(n-2)<A_1+(n-1)≦m+(n-1)

であるから、

1≦A_n≦A_(n-1)≦A_(n-2)≦A_(n-3)≦ …… ≦A_3≦A_2≦A_1≦m を満たすような
カードの取り出し方は C(m+n-1,n)=(m+n-1)!/(n!*(m-1)!) 通りだけある。
よって、
p(m,n)=((m+n-1)!/(n!*(m-1)!))/(m^n).

たとえば、

(4) p(4,n)
=((4+n-1)!/(n!*(4-1)!))/(4^n)
=(n+1)(n+2)(n+3)/(6*4^n).

Q【奇数+偶数=奇数の証明】 これって間違いですか?

『奇数+偶数=奇数』の証明です。これは間違いでしょうか?

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2n+(2n+1)=4n+1
nは自然数だから、4nは偶数である。
よって4n+1は奇数となり、奇数+偶数=奇数である。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

これでは100点をあげられないなあ。
> nを自然数とすると、偶数は2n、奇数は2n+1で表せるから、
ここでは一般の偶数と奇数を考えているのだから,これではまずい。どうして偶数よりも1だけ大きい奇数しか考えないのか?

Q確率(組合せ)1,3,5,7,9のカードから2枚引くとき、1枚は5である組合せについて

タイトルの事象をAとした時、
A = {(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9) }となり、
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当てはめれるとき、何がnで何がrなのか?どうしてそうなるのか理解出来ません。

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どなたかご教授願います。よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

5を除くもう一枚を選ぶのだから 4C1

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分数が入ってると偶数か奇数かわからないような気がするのですが、

階乗計算をしないでできるだけ簡単にコンビネーションの偶数奇数判定をしたいのですが、

どなたか、知恵を御貸し下さい。
お願い致します。

Aベストアンサー

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2385467.html

Q確率の基礎問題・正解はなぜ正解?

http://okwave.jp/qa3586353.html
でアドバイスをいただいたとおり、問題に対する色々な
パターンで解答を考えだしてみたところ、今度は正解で
ない数字が見事に一致してしまい、余計にわからなくな
ってしまいました。


サイコロを3回振って3回とも偶数の目が出る確率を求
めよ。(答え・1/8)

でも、実際に自分で考えたら例えば1回投げたときの可
能性が3/6なら、3回投げた場合は9/18=1/2、と解釈す
ることもできますよね。

別の解き方、例えば偶数の目がでる以外の可能性も考
えて1-3/6×3/6×3/6という解き方をすれば、やっぱり
1/2になってしまいますよね。

他にも見方によっては1/6、1/4など、どうとでも言え
てしまいそうで、なぜ1/8だけが正解扱いなのかわか
りません・・・。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

前の質問も読んで、もしかしたら、と思っていたのですが、
出てきた数字に対して、どういう時に加減乗除(特にたし算とかけ算)の
中のどれを使うかということが分からないのではないでしょうか?
基本的に和集合の場合、たし算、部分集合の場合、かけ算を使うのです。
と、書くと余計に難しくなるかもしれませんが。

ベン図ってご存知ですか?(参考URL参照)。
確率とはあることをしてみたところ、ある事柄がどれくらい起こりうるか
というものを表しています。これをベン図で表してみます。
あること…サイコロを1回振る
ある事柄…1が出る
と考えたとき、一番上のベン図でこのことを表すと
Pとなっている緑の部分が1が出たとき、
Pの上に横棒がついているものがそれ以外(つまり2,3,4,5,6が出たとき)
と考えられます。

では同様に2回サイコロを振った場合について図例となっている下の図で
考えます。
あること…サイコロを2回振る
ある事柄P…1回目に1が出る
ある事柄Q…2回目に1が出る
とすると、論理積(左上)と論理和(中央の上)の図の緑の部分は
何を表しているか分かりますか?
左上は1回目が1で、かつ2回目も1、中央の上は1回目or2回目(両方も含む)
で1が出たことを表します。

このように考えると、
2回振って1回目が1で、かつ2回目も1という条件はまず1回目が1でなければ
その条件を満たさないわけで、実際には2回目も1でなければならないので、
さらに制限されてしまいますよね。
このような場合にかけ算を使います。
そして、2回振って少なくとも1回は1が出るという条件の場合、1回目が
1でなくても2回目で1が出ればいいので、条件が甘いですよね。
このようなときにたし算を使います。
ただ、正確に言うと、単純に足し合わせると、重なっている部分
(2回とも1が出たということ)を重複して数えてしまうので、
この分を引く必要があります。

なので、サイコロを3回振って1の目が少なくとも1回出る確率を求めよ。
という問題では、1回目に1が出なくてもこの条件を満たすことがあるので、
1/6という数字を使う場合、かけ算ではなくたし算が出てきて欲しいのです。
もちろんたし算を使って1/6+1/6+1/6とすると重複して計算してしまう
部分があるので、これを引く必要があります。

確率というのは概念を図で表すと分かりやすくなることがあるので、
今回のベン図や#1さんが出した樹形図、#4さんの出したしらみつぶしなど
分かりやすいイメージをまず作ることが重要だと思います。
式にするのはその後です。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%B3%E5%9B%B3

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というものを表しています。これをベン図で表してみます。
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