下に書いてあるV1~V4は列ベクトルだと思ってください。

V1=(1,0,2,-1) V2=(3,1,2,0) V3=(5,2,1,-2) V4=(-1,-2,3,-2)で、
Vは[V1,V2]で張られる部分空間、Wは[V3,V4]で張られる部分空間であるとしてV+W,V∩Wの求め方を教えてください。

線形代数の予習でよくわからなくて困っています。
宜しくお願いいたします。

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A 回答 (2件)

ベクトルを横に書きます



1、0,2,-1
3,1,2,0
5,2,1,-2
-1,-2,3,-2

一行目を何倍かして2行目3行目..に加えて

1,0,2,-1
0,1,-4,3
0,2,-9,3
0,-2,5,-3

さらに2行目を何倍かして3行目..にくわえて

1,0,2,-1
0,1,-4,3
0,0,-1,-3
0,0,-3,3

さらに3行目を何倍かして4行目に加えて

1,0,2,-1
0,1,-4,3
0,0,-1,-3
0,0,0,12

これから、4つのベクトルはすべて独立で
V+W=R^4
V∩W=0

かな?
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まずV+Wから考えます


v1,v2は明らかに一次独立よりdimV=2
またv3,v4も明らかに一次独立よりdimW=2です
ではdim(V+W)が4になるかといったらいつもそうとは限りません
これはその例になってるわけです。
だからV+Wの求め方としては、
v1,v2にv3を加えたときまた一次独立になるかということを調べ
仮に一次独立になったら、今度はv4も加えて一次独立になるか調べましょう。
(実際に計算してないのでこれは方針です)
仮にv4を加えたら一次従属になってしまったとしましょう。
するとこの時dim(V+W)=3で
V+W={sv1+tv2+uv3 |s,t,uはスカラー}
と求まるわけです。

V∩Wも同じです
おそらくdimV∩W=1ですから
VとWに共通するベクトルを1つ見つければ、
(仮にそれをvとすれば)
V∩W={sv|sはスカラー}
となるわけです。
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