ルベーグ積分をゼミでやっているのですが
(書名がわからないのですが英語の本です。
 水田義弘先生の「ルベーグ積分入門」がいちおう訳書らしいです)
いままで可測な集合と関数についてやっていて、やっと定義にありついたところで

非負のμ-measurableな関数は、必ずμ-integrableという記述があり

証明しなければいけないのですが、
fの関数の上積分と下積分が等しくなるとき、μ-integrableなので、
上積分≧下積分 と 下積分≦上積分 を示せばいいのですが
下積分≦上積分のほうを示すとき
数学専門の科のゼミではないので自力で証明はしなくていいから
本を探してこい、と言われましたが
大学の図書館に行ってもちんぷんかんぷんでわかりません。
詳しく証明が載っている本をご存知のかた、
教えてください。

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A 回答 (1件)

岩波”位相解析の基礎”(吉田、河田、岩村)p70~ p72ではどうでしょうか>


ハルモスのmeasure theory も参考になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
証明うまく出来ました!

お礼日時:2001/12/19 23:06

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Q単関数のルベーグ積分でC⊂Dならば∫_Cfdm≦∫_Dfdm?

なかなか定義が明記されてなくて難儀しております。
mは測度のことと思われます。

(単関数の積分)
[問]f,gは非負の値を採る単関数,C,D∈Bとする時,次が成立する。
(1) C∩D=φならば∫_(C∪D) fdm=∫_Cfdm+∫_Dfdm
(2) C⊂Dならば∫_Cfdm≦∫_Dfdm
[(1)の証]
∫_(C∪D) fdm=a・m(C∪D) (a∈R) (∵ルベーグ積分の定義)
=a(m(C)+m(D)) (∵測度空間の定義)
=a・m(C)+a・m(D)
=∫_Cfdm+∫_Dfdm (∵ルベーグ積分の定義)
[(2)の証]
∫_Cfdm=a・m(C) (∵ルベーグ積分の定義)
ここから
≦a・m(D)が言えません。

どのようにして言えますでしょうか?

Aベストアンサー

No1さんの言う通りですね。
詳しく説明すると
D=C∪(D\C)と表すことができ

C∩(D\C)=φ
よって
∫_{D}f dm=∫_{C∪(D\C)}f dm=∫_{C}f dm+∫_(D\C)f dm
≧∫_{C}f dm
てな感じですね。ルベーグ積分のスタートですね。頑張って下さい。

Q高校、数学Ⅰの二次関数についてです。 問) 関数 f(x)=-(x-2)+6 (0≦x≦a) の最

高校、数学Ⅰの二次関数についてです。

問) 関数 f(x)=-(x-2)+6 (0≦x≦a) の最大値M、最小値mを求めよ

この問題で、0<a≦2、2<a≦4、4<a、の3範囲に分けて考えるとき、一つ目の0<a≦2の範囲ではx=aで最大値M=-a²+4a+2
と答えには書いてあります。

xの範囲、aの範囲ともに=がついているのでx=2で最大値M=6と考えたのですがなぜ6にはならないのでしょうか。

Aベストアンサー

「二次関数」とのことなので、きっと
  関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。

ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。

x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。

x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。

(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
  ↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?

(2)0<a≦2 ならば、x の範囲は 0~a≦2 なので、「 x=0 のとき最小値 2、x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということです。a=2はその特別な場合であり、この0<a≦2 の全ての a についてそうなるわけではありません。
この範囲なら、a=1 のときには x=1 で最大値 5 をとるし、a=2 なら x=2 で最大値 6 をとります。それをこの範囲の a について一般化して書けば「x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということなのです。

(3)2<a≦4 ならば、x の範囲は 0~2~a なので、x=2 を必ず含むので最大値は 6 で決まりです。x=4 のときには f(4) = 2 ですから、x=0 のときと同じです。
つまり、
 2<a<4 ならば、「 x=0 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
 a=4 ならば、「 x=0 および x=a=4 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
ということになります。
 この場合には、a=4 以外のときには a は直接最小値には関係せず、a=4 のときだけが最小値に関係する特別な扱いとなります。
 上の(1)と同じように、「a=4 のとき」を特別に分けた方が適切かと思います。

(4)4<a ならば、x=a のときに x=0 よりも小さな値をとりますから、「 x=a のとき最小値 m = -a²+4a+2、x=2 のときに最大値 6 をとる」ということになります。

「二次関数」とのことなので、きっと
  関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。

ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。

x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。

x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。

(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
  ↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?...続きを読む

QLebesgue測度μではμ(S\T)=μ(S)-μ(T)と変形できるの?

Cantor集合の説明で

[0,1]を3等分して(1/3,2/3)を取除くと[0,1/3]と[2/3,1]が残る。次に[0,1/3]と[2/3,1]を3等分して
(1/9,2/9),(7/9.8/9)を取除く。
n回目には長さ1/3^nの区間2^(n-1)を取除いた事になるので取除かれた区間全体Gの長さμ(G) (μはLebesgue測度)は
Σ[n=1..∞]2^(n-1)/3^n=1 …(1)
従って μ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)=(1-0)-1(∵Lebesgue測度の定義と(1))=0

でこの差集合[0,1]\GをCantor集合という。

でμ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)となぜ変形出来るのか分かりません。


Lebesbue測度の定義は下記のとおりだと思います。でもどうしても差集合のルベーグ測度が夫々のルベーグ測度の差になる事が導けません。μ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)となぜ変形出来るのでしょうか?



[定義]Aを全体集合,B⊂2^Aとする。BがA上でσ集合体をなす時,AはBの可測空間をな
すと言い,(A,B)と表す。

[定義] (A,B)を可測空間とする。写像f:B→R∪{+∞}は(A,B)上で測度をなす。
⇔(def)
(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N\{0} (m≠n), b_m,b_n∈B且つ
b_m∩b_n=φ⇒f(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)

[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度をなす。
⇔(def)
(i) f(2^A)⊂[0,∞],特にf(φ)=0
(ii) C⊂D(C,D∈2^A)⇒f(C)≦f(D)
(iii) f(∪[n=1..∞]C_n)≦Σ[n=1..∞]f(C_n) (C_n∈2^A (n∈N))

[定義]f:B→R∪{+∞}を可測空間(A,B)上の外測度とする。E(⊂A)は(A,B)上でf-可測
(集合)。
⇔(def)
∀C∈2^A,f(C)=f(C∩E)+f(C∩E^c)

[定義] R^nのm次元区間全{Π[i=1..m](a_i,b_i]\
{∞};a_i,b_i∈R∪{∞}(i=1,2,…,m)} (m≦n)をI(m,n)で表す。
[定義] R^nのm次元区間塊全体{∪[j=1..k]I_i;k∈N\{0},I^m∋I_1,I_2,…,I_k:互い
に素}をC(m,n)で表す。

このとき,C(n,n)はR^nで有限加法族をなす。

[定義] 写像g:∪C(n,n)→R^nを
C(n,n)∋∀∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]→g(∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]):=
Π(b_i-a_i) (k=1且つΠ[i=1..n](a_j1,b_j1]は有界の時)
sup{Π[i=1..n](d_i-c_i);(Π[j1=1..n](a_j1,b_j1]⊃)Π[i=1..n](c_i,d_i]は有界}
(k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,bj1]は非有界の時)
0 (k=1でΠ[j1=1..n](a_j1,b_j1]=φの時)
Σ[i=1..k]g(Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]) (k>1で
∪[i=1..k]Π[ji=1..n](a_ji,b_ji]∈C(n,n) (但し
,Π[j1=1..n](a_j1,b_j1],Π[j2=1..n](a_j2,b_j2],…,Π[jn=1..n](a_jn,b_jn]は互
いに素)の時)
と定義するとこのgは可測空間(R^n,C(n,n))での有限測度をなす。
そして写像h:2^(R^n)→Rを2^(R^n)∋∀A→h(A):=
inf{Σ[k=1..∞]g(E_k);A⊂∪[k=1..∞]E_k (E_k∈C(n,n) (n∈N\{0}))}
で定義するとこのhは可測空間(R^n,C(n,n))で外測度をなす。
この時,このhをLebesgue外測度という。

[定義] 写像h:2^(R^n)→R∪{+∞}はルベーグ外測度とする。
L:={E∈2^(R^n);Eは可測空間(R^n,2^(R^n))上でh-可測}をLebesgue可測集合全体の集
合という。

[定義] hをLebesgue外測度とする。制限写像h|Lは測度をなす。
この時,この制限写像h|HをR^n上のLebesgue測度という。

Cantor集合の説明で

[0,1]を3等分して(1/3,2/3)を取除くと[0,1/3]と[2/3,1]が残る。次に[0,1/3]と[2/3,1]を3等分して
(1/9,2/9),(7/9.8/9)を取除く。
n回目には長さ1/3^nの区間2^(n-1)を取除いた事になるので取除かれた区間全体Gの長さμ(G) (μはLebesgue測度)は
Σ[n=1..∞]2^(n-1)/3^n=1 …(1)
従って μ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)=(1-0)-1(∵Lebesgue測度の定義と(1))=0

でこの差集合[0,1]\GをCantor集合という。

でμ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)となぜ変形出来るのか分かりません。


Lebesbue測度の...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。測度の定義の2番目

(ii) ∀m,n∈N\{0} (m≠n), b_m,b_n∈B且つ
b_m∩b_n=φ⇒f(∪[k=1..∞]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)

これから、

A∩B=φ⇒f(A∪B)=f(A)+f(B)

ですから

f(A∪B)-f(B)=f(A)

上の式においてfをμ、A=[0,1]\G, B=G, A∪B=[0,1]

とおけば

μ([0,1]\G)=μ([0,1])-μ(G)

となります。

QD={(x,y)|0≦x≦1,x≦y≦1}

D={(x,y)|0≦x≦1,x≦y≦1}
∬[D](e^y)^2dxdy
初歩的な問題なんですがこれ答えは(e/2)-(1/2)であってますか?どなたか頼みます。

Aベストアンサー

>積分範囲がxは0からy、yは0からyにになるのがわからないです。0≦x≦1,x≦y≦1がなんでその積分範囲になるのでしょうか?

重積分する場合は、積分領域をxy座標平面にプロットして確認します。
その積分領域全体をカバーするように積分変数を1つずつ順に変化させていくことで、各変数の積分範囲が決まります。それが逐次積分法です。

今の問題の場合

∫[0,1]{∫[x,1] f(x,y)dy}dx

∫[0,1]{∫[0,y] f(x,y)dx}dy

どちらの順序で逐次積分しても、積分領域全体をカバーできます。
必ず積分領域をプロットして、積分をどの順序で行っているか確認
してください(そうすれば重積分が怖くなくなりますよ)。

なので、どちらでも積分でき同じ積分値が得られます。
しかし、積分のしやすさ(難易度)に差が出ますので、簡単に積分できる方を選んでやります。
したがって、どちらの逐次積分の順序もマスターしておき、より簡単に積分できる方を選ぶことがポイントになります。


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