方程式の値が平方数となる条件

Question

かなり考えてはみたものの、全く糸口がつかめません・・。よかったらぜひヒントなどご教授願います。

例として
81x^2-18x+2853=y　という式を用います。
上記の式の場合　x=1　のとき　y=2916　という値をとり、　2916=54^2　となりこれは平方数ですので目的達成です。
質問は、このようなタイプの二次方程式の値yが平方数となるxの値を、求める効率的な方法があるかどうかです。
考えても考えてもしらみつぶしのような求め方しか思いつきませんでした。
解法がないにしても、「こうすれば少しは早くわかるんじゃないか」等、何でも良いので教えていただけたら大変うれしいです。少し質問がわかりにくくてすみません。お願いします。

ryn · Accepted Answer

> 例で言えば2852が素因数分解できればなんとかなるようですね。
> 出来ない場合はやっぱりちょっと難しいのでしょうか。
例えば，今の問題の定数項を1小さくすると，
2851 は素数となりますが，その場合
　(k+9x-1,k-9x+1) = (±2851,±1)
についてのみ自然数となる x があるかどうか調べればよいのでむしろ楽になります．
たくさんの素因数に分解できてしまうほうが約数が増え
多くのパターンを調べなくてはいけません．

> (9x-1)をたとえばmとおくとm^2-k^2=2852となりますが、
> こういった形の不定方程式を整数の範囲で解く方法ってなにかあったでしょうか。
皆さんがご指摘のように左辺を積の形にもっていくのが定石です．

keydaimon · Answer

とりあえず左辺は９で割れますよね？
ということは、割ったあまり
9X^2-2X+317が何かの二乗になってればよいのですが、残念ながらこれは実数解がないため（実数の範囲での）因数分解ができません。そのためあとはしらみつぶしでしょうね。

ちなみに、これ、317を除いた（9X^2-2X）をみると、Xが増加するとこの数も増加していくので、可能性としては無限に存在するかもしれません。

ryn · Answer

私の場合，今の例で x が整数なら
　　81x^2 - 18x + 2853 = k^2
　⇔(9x-1)^2 + 2852 = k^2
　⇔(k+9x-1)(k-9x+1) = 2852
と変形して，
　2852 = 2*2*23*31
であることから
　(k+9x-1,k-9x+1)
= (±2852,±1),(±1426,±2),(±713,±4),
　(±124,±23),(±92,±31),(±62,±46)
あたりを考えます．

at9_am · Answer

a>0 であれば、いかなる二次方程式もご質問の条件
ax^2 + bx + c = y'^2, y' は整数
を満たします。
min{ax^2 + bx + c} = p
が存在することより、q^2>=p なる整数 q が存在するためです。
また、整数の二乗の最小値は０ですから、a<0 の場合でも
max{ax^2 + bx + c} > 0
であれば良いことになります。

x も整数であるとすれば、この問題は可成りやっかいですね。

kony0 · Answer

#2さんの補足を読みましたが、２次式にかかる整数解問題において、
「積の形」＝整数
という式変形を行い、右辺の約数を考えるというもの（まさに#2さんの回答のとおり）は、これ自体が定石の１つです。ご記憶ください。

ちなみに１次式だと、aY=bXの形に持ち込んで倍数条件というのが定石です。（例：9x+5y=101→9(x-4)+5(y-13)=0と式変形）

また、「平方完成」（#2さんの１行目と２行目の変換）も、２次式を扱う際の定石です。
「平方完成」の式変形を“そんなもん、思いつくかよ～”とおっしゃられる方がいらっしゃいますが、そもそも２次方程式の解の公式は平方完成から導きますし、２次関数の問題であれば、頂点等を求めるために即効で平方完成を行います。

at9_am · Answer

＃３です。
色々考えたのですが、簡単にはいかないみたいですね。

まず、＃２の方や＃４の方のように式変形から求める事は私も考えたのですが、
ax^2 + bx + c = y^2
a(x+1/2 b)^2 - y^2 + c - 1/4 ab^2 = 0
となり、a の符号が決まらない状況では困難な上、例え正であったとしても、
a(x+1/2 b + y/√a)(x+1/2 b - y/√a) + c - 1/4 ab^2 = 0
となるため、整数の積＝整数という常道が一般には使えません。


a<0 であれば、
ax^2 + bx + c > 0
となるxについてのみチェックすれば良いんですが、a>0 だと難しいですね。ただ、
ax^2 + bx + c
が整数でなければならないため、c が整数かつ a,b が有理数は条件として必要です。したがって
a=m/n, b=p/q (m>0, n>0, q>0, mnq≠0)
とおくと、
m/n x^2 + p/q x + c = y^2
mq x^2 + np x + cnq - nq y^2 = 0
と書き直すことが出来ます。一見すると元の式と違いませんが、全ての文字が整数であるという条件が加わっています。
解の公式を使うと、
2nq x = -np ±√(n^2p^2 - 4 mnq^2(c-y^2))
となりますが、q>0 とおいているので左辺は正ですから、{-np+√(n^2p^2 - 4 mnq^2(c-y^2))}/2nq が整数であれば良いことになります。
したがって整数 k について、
n^2p^2 - 4 mnq^2(c-y^2)=k^2 が成り立つ y を探し、そのなかで (k-np)/2nq が自然数になるような y を探せば良いことになります。

ここから先は、多分、試行錯誤になるんでしょうけれど、私の手には負えません。

mister_moonlight · Answer

y＝k＾2(kは正の整数)として、81x^2-18x+2853-k＾2＝0より、判別式＝81(k＾2－2852)＝81m＾2　(mは正の整数)とおく。
(k＋m)(k－m)＝2852となるが、2852＝2*2*23*31であり、k＋m＞k－m、k＋m＞0より組み合わせは限られてきます。
(1)k＋m＝2852、k－m＝1.(2)k＋m＝1426、k－m＝2.　(3)k＋m＝713、k－m＝4.　‥‥‥以下は、自分でやってください。

方程式の値が平方数となる条件

とりあえず左辺は９で割れますよね？

私の場合，今の例で x が整数なら

a>0 であれば、いかなる二次方程式もご質問の条件

#2さんの補足を読みましたが、２次式にかかる整数解問題において、

＃３です。

y＝k＾2(kは正の整数)として、81x^2-18x+2853-k＾2＝0より、判別式＝81(k＾2－2852)＝81m＾2 (mは正の整数)とおく。

> 例で言えば2852が素因数分解できればなんとかなるようですね。

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