1次元って、平面(点)
2次元って、タテ、ヨコ(線)
3次元って、タテ、ヨコ、高さ(立体)
と、私は教わりました。
じゃあ。4次元って?

存在しない次元と聞きましたが、「4次元」って言葉が
あるくらいなんだから、4次元の定義だってあるハズ!
と思い調べました。
でも分からない!(>_<)ってコトでここに書きました。

4次元って、タテ、ヨコ、高さ、そして何ですか?
存在しますか?
5次元、6次元の定義もありますか?

すごく気になってます。ご存知の方、教えてください!
あ、私はただの一般人です。数学は全然分かりませんf^_^;
猿にも分かるような説明でお願いします。

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A 回答 (9件)

まず簡単なところで


0次元:点
1次元:直線
2次元:平面(xy平面)
3次元:空間(xyz空間)
となります。ここでこの次元がどのように増えているかですが、ある次元に対しすべての方向に垂直(90度)であるような直線を引き、それを座標軸とすることによって次元を増やします。

つまり、点(0次元)に対し全ての方向に垂直であるような直線を引くことによって1次元が定義され、この直線に対し全ての方向に垂直であるような直線を引くことによって2次元(平面)が定義されるというわけです。

ここで4次元ですが定義だけでいえばxyz軸全てに対して垂直な直線を引き、それをw軸とでもすることによって4次元(xyzw空間)を定義することはできます。同様に5次元、6次元も定義できます。

しかしながら3次元人には今ある空間の全ての方向に対し垂直な方向というものを見つける事はできません。(少なくとも私にはできない)一般には時間軸が第4の方向と言われていますが証明は不可能かと思います。当然ながら4次元がわからないのに5次元、6次元はさっぱりわかりません。

後もうひとつ聞いた話で宇宙は有限の風船のような物であり、3次元宇宙の外側には4次元宇宙が広がっていて、その4次元宇宙の中には同じような3次元宇宙がたくさんある、という話も聞いたことがあります。(かなりいいかげんかもしれないです)

こういう風に考えるとかなりいやな考えですが私達の身近にある2次元空間(TVや漫画など)が4次元人から見た私達とも考えることもできます。

考えたくもありませんがね。
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この回答へのお礼

あっ、0次元なんてものもあったんですね!
次元の増え方はなんとなく分かったんですが、
やっぱり難しいやf^_^;でも形は少し見えました。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:04

 蛇足かもしれないが、burgess_shaleさんの最後の一言にどうしてもややおかしいと思います。



 二次元の紙に四次元を描くことが不可能だとすれば、普段私達が二次元の紙に三次元を描くことも変ではありませんか?簡単的に言えば、あれはイメージ図…えーと、ある角度からの俯瞰図と考えてもいいでしょう。ですからこの意味で四次元を「描く」ことも可能だと思います。

 私は昔々四次元の図、というよりイメージ図を本の中で見たことがありそうな気がしますけど、確かに雪だるまの腰にドーナッツのような…いや、よく覚えてはいません。要するに、色んな「角度」からの図を合わせば、四次元空間を表現することも出来ます。見るのはちょっと大変けれど(笑)。まぁ、私達が紙の上に描いた二次元の図を勝手に三次元的に想像するのも、考えると凄い事ではないか。

 余談ですが、われわれは三次元人とは言えないかもしれません、なにしろこの世界を組成する基本粒子は十次元であると言われています。十って…深追いは禁物ですね。^^;
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この回答へのお礼

そうですね、イメージとして描くことは可能かと私も思います。
しかし、それを確かめる術を私たちは持っていないんですよね。果たして4次元が存在するのかどうかすら。
そういった事を考えるって、すごく素敵だな、って思います。
それにしても、我々は一体何次元人なんでしょうね。
本当に面白いと思います。回答を下さった方に、本当に感謝します。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/12/06 00:10

初めまして、marimo-28さん。


質問のしかたと回答に対するコメントから直感的な回答を望んでらっしゃるようなので、私も直感的な回答をさせて頂きマァス。

皆さんからの回答からも分かるように、直感的にはn次元のモノを展開するとn-1次元になることはいいと思うので(そもそも展開とは次元を1つ減らすことですが…)、それを踏まえて立方体を展開してみます。すると6個の正方形が出来るので、今度はその正方形を1つの面とするような立方体を作ってみましょう。
6個の立方体が隣り合って十字を形作っているのが出来ましたね?
そこで今度はそれを先ほど立方体を展開したのと逆の操作をしてみましょう。
私達3次元の住人には立方体の内側で四つの立方体が重なってしまいますが、4次元の世界では内側で重なることもなく別の立体(と言っていいのかかなりアヤシイですが)が出来あがります。

私の周りにはこれを紙に書いて説明するように迫る人がかなりいますが、そもそも三次元に住む私達がニ次元の紙に四次元を描くこと自体が不可能だと思うのでそういうことはしたことがありません。
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この回答へのお礼

burgess_shaleさんの説明は、映像としてイメージしやすかったです。
4次元とは、3次元の連続してるもの、という考えがなんとなく
あったのですが、3次元とは全然別の形、というか性質というか、を持ったものなのかしら。う~む。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/12/06 00:03

0次元=点


1次元=線
2次元=面
3次元=立体

専門家ではないので恐縮ですが、他の方とは違った意見をもっています。6面体立体の次元は、たて、よこ、たかさで表されると思いますが、本来の意味は、「次元が違う」のように立場、見方や切り口を指すと思います。

つまり、3次元+時間軸で4次元とするのは間違はいませんが、あくまで「たとえば」の話です。2次元の長方形が時間を追って大きさが変わるとしたら2次元+時間軸でも立派に3次元になります。

また、直線が時間で長さが変わるとしたら長さ+時間で2次元としても良いと思います。
さらにその直線の色も変わるとしたら、長さ、色、時間で3次元の要素が必要です。

実世界において例を出すと、世界の全人口のデータあります。これだけでは0次元です。年別に広がりをもたせると1次元です。さらに、「国」という切り口を加えると、年、国で2次元の広がりもった表になります。性別を加えると3次元になります。

年別の1次元のデータしか持っていない人に、最低2次元のデータ必要な「日本の昨年の人口は?」と訊ねても「次元が違うので分からない」となります。

次に5次元、6次元の話に移ります。
6面体の立体は、たて、よこ、たかさの3次元で表されます。時間による変化を見たいとしたら、これに時間という要素を加えて4次元になります。さらに色が変わるとこの要素を加味して5次元。さらに重さが変わるとしたら、重さという要素を加味して6次元。切り口が増えることにより無限に広がります。
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この回答へのお礼

もしかして「次元」って色んな捉え方、考え方があるんですか?
これといった定義って無いんでしょうか?
「色」や「重さ」まで、次元の一つの要素として扱えるんですか?
う~む☆難しいけど、すごく奥が深いですね、「次元」って!
なんだか一つの考えに囚われてはいけないんだなぁ、って思いました。
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:36

昔聞いた考え方を。


仮に2次元人が存在したら、紙上の絵に書いたような人がおり、2次元人同士では認識できるが、3次元人の私たちは見えない。
その2次元人の間に私たちが鉛筆で線を一本引くと、2次元人からは急に目前に物体が現れたように見え、何処からきたはまったく解らない、紙を破いて穴をあけると突然空間が無くなる・・。

そうすると、もし4次元人がいても私たちの眼には認識できず、急に物体が現れたり、無くなったりしたとき4次元人のいたずらかもね。
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この回答へのお礼

(笑)これも面白い。
4次元について質問したけど、科学的な回答から、おとぎ話風の回答まで、こんなにも幅広い回答が返ってくるとは思いませんでした☆
4次元ってホントに面白い♪
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:30

 直交する軸を持つ4次元空間、という概念は、現実の3次元空間+時間(これを時空と言います)の4次元とは別の概念です。



 3次元空間なら、そこに置いたものは自由に動かしたり、回転したりできますね。しかし時空ではそうは行きません。過去と未来を180度ひっくりかえすことはできないでしょう?
 自由に回転できないような多次元空間なら、幾らでも現実に存在します。たとえば3次元空間の各点<x,y,z>にそれぞれ、磁場<b>,電場<e>,重力場<g>があるとすると、これを一つにまとめて<x,y,z,b,e,g>と表すことができる。6次元ですね。
 ちょっと抽象的な考え方ですが、関節が10個あるロボットがどういう姿勢をとっているか、というのを10次元空間で表すこともできます。関節1の角度をθ[1]、という風に表せばロボットの姿勢は<θ[1],θ[2],....,θ[10]>という10次元空間(こういうのを状態空間と言います)の中の1点に対応している。
 あるいはN個の粒子がそれぞれ位置<x[k],y[k],z[k]> にあって速度<Vx[k],Vy[k],Vz[k]>(k=1,2,...,N)で動いている、という配置は<x[1],y[1],z[1],Vx[1],Vy[2],Vz[3],x[2],y[2],z[2],Vz[2],....,Vz[10]>という60次元の状態空間の中の1点でこれを表すことが出来ます。
 これら、時空や状態空間では自由な移動、回転が許されません。いわば記述法としての多次元空間です。

========================

 それに対して、1次元、2次元、3次元の幾何学的な空間(ユークリッド空間)を拡張したN次元空間というものを数学的に定義し、取り扱うことができ、ここでは平行移動や回転が自由自在です。実在しているわけじゃないのですが、数学の計算を行う上では非常に便利なので、当たり前のように使われています。(この事情は、実数(=小数点以下無限桁ある数)が日常には全く現れないにも関わらず、普通に使っている、というのと似たところがありますね。)

 少し難しくなるけど、ここで逃げちゃいけない。もうちょっとがんばろう。
 3次元空間にある物、というのは沢山の点が集まって出来ていると考えられます。この物を動かしたり回すには、物を構成している点を全部一斉に別の場所に動かしたり回してやれば良い。数学ではそのように考えます。ですから、点を正しく動かす方法が分かれば、物を動かしたり回す方法も出来たことになる。

 3次元空間の座標は<a,b,c>のように3つの数値の組(3次元ベクトル)で表されています。同じように4次元空間の座標は<a,b,c,d>のように4つの数値の組(4次元ベクトル)で表されます。3次元での平行移動というのは、<a,b,c>に別の3つの数値の組<u,v,w>を加えて、<a+u,b+v,c+w>に「変換する」という操作です。x軸の方向にuだけ動かし、y軸の方向にv、z軸の方向にwだけ移動したということです。
 4次元ならどうすれば良いか、もうお分かりですね。点<a,b,c,d>を動かすということは<a+u,b+v,c+w,d+p>という風にそれぞれの数に幾らか動かしたい分を加えてやるだけです。

 3次元空間での回転はちょっとややこしい。x軸に直交する平面上で<a,b,c>をθ度回す、という操作をすると<a, b cosθ-c sinθ, c cosθ+ b sinθ>になります。y軸やz軸に直交する平面上での回転も同じ要領で、たとえばz軸に直交する平面上で回すと<a cosθ- b sinθ, b cosθ+a sinθ, c>になる。4次元空間でも同様のやり方で、回転させることができますが、たとえば「x軸とy軸に直交する平面上で<a,b,c,d>をθ度回す」という操作をする。<a, b,c cosθ-d sinθ,d cosθ+c sinθ>になります。
 ここで「x軸とy軸に直交する平面」ってのは「x-y平面と直交する平面」という意味です。4次元では4つの軸が互いに直交しています。(Mohicanさんがちょっと触れていらっしゃるように)3次元で平面に直交しているのは直線ですけど、4次元だと平面に直交するのは平面になる。ですから、「x-y平面と直交するもの」と言えば平面であり、平面を指定したければ別の平面をひとつ決めてやる必要があるんです。

 3次元空間では、以上の、「平行移動」「各軸を中心とする回転」を組み合わせることによって、物の形を一切変化させずに自由に動かしたり回したりすることができる。4次元でも全く同じです。

 このように数式を使って「物を動かす、回す」という操作を表すことによって、5次元でも6次元でも、何の困難もなく簡単に取り扱うことができる。だから現実の3次元空間の中にいる我々が「4本目の軸はどっちにある?」と言って探しても、指さすことはできませんが、数式の上ではいとも簡単に「<0,0,0,0>と<0,0,0,1>を通る直線」と表すことができちゃう。
 ここが数学の面白いところです。

 もう少し詳しく知りたいとお思いなら、「行列」を使った「線形代数」の初歩を勉強なさると良いと思います。近頃ではこれは確か、中学あたりから勉強する過程だったと思うな。ですから、決して分からないほどではありません。本屋で優しそうな本をじっくり探してみてください。
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この回答へのお礼

すんごい難しそうだったので「ぎゃ~」って
思いましたけど、読んでみたらとても理路整然としていて
イメージがつかみやすかったです。素晴らしいですね♪
4次元って数式にしちゃうと、こんなに簡単に表せちゃうんですね。目からウロコです☆
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:27

回答者の皆さん、アインシュタインに洗脳されていませんか?


彼は時間を長さと等価なものとして物理学の理論を構築したわけですけれど、
数学の問題として考える場合、4番目の次元が時間でなければならない理由は
全然ないはずです。
要は、タテ・ヨコ・高さと独立な量であればなんだっていいわけです。
「xxさ」という量を、勝手に定義しちゃえばいいんです。
決まった「定義」は無いと思いますが、7次元・8次元・・・いくらだって
考えられます。一般に「n次元」が考えられるわけです。
4次元以上、どれだけ次元が増えても成立するけれど、3次元の時だけはよく
分からない、なんていう命題だってあります。
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この回答へのお礼

今の一般的な次元の考え方って、アインシュタインのものだったんですか?
確かに、ranxさんみたいな自由な考えもアリですよね。
しかも、私たちの居る3次元が、実はよく分からない、なんて。
面白いなぁ♪
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:17

 回答になってませんが、おもしろい話を前に聞いたことがあります。

ちなみに論理的にまちがっているのかどうなのかよくわかりませんが・・・。
 2次元(線)をスパッと切ると、その断面は1次元(点)。そして3次元(立方体)をスパッと切るとその断面は2次元(平面)。4次元(時間)をスパッと切るとその断面?は3次元(時間ごとの立方体)。よって4次元は3次元に時間の概念がプラスされたもの。だそうです。
 なんとなくうなずける話でした。これってどうなんですかね?回答じゃなくて質問になっちゃっいました。 笑
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この回答へのお礼

おぉ~!ホントだ!☆
面白い!すごく分かりやすいし。
でも、私に質問しちゃダメですよぉ(笑)
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:13

 


  では、非常に簡単に説明します。
 
  黒板の上で、あるいはノートの上で、チョークとか、サインペンで線を引きます。チョークの先やペンの先を、「点」と考えると、点が移動すると、「線」ができるでしょう?
  次に、砂場を考えて、できりだけ細い、線のような棒を取って、これを、砂の上に押しつけ、棒に交わる方向に、砂に押しつけながら、棒を移動させるとどうなりますか? 砂の上に、四角形とか長方形の跡が残るでしょう。これが「面」で二次元です。
 
  次に、四角形でも長方形でもよいのですが、板を、その板の面に垂直な方向に移動させてみてください。この場合、跡に何も残りませんが、板が通った跡は、空間で、「立方体」になっているでしょう? これが三次元です。
 
  今度は立方体を移動させるのですが、この場合も、跡は残りません。しかし、或る位置から次々に動かせて行くのですから、通った跡に記録があるとすると、それを合計すると、ただの立方体ではなく、例えば、20cm動かした時、最初の位置から、この20cm先の位置まで移動するあいだの、色々な位置の違う立方体の記録があるということになるでしょう。このような、移動した立方体の移動の跡の全体を集めたものは、超立方体だといえ、「四次元」になります。
 
  立方体の移動というのは、実は、時間のなかで起こっているのです。
  空間のなかで立方体を移動させるのでなく、そのまま動かさないで置いたとします。しかし、午前1時に立方体をある処に置いておいて、午前2時に見に行くと、誰かが動かさない限り、そこに立方体はあるでしょう。立方体は動いていませんが、時間のなかで考えると、午前1時の立方体、1時1分のそれ、1時2分のそれ……と時間に沿って、それぞれの瞬間に立方体はあったことになります。
 
  時間は一応、幾らでも小さな時間があるので(本当はそうではないのですが)、色々な無数の時刻で、合計すると無数の立方体があったことになります。この全体が、時間を第四の次元とする、超立方体で、これは「四次元」です。
 
  空間の三つの次元に、時間の一つの次元を加え、わたしたちが生きているのは、「四次元時空」だという風に言います。
 
  5次元や6次元は、同じような考えです。4次元の超立方体を、移動させると、その移動の跡を合計すると、5次元の超立方体になり、6次元は、5次元の超立方体を移動させて、その跡を合計すると、6次元超立方体になります。
 
  三次元の立方体までは、「跡」が見えるようにできますので、見たり、触ったりできますが、それ以上の高次元の超立方体は、或る特定の「跡」しか見えません。全体を一度には見えません。頭のなかで、全体を考えてみることができるだけです。
 
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この回答へのお礼

4次元は、タテ、ヨコ、高さ、そして時間だと考えていいんですね?
5次元、6次元は全く新しい要素が加わるわけじゃなかったんですね。4次元、5次元の連続だったんだ。
頭のなかでこんなことを考えちゃう人ってスゴイなぁ☆
回答ありがとうございました!

お礼日時:2001/11/22 22:11

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Q4次元の意味

8kotaroです,宜しくお願いします.ちなみに初投稿です.
先日まで4次元とはx軸,y軸,z軸に時間軸を含むものだと思っていました.
しかし,
http://www.ffortune.net/kazu/word/s4.htm
のページを見ていて,3次元が立体と書いてあったため,わからなくなりました.
学校では時間軸も入れると習ったのですが・・・.
詳しく知っている方がいましたら,教えてやってください.

Aベストアンサー

高校程度で教えられるのはそんなものです。
本来次元軸はなにを選択しても良いのです。
線であればどんなにひん曲がっていようが基準として扱えればそれは軸になります。
次元数はその軸の数を数えたにすぎません。
例えば、動画、これはコマ毎に見れば2次元平面ですが連続再生すれば時間軸が加わり3次元としてとらえられる。
ちょうど金太郎飴の長さを時間軸に置き換えたように。
我々の目に映る物は2次元でしかなく両目の差分と経験で立体感を認識しているだけでその変化は時間に依るから3次元であるとも言えるし、実際立体が時間変化してるから4次元だとも言える。

Q4次元空間の4つのベクトルが張る空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑ c↑ d↑|≠0

4つのベクトルで張られる空間が1次元のとき、すべて平行なので、
a↑∥b↑∥c↑∥d↑

a[1]:a[2]:a[3]:a[4]=b[1]:b[2]:b[3]:b[4]=c[1]:c[2]:c[3]:c[4]=d[1]:d[2]:d[3]:d[4]

(a[1]/a[4],a[2]/a[4],a[3]/a[4])=(b[1]/b[4],b[2]/b[4],b[3]/b[4])
=(c[1]/c[4],c[2]/c[4],c[3]/c[4])=(d[1]/d[4],d[2]/d[4],d[3]/d[4])

このあと、一つの式にする、つまり、イコールを一つだけにしてきたいのですが、複雑そうです。行列式またはシグマ記号を使って、表記できないでしょうか?

4つのベクトルで張られる空間が2次元、3次元のとき、それぞれの各成分にはどういった関係式があるのでしょうか?

4次元空間にゼロベクトルでない4つのベクトルを考えます。
a↑=(a[1],a[2],a[3],a[4])
b↑=(b[1],b[2],b[3],b[4])
c↑=(c[1],c[2],c[3],c[4])
d↑=(d[1],d[2],d[3],d[4])
とします。
これらのベクトルで張られる空間が1次元、2次元、3次元、4次元である条件を求めたいのです。
各ベクトルを並べて行列(a↑ b↑ c↑ d↑)を作り、基本変形で階数を計算するというアルゴリズムではなく、各成分の代数的な関係を求めたいのです。

4つのベクトルで張られる空間が4次元のとき、超体積が0ではないので、行列式
|a↑ b↑...続きを読む

Aベストアンサー

失礼しました。
とすると、
rankA=4 |A|≠0
rankA=3 Aの3次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、|A|=0

rankA=2 Aの2次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、3次小行列式がすべて0かつ|A|=0

rankA=1 Aの1次小行列式の中に0でないものがある。
     かつ、2次小行列式、3次小行列式が0、かつ|A|=0

任意のr次小行列式を|Ar|で表しても、
rankA=1のときは、
a1*a2*a3*a4*b1*・・・*d3*d4≠0
かつ
|A2|=|A3|=|A|=0(|A2|は36通り、|A3|は9通り)
|A2|=0の条件だと、4×4の成分をaijと書いて、
Σ[i=1,3]Σ[j=2,4,i<j]Σ[k=1,3]Σ[l=2,4,k<l]|(aik*ajl-ajl*aik)|=0
とでも表記できますが、
1つのイコールではちょっときついんではないでしょうか?

Q4次元 = 3次元+時間 はウソですか?

理系の友人と話をしていた所、
「4次元 = 3次元+時間というのはウソだよ。」
と言われました。

「日本人はSFやマンガのドラえもんなどで4次元は時間だと誤解してる。
四次元空間を限りなく薄くして行った極限が三次元だ。
人間の目には三次元の姿しか写らないので、すぐ近くに四次元空間があったとしても、人間の感覚では捕らえることができない。」
というような説明を受けました。


4次元 = 3次元+時間というのはウソですか?
4番目の次元が時間でないとしたら、何なんでしょうか?
4番目の次元は人間の感覚では捕らえることはできないのでしょうか?

Aベストアンサー

>四次元空間を限りなく薄くして行った極限が三次元だ。

3次元の中で、
2次元を描くと、「鉛筆の高さ」があります。
1次元の線を引くと、炭素と鉛の元素の幅と高さがあります。

3次元の中には他次元は介入出来ません。
介入可能なのが、SFマンガや異次元ポケットです。

そこに異次元があるならば、人間の目で捉える事が出来なくても、光の干渉縞で空間の運動を捉える事が出来ます。

http://www.px.tsukuba.ac.jp/home/ecm/onoda/butsurib1/node78.html

Q【時間の概念が3次元の空間の中から飛び出る一本の矢で4次元目の時間が生み出されているっておかしくない

【時間の概念が3次元の空間の中から飛び出る一本の矢で4次元目の時間が生み出されているっておかしくないですか?】

大きい布の表面を空間として空間のど真ん中に糸を刺して下に糸を垂らして下から引っ張ると空間の表面にくぼみが生まれこのくぼみが時間ということですよね?

ということは時間は下に引っ張ったときにしか時間は出来ないってことですよね?

空間から飛び出る一本の糸を上に引っ張った場合、凹みは出来ずに凸の山が生まれる。

下に引っ張った場合は凹みが生まれるので表面の空間に置かれたボールは下のくぼみに落ちるので落ちるという動きを時間と言っている。

逆にくぼみが浮き上がった凸状の時間って存在するのでしょうか?

言っている意味分かりますか?

空間が3次元で空間のへこみが時間でこの世は4次元で時が流れる。

時間は常に下向きに物体が落ちる。

重力があっての時間。

引力の方が重力より力が強いと山が出来て時間の方向が下向きではなく上向きに流れる。

これも同じ4次元目の時間で同じってことですか?

時間が空間のへこみ、凹部分に流れる一本の流れだとは思えないんですけど。

時間は上下方向がある?

下方向のみ?

上下を貫く一本の線なのか、下方向にのみ突き出る一本の線なのか。

左右にも時間が存在するのか。

【時間の概念が3次元の空間の中から飛び出る一本の矢で4次元目の時間が生み出されているっておかしくないですか?】

大きい布の表面を空間として空間のど真ん中に糸を刺して下に糸を垂らして下から引っ張ると空間の表面にくぼみが生まれこのくぼみが時間ということですよね?

ということは時間は下に引っ張ったときにしか時間は出来ないってことですよね?

空間から飛び出る一本の糸を上に引っ張った場合、凹みは出来ずに凸の山が生まれる。

下に引っ張った場合は凹みが生まれるので表面の空間に置かれたボー...続きを読む

Aベストアンサー

>大きい布の表面を空間として空間のど真ん中に糸を刺して下に糸を垂らして下から引っ張ると空間の表面にくぼみが生まれこのくぼみが時間ということですよね?

これは重力の比喩で使われますが、時間の比喩で使うことはないですね。

あなたの記憶が混乱してしまったか、
説明した人が無理解かのどちらかだと思われます。

事象を定義するのに、空間だけでは定義できず、
時間も同時に定義しないといけないのが四次元時空間という意味であって、
時間というものが、どこか一方向に向かっているような意味ではありません。

Q4次元とは??

四次元とは何でしょうか?

4次元は縦と横と高さと時間があると調べた所出てきましたが、
3次元にも時間は存在します。

4次元の世界はどのようなものでしょうか?
4次元でしかできない事とは?人間含め動物達の容姿などは変わらないのか?


4次元について何でもいいので教えてください。
なるべく簡単二説明してくださるととても嬉しいです。


明日の宿題提出の内容にするので回答お願いいたします。

Aベストアンサー

四次元・・・時間そのものです。
空間ではありません。


かつては、空間と考えられていましたが、
現在は時間そのものが四次元と考えられています。

三次元には時間は属していないので、通り過ぎていきます。(時間の流れ)


宿題とのことですので、そこから先はご自分の考えでまとめてください。
自分でやってこそ宿題です。

Qn次元ベクトルの外積の定義

n次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか?
そもそもできるのでしょうか?外積は3次元特有のものでしょうか?

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか?
ご教授ください。

Aベストアンサー

oodaikoです。おまたせしました。

最初にお断りしておきます。一般の体K上で定義されたベクトル空間でも「テンソル」や「外積」に関する以下の話は同じように展開出来ます(いわゆる「外積代数」とか「グラスマン代数」とかいうやつ。)が、まあ話がわかりにくくなるだけだし、実用的には係数体としてRを使うことがほとんどなので、以下ではベクトル空間と言ったら、実数体R上の有限次元ベクトル空間R^nに限定して考えることにします。(それに以下で説明する「ベクトル積」の方は一般のベクトル空間ではなくR^nの場合に限って定義される特殊な演算なので、その意味でもR^nを考える必要がある)
もう一つお断りしておきます。以下で使う「テンソル」と言う言葉は、物理での「空間のひづみ」や「応力」の表現方法といったものよりもっと数学的に抽象化された概念です。たとえば物理での「力のベクトル」と数学での「体K上のベクトル空間」くらい違うものだと思って下さい。以下で使う「テンソル」はむしろ代数的なものです。添字地獄の物理テンソルを考えるより、数学的にはすっきりした議論になります。(とはいってもけっこうややこしいが)

●概要
2つのベクトルu,vの「外積」と「ベクトル積」はR^3においては同一のもの(uとvに対応して決まる3次元空間のベクトル)を表しているので、物理やベクトル解析の教科書では特に2つの言葉を特に区別せずに使っているのですが、これは本来別々の概念であり、実際4次元以上の空間では異なったものを表します。
大雑把に言えば、「ベクトル積」は文字通り「ベクトル」同士の積なのですが、「外積」の方は本来「テンソル」もっと詳しく言えばその中でも特殊な「交代テンソル」同士の積として定義されているものです。従って「外積」の結果は通常は「交代テンソル」となります。
R^nの「ベクトル」も「R^n上の1階の交代テンソル」と見なせるので当然それら同士の「外積」は定義できますが、その結果は「R^n上の2階の交代テンソル」となります。ところで「R^n上のk階の交代テンソル」も自然な方法で和とスカラー倍を定義することにより、R上のベクトル空間と見なせるので「次元」が定義できます。そして一般には「R^n上の2階の交代テンソル」のベクトル空間としての次元はnより大きくなります。
3次元でも「ベクトル=R^3上の1階の交代テンソル」の「外積」は「R^3上の2階の交代テンソル」になるのですが、「R^3上の2階の交代テンソル」はベクトル空間としてたまたま3次元になるため、3次元の場合はそれをR^3の「ベクトル」と同一視してしまうことが可能になるのです。そういう意味で「ベクトルの外積」は3次元の場合しか定義できない。と言ってもよいでしょう。

さて能書きが長くなりましたが「ベクトル積」と「外積」を簡単に解説してみます。

●ベクトル積
まず「ベクトル積」ですが、これはn次元ユークリッド空間のn-1個のベクトルに対して定義される「積」です。

まずR^nのn-1個のベクトルv_1,…,v_{n-1} に対し、R^nからRへの写像ψを次のように定めます。
ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|    (x∈R^n)
この定義でdet|v_1 v_2 … v_{n-1} x| はv_1,…,v_{n-1},xを列ベクトル(行ベクトルとしても同じですが)とする行列の行列式です。
これは明らかに線形写像なのでψはR^nの双対空間(R^n)^*の要素です。ところがご存知のように(R^n)^*の任意の要素はR^nのある要素と一対一に対応し、写像は内積で表現できますから、 R^nのあるベクトルwが存在し、任意のx∈R^nに対して
<w,x>=ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x| 
と書けることになります。

この方法で、R^nのn-1個のベクトルの組{v_1,…,v_{n-1}}に対しR^nのあるベクトルwを一意的に対応させることが出来ます。そしてこのwをv_1,…,v_{n-1}の「ベクトル積」と呼び、v_1×…×v_{n-1}と書きます。
この積が線形性および交代性を持っていること、およびv_1,…,v_{n-1}のすべてに直交していることは定義からほとんど明らかですね。

3次元の場合はこの定義が普通の教科書に載っている「ベクトル積」の定義に一致することはすぐ確かめられます。4次元の場合は行列の余因子展開を使って
(a[1],a[2],a[3],a[4])×(b[1],b[2],b[3],b[4])×(c[1],c[2],c[3],c[4])=
 
┌───────────┐
  |a[2],a[3],a[4]| 
 -|b[2],b[3],b[4]| 
  |c[2],c[3],c[4]| 

  |a[1],a[3],a[4]| 
  |b[1],b[3],b[4]| 
  |c[1],c[3],c[4]| 

  |a[1],a[2],a[4]| 
 -|b[1],b[2],b[4]| 
  |c[1],c[2],c[4]| 

  |a[1],a[2],a[3]| 
  |b[1],b[2],b[3]|
  |c[1],c[2],c[3]|
└───────────┘    
となることがわかります。(横に書くとぐちゃぐちゃになるので縦ベクトルの形で書きました)

starfloraさんの回答はおそらくこれのことを言っているのだと思います。
v_1×…×v_{n-1}がv_1,…,v_{n-1}に直交すること、積の順序により右手系と左手系が定義できることについてはまさにそのとおりです。v_1×…×v_{n-1}の長さがv_1,…,v_{n-1}の張るR^nの「超菱形超立体」の「超面積」になっていることも多分そうだと思います。(starfloraさんは「超体積」と書いていますが、R^nでn-1個のベクトルが張る図形、つまりn-1次元の図形の測度ですから、イメージ的には「面積」と呼ぶ方が良いと思います。もちろん厳密に言うなら「n-1次元ルベーグ測度」と呼ぶべきですが)

もちろんR^3以外では2つのベクトルに対して「ベクトル積」を定義することは出来ません。
ところで私が今この文章を書くためのカンニングペーパーとして使っている本(『多変数解析学-古典理論への現代的アプローチ-』(M.D.スピヴァック著,斎藤正彦訳)東京図書(1972))によれば
『普通、数学では3個以上のものの「積」を考えることは少ない。3次元のときだけ、これは2つのベクトルに対して第3のベクトルが対応することになって「積」らしくなる。この理由で、「ベクトル積」は3次元の場合に限って定義できる、と見なすことも多い』
ということなので、adeptさんの回答にある教科書の著者はおそらく「ベクトル積」のことを言っているのだと思います。
(uとvに対して、すなわち「2つの」ベクトルに対して、は3次元以外では定義されないと言っているのですから)


次は「外積」です。もうちょっとお待ち下さい。

oodaikoです。おまたせしました。

最初にお断りしておきます。一般の体K上で定義されたベクトル空間でも「テンソル」や「外積」に関する以下の話は同じように展開出来ます(いわゆる「外積代数」とか「グラスマン代数」とかいうやつ。)が、まあ話がわかりにくくなるだけだし、実用的には係数体としてRを使うことがほとんどなので、以下ではベクトル空間と言ったら、実数体R上の有限次元ベクトル空間R^nに限定して考えることにします。(それに以下で説明する「ベクトル積」の方は一般のベクトル空間ではな...続きを読む

Q4次元版 正四面体 の展開図

教えてください。
小5のこどもが、「4次元って 立体+時間なんでしょ?」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな?」と返してやりました。で、「4次元の立方体の展開図は立方体が8つくっついたものに違いないのではないか?」(これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。)と言ったら、数日後に「4次元の正四面体の展開図は 3次元の正四面体の4つの面に3次元の正四面体がくっついたものでしょ?だって、三角形を展開すると 辺が3つ、正四面体を展開すると 面が4つ、なら 4次元版正四面体を展開すると 立体が5つになるはず」と言ってきました。その後「なんで、球(面)は平面に展開できないのに、円(周)は線にできるんだろう?4次元の球は 3次元に展開できるのかな?」と質問してきました。もう、私は答えられません。参考文献などありましたら紹介してください。
私は、理系ですが 数学・物理は専門ではありません。
親の威厳を保つためではなく、単にこどもの疑問に答えたいと言う状況です。
よろしくお願いします。

教えてください。
小5のこどもが、「4次元って 立体+時間なんでしょ?」なんて 生意気なことを聞いてきたので、「時間って決まってないんじゃないかな?」と返してやりました。で、「4次元の立方体の展開図は立方体が8つくっついたものに違いないのではないか?」(これは ネット上にあったページの受売りで 私はきちんとわかっていない状況です。)と言ったら、数日後に「4次元の正四面体の展開図は 3次元の正四面体の4つの面に3次元の正四面体がくっついたものでしょ?だって、三角形を展開すると 辺...続きを読む

Aベストアンサー

三次元での多面体に相当するものを、高次元では多胞体と呼びます。
四次元で胞数が最小の正多胞体が正5胞体というのはあっています。
(参考URL)

「展開」の意味が質問者さんとNo.2さんとで違っているように思います。
三次元球以上の表面ではリーマンの非ユークリッド幾何に相当するものが
成り立ちます。平面上ではユークリッド幾何が成り立ちますから、前者の
形を変えずに後者に移すことは不可能です。

参考URL:http://hp.vector.co.jp/authors/VA030421/fdd03.htm

Q二次元ベクトルが平面空間を生成する定義

c1とc2はRを変域とする。xはR×Rを変域とする変数とする。
「すべてのxについて『あるc1とc2について x=c1v1+c2v2』」
が成り立つとき、v1,v2はR×Rを生成する。

質問なんですが、
1、
v1=(1,-2) v2=(-2,4)はR×Rを生成しないことを証明する場合、
x=c1(1,-2)+ c2(-2,4)=(c1-2c2,-2c1+4c2)=(x1,x2)
c1とc2の連立方程式
c1-2c2=x1 かつ -2c1+4c2=x2
を満たすc1、c2は存在しない。
で解答は合ってますか?
2、
また、c1,c2についてなんですが、
これはc=(c1,c2)∈R×Rを分解したものなんでしょうか?

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

そうです。
そのような「あるx」が存在することを示すには、
x の実例をひとつ、挙げて見せればよいのです。

Q3次元と4次元

ドラえもんみたいに、3次元空間にいながらにして、手だけ4次元空間に進入するというのは理論的に可能なんですか?
それから、そもそも4次元というものは存在するんでしょうか。 また、どうしたら存在することを証明できるんでしょうか。
また、4次元が存在する場合、どうしたら我々3次元に生きる生物は4次元を体感できるんでしょうか。
お願いします。

Aベストアンサー

こんばんは回答します。
(1)手だけ4次元空間に侵入できるかどうか良くわかりません。
(2)3次元以上の多次元は存在します。
X,Y,Xのベクトルにもうひとつのベクトルを加えたものが4次元となります。この4次元の点をXY軸中心に回転すると4次元の面が出来ます。この面積を求めることが出来ますので、4次元面の面積を求めることが出来ます。
次に、この4次元の面を任意のX点中心に回転させると4次元の立体が出来ます。この体積も求めることが出来ます。
このような数学を位相幾何学といいます。
なぜこのような数学が必要かといいますと、宇宙空間は曲がっているため、ロケットの軌道計算で必要となるからです。
2次元のである下敷きを折り曲げると立体となり3次元の物体となるという例がわかりやすいでしょうか。空間が曲がるということは、3次元以上の次元となりますので、実際に多次元は存在します。
空間が曲がっていることは、大きな重力の側を通る光が曲がることから発見されました。
アインシュタインの一般理論では光は直進する、最速であるということが定理です。光が曲がるということは空間が曲がっていると理解されるのです。

こんばんは回答します。
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次に、この4次元の面を任意のX点中心に回転させると4次元の立体が出来ます。この体積も求めることが出来ます。
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なぜこ...続きを読む

Q次元の定義として正しいですか?

様々なサイトにて「次元」の定義見たのですが、そこから僕なりに次元を定義してみました。
以下の定義と具体例は正しいですか?

定義:「独立した変数の個数のことで、その変数の個数によりn次元とよぶ。また、空間の広がりをあらわす一つの指標であり、ある空間内で唯一の場所や物指ししめすために、必要な変数の個数といえる。」

具体例:「縦と横と高さのある物体は、三つの独立した変数(縦、横、高さ)があるから3次元。そして、縦と横と高さという変数にそれぞれ10を代入すると、ある空間内で正六面体を表すことができる」

Aベストアンサー

こんにちは!

私なりに添削してみます。

定義1.(広義の「次元」)
独立した変数の個数のことで、その変数の個数によりn次元とよぶ。

定義2.(空間の次元)
空間における、互いに垂直な3方向(x、y、z)。それをもって三次元とする。
時刻 t も入れて四次元(x、y、z、t)とすることもできる。

定義3.(物理の次元)
長さ(m)、質量(kg)、時間(s)、温度(K)を基本とした、互いに独立した量・単位。

具体例:
(「縦と横と高さ」という説明では直方体以外の立体図形を表現できません)
ある物体について、任意の座標(x、y、z)の点において、そこが物体の内部(または境界)か外部かが必ずわかっているとき、その物体の形や寸法は三次元で表せていることになる。
x、y、zの3つのうち、どれか一つだけが欠けていても、立体図形を表すことができない。
したがって、立体図形は(最低でも)三次元でなければ表せない。


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