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次の積分を求めよ。
(1)
D={(x,y):0≦y<x≦1}のときの∬_D(1/√(x-y))dxdy

(2)
E={(x,y):0<x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx

という二つの問題についてですが、解答を見て(1)についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、(2)についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。
これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0<xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか?また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか?(この問題に関して)
まだ何題かしか解いていないのでイマイチ範囲の取り方がつかめません。何かポイントがありましたらアドバイスよろしくお願いします!

A 回答 (4件)

#1,#2です。


A#2に補足質問についての回答

>「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy<x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...

厳密に言えば等号を含まない場合の積分の上限、下限では極限を取らないといけないことはおっしゃる通りです。ただし、積分が発散しないような場合は、極限を取らなくても積分結果は極限をとった場合と同じ積分結果が正しく求まりますね。

極限を取らない場合の積分の考え方
ステップ1)
0≦y<1の範囲の任意のyを固定して
xで積分するわけです。
ここではxについての積分ですのでyは定数になります。
xの積分範囲はy<x≦1から[y→1]ですね。
厳密に言えばy<xで等号を含んでいませんのでxの下限はyでないですが
∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=2√(1-y)となります。

ステップ2)
今度は0≦y<1から積分範囲は[0→1]
∫[0→1]2√(1-y)dy=4/3

となります。

>ちなみに(2)も極限を取るにせよ結局は積分しなければ進めませんよね?

そうですね。積分を少し工夫しないといけませんね。
多分、ヤコビアンを使って変数変換をしないといけませんね。少し考えて見ましょう。

ただし、それが出来れば
∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
からも計算できてしまいますね。
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この回答へのお礼

よく分かりました!ありがとうございます!

お礼日時:2005/10/26 17:18

No1,2,3です。


A#3のつづきの補足です。

(2)の1/nを使わない方の重積分ですが、
(1/nを使った積分にも適用可能でしょう)

I=∫[0→1]dy∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
H=∫[0→y]{1/√(x^2+y^2)}dx
とおいておきます。

Hの積分で0<x≦y≦1から(この積分ではyは0<y≦1の範囲の定数)
x=y tanθとおくと
xの積分範囲[0→y]はθの積分範囲[0→π/4]に変わります。
dx=y dθ/(cosθ)^2
1/{1/√(x^2+y^2)}=1/[y√{(tanθ)^2 +1}]=(1/y)cosθ
であることから
H=∫[0→π/4](1/cosθ)dθ
=log[{1+tan(θ/2)}/{1-tan(θ/2)}][0→π/4]
=log[{1+tan(π/8)}/{1-tan(π/8)}]
=log(1+√2)

I=∫[0→1]{log(1+√2)}dy
=log(1+√2)
となりました。
(ヤコビアンを使って変数変換しないで済みました。)

1/nで極限を取る方法で
上記の積分法を適用しみて積分値が同じになるか確認してみてください。
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#1です。



>>D_nを導入いなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3 で積分の計算できます。
>なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか?

被積分関数が積分可能な関数だからです。
(2)の方はできませんね。√中にx^2の項があるためです。

>解答では確かにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}としていて計算のときも∫[1/n→1]dy∫[0→y](1/√(x^2+y^2))dxとして計算していました。これは誤植ということでしょうか?

誤植ですね。

この回答への補足

>なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか?
>>被積分関数が積分可能な関数だからです。
(2)の方はできませんね。√中にx^2の項があるためです。

何度もすみません。質問の仕方が悪かったです。「D_nを導入しなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3計算できます」と計算できるのは分かりますがここでxの積分範囲は[y→1]となっていてy<x≦1と合わないのでやはりD_nを導入して極限を使わなければダメな気がするのですが...
ちなみに(2)も極限を取るにせよ結局は積分しなければ進めませんよね?

>誤植ですね。
ありがとうございます。

補足日時:2005/10/24 21:10
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>解答を見て(1)についてはDをD_n={(x,y):1/n≦x≦1,0≦y≦x-(1/n)}とすればよいというのは分かったのですが、



この仮定で積分を実行し、積分結果においてn→∞としてもいいです。

D_nを導入いなくても
∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3
で積分の計算できます。
(先ずxで積分し、その後、yで積分します。)

>E={(x,y):0<x≦y≦1}のときの∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdx

∬_E(1/√(x^2+y^2))dxdy
のミスですね。

>(2)についてはE_nを決めることが出来ません。解答には「E_nを右図のようであるとする」と書いていたのですが図は明らかにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}となっていました。
>これでは最終的にn→∞としても最初の条件である0<xが満たされないのでダメなように見えるのですがこれでよいのでしょうか?

●E_n={(x,y):1/n≦x≦y,1/n≦y≦1}として、n→∞とする。
の間違いですね。

>また解答のように図で示すのではなく上に書いたような不等式で示すにはどのように書けばよいのでしょうか?(この問題に関して)

回答者に見えない図のことを書かれてもコメントできません。

この回答への補足

>D_nを導入いなくても∫[0→1]dy∫[y→1](x-y)^(-1/2)dx=4/3 で積分の計算できます。

なぜD_nを導入しないで積分計算できるのでしょうか?

>●E_n={(x,y):1/n≦x≦y,1/n≦y≦1}として、n→∞とする。の間違いですね。

これなら私も納得できるのですが解答では確かにE_n={(x,y):0≦x≦y,1/n≦y≦1}としていて計算のときも∫[1/n→1]dy∫[0→y](1/√(x^2+y^2))dxとして計算していました。これは誤植ということでしょうか?

補足日時:2005/10/24 18:21
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Q重積分の広義積分の問題です。

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∬D e^(-x-y)dxdy
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∬1/√(x^2+y^2)dxdy ,D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦1}
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I=∬[D] 1/(x^2+y^2)^(1/2)dxdy
t=x/yと置くと
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=∫[0,1] dy [asinh(t)] [t:0,1/y]
=∫[0,1] asinh(1/y) dy
=[y*asinh(1/y)+(1/2)log{√(1+(1/y)^2)+1}-(1/2)log{√(1+(1/y)^2)-1}] [x:0,1]
=asinh(1)+(1/2)log{(√2+1)/(√2-1)}-lim[y→+0] y*asinh(1/y)
+(1/2)lim[y→+0]log[{√(1+(1/y)^2)-1}/{√(1+(1/y)^2)+1}]
=log(1+√2)+log(√2+1)-0 +(1/2)lim[y→+0]log[{√(y^2+1)-y}/{√(y^2+1)+y}]
=2log(1+√2) + log(1)
=2log(1+√2) +0
=2log(1+√2)

【注】逆双曲線関数:asinh(x)=log{x+√(1+x^2)}, asinh(1)=log(1+√2)
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I=∬[D] 1/(x^2+y^2)^(1/2)dxdy
t=x/yと置くと
=∫[0,1] dy ∫[0,1/y] 1/(1+t^2)^(1/2) dt
=∫[0,1] dy [asinh(t)] [t:0,1/y]
=∫[0,1] asinh(1/y) dy
=[y*asinh(1/y)+(1/2)log{√(1+(1/y)^2)+1}-(1/2)log{√(1+(1/y)^2)-1}] [x:0,1]
=asinh(1)+(1/2)log{(√2+1)/(√2-1)}-lim[y→+0] y*asinh(1/y)
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Q広義二重積分、三重積分

次の広義積分を求めよ。

(1)∬D 1 / ( x^2 + y^2 )^(α/2) dxdy
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(2)∫∬v (√x^2+y^2+z^2) / ( 1 + x^2 + y^2 + z^2 )^3 dxdydz
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(2)の範囲は、V:x >= 0, y >= 0, z >= 0 と書かれてあるので、
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Q【三重積分】球の体積の求め方

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2重積分の変数変換の範囲についてです。

∬f(x,y)dxdy=∬f(φ(u,v),ψ(u,v))|J|dudv
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たとえば、
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0≦x≦2,0≦y≦x
となっていたら、
0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
を解けばいいんですよね?

答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
uの範囲は理解できますが、vの範囲(v≦1の部分が)がどうしてこうなるのかがわかりません。

同様にx=u+v,y=u-v
0≦x≦2,0≦y≦2-x

0≦u≦1,-u≦v≦u
のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。

教えてください。

Aベストアンサー

>0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
>を解けばいいんですよね?
その通り。でも

>答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
は間違い。

uをx軸(横軸)、vをy軸(縦軸)にとって(u,v)の存在領域を図示すれば
積分領域が明確に分かるかと思います。
正解:「v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1」及び「(2/u)-1≦v≦u,-2≦u≦-1」

>同様にx=u+v,y=u-v
>0≦x≦2,0≦y≦2-x
>で
>0≦u≦1,-u≦v≦u
>のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。
0≦u+v≦2,0≦u-v≦2-u-v
をuv平面に描くと領域が図の斜線の領域になります。式で書けば
0≦u≦1,-u≦v≦u

Qe^(-x^2)の積分

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか?
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eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

Aベストアンサー

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
...続きを読む

Q広義積分について

広義積分 ∫1 -1 (1+x)^1/3 dx の値を求めよ。

また広義積分と定積分の違いはなんですか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

積分の範囲の書き方が間違い。その書き方では通用しません。
このカテを定積分で検索し他例にならって正しい書き方を憶えてください。

>広義積分 ∫[-1, 1] (1+x)^(1/3) dx
これは広義積分ではありません。
単なる定積分です。

∫[-1,1] (1+x)^(1/3) dx=[(3/4)(1+x)^(4/3)][-1,1]
=(3/4) 2^(4/3)=3 (2^(-2)) 2^(4/3)
=3/2^(2/3)

広義積分は
定積分の中の特殊な積分で、積分値は存在するが、積分範囲の上限または下限で、
[1] 被積分関数が未定義である定積分や
[2] 被積分関数の原始関数が不定形となる定積分
のことを特に広義積分といいます。このとき原始関数に積分の下限や上限を代入する際は
極限(limit)をとります。

広義積分の例
∫[0,1] log(x) dx=[xlog(x)-x][0,1]
=1-0*(-∞) ← 不定形
広義積分なので
=lim[x→1-0](xlog(x)-x)-lim[x→+0](xlog(x)-x)
=-1-lim[x→+0] xlog(x)
=-1-lim[x→+0] log(x)/(1/x) ←不定形なのでロピタルの定理適用
=-1-lim[x→+0] (1/x)/(-1/x^2)
=-1-lim[x→+0] (-x)
= -1 ←(答)

積分の範囲の書き方が間違い。その書き方では通用しません。
このカテを定積分で検索し他例にならって正しい書き方を憶えてください。

>広義積分 ∫[-1, 1] (1+x)^(1/3) dx
これは広義積分ではありません。
単なる定積分です。

∫[-1,1] (1+x)^(1/3) dx=[(3/4)(1+x)^(4/3)][-1,1]
=(3/4) 2^(4/3)=3 (2^(-2)) 2^(4/3)
=3/2^(2/3)

広義積分は
定積分の中の特殊な積分で、積分値は存在するが、積分範囲の上限または下限で、
[1] 被積分関数が未定義である定積分や
[2] 被積分関数の原始関数が不定形となる定積分
...続きを読む

Q三重積分の解き方

問題は

D:x^2+y^2+z^2≦a^2(但しaは正の定数)
とするとき、
∫∫∫D 1/(x^2+y^2+(z-2a)^2)dxdydz
の値を求めよ。

です。

積分の仕方が少しわかりませんでした。
一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。
もしわかる人がいましたら教えてください。

Aベストアンサー

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθの積分をやります.
いい具合に t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθがちょうど分子にあります.
したがって,本質は ∫dy/(by-c) のタイプの積分で,
(2)  (1/2)πr {log(2a+r) -log(2a-r)}
あとは(2)を r について 0 から a まで積分すればよく
(本質的には ∫y log (by+c) dy のタイプの積分),
(3)  2πa{1 - (3/4) log(3)}
が最終的結果です.

本質的に難しい積分はありませんが,
項をまとめたりするときに私が計算ミスをしている可能性もあります.
チェックもよろしく.

半径 a の球内についての積分ですから,極座標を使う一手でしょう.

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として,積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから,被積分関数を r,θ,φ で表して,結局
(1)  ∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります.
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)  2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればOKです.
先にθ...続きを読む

Q大学教員は修士論文をどのくらいのレベルを求めていると思いますか?

まだ修士の学生ではないですが、大学教員は学生の修士論文はどのくらいのレベルを求めているのでしょうか?
修士を修了しても大学教員から見たらまだまだ半人前なのでしょうかね?東大・京大生なら活発に教員と議論できるぐらいのレベルの学生はいそうですけどどうなんでしょうか。教えてください

Aベストアンサー

修士論文を見たがる人は少なく、ネットで論文検索できる博士論文じゃあないのだから、何か適当にページ数のある論文を書いてくれればOKと思っていますよ。

共研でいろいろ見ていますが、東大だって京大だってレベルはしれています。先輩の論文を半分以上写してパクッているのがいっぱいあります。この人は何をしたのって聞きたいくらいのが。
逆に地方大でも優秀な論文書いている人いっぱいいます。

修士論文程度なら本人の努力次第が非常に出ていて、本人が頑張ったかどうかだけです。