半径がaの金属の筒とbの金属の筒があってその間の半径rの場所の電位を求める
という問題なのですが(a<r<b)電荷は単位長さあたりσCで筒は重ねてある状態です。上から見ると◎こんな感じ。
半径の小さい方が+大きい方が-なので力線は中から外へでていると思います。
長さ方向は上が+です。一般的に電位E=Q/4πε0r^2
これにQ=断面の全電荷として断面積πr^2をかけて筒の長さをl(エル)としてかけて
E=Ql/4ε0 としたんですがσをどう使えばいいのかわかりません。
この考え方自体あっているのかもわかりません。
教えてください。お願いします。

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A 回答 (4件)

> 電荷が円筒の表面のみに存在するので円筒の上下は考えなくて良い


間接的にはそうですが,側面では En≠0 であるのに対し,
上下底面では En = 0 だからです.

> Enは電場の垂直成分
そのとおりですが,面積分の面素に対して垂直と言う意味です.念のため.

> 点電荷が作る電荷の式
点電荷が作る【電場】の式,ですね.ミスタイプと思いますが.
もちろん,求めようとする電場は E=Q/4πε0r^2 ではないわけです.
> 一般的に電位E=Q/4πε0r^2
を見ると,電荷の配置などに関係なくいつでも電場は E=Q/4πε0r^2
だと思っているような印象を受けますが,そこらへんは大丈夫でしょうか?

> 電場と電位の関係はV(電位差)=E(電場の強さ)×d(距離)  E=V/d
E が空間の場所によらないならこれでいいですが,
距離 d の間に E が変化したらどうします.
(大体,E が場所によらないなんて,極めて特別な状況です)
こういうときはいつも積分が出てきますね.
長方形の面積なら (幅)×(高さ) でいいですが,幅の間に高さが変化したら
どうします?
高さを f(x) としたら ∫{a~b} f(x) dx で面積が求められますよね.
今も同様の話です.
これが,saikoro さんの
> さあ、これでガウスの法則を適用させて、積分すると...
の意味です.
電場の線積分が電位と結びついていたはずです.
ついでに電位の基準点はどこに取るんでしたっけ.
標準的取り方が可能な場合と不可能な場合とがあります.

それから,質問で
> これにQ=断面の全電荷として断面積πr^2をかけて筒の長さをl(エル)としてかけて
とありますが,ガウスの法則の積分は面積分ですよ.
体積積分と誤解していませんか?

そもそも,ガウスの法則から直接電場を出そうというのは普通はできない話です.
ε_0 ∫E_n dS=(閉曲面sにある電荷の和)
ですから,勝手に閉曲面を決めたら電場の積分値がわかるだけです
(右辺は計算できる).
求めたいのは,空間座標の関数としての電場です.
積分値しかわからないんじゃ,関数形はわかりません.
∫{0~1} f(x) dx = 1 から f(x) を決めようがないのと同じことです.
ところが,対称性の事情により,
左辺の積分が単に表面積を掛けるだけに帰着される場合は
電場を求めることが可能です.
そこらへんの理解は大丈夫ですか?

テキストにガウスの法則の例題がありませんか?
無限に長い直線上に一様な線密度で電荷が分布している話などありませんか?
なかったら,図書館などでテキストをいくつか探してみてください.,
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この回答へのお礼

色々ご親切に有難うございました
ε0∫Ends=ε02πrlE=σl
E=σ/(2πrε0)となりました

まだまだわからないのでわかるように頑張りたいと思います

お礼日時:2001/11/28 21:23

私も誤解をしておられると思います.


では,私はチェックポイントを.

○ 電場(電界)と電位を混同していませんか?
○ 電場の E(ベクトル量) と E_n の区別はついていますか?
○ ガウスの法則は閉曲面について成立するのもです.
  だから,円筒だったら上下底面も本来考えなくてはいけないのですが,
  今の場合に考えなくていい理由は大丈夫ですか?
○ E=Q/4πε0r^2 とはどういう場合の何についての式ですか?
  今の場合に適用できるのですか?
○ 金属(導体)に電荷を与えたとき,電荷はどこに存在しますか?
○ 電場から電位を求めるのはどうするんでしたっけ?
  また,電位から電場を求めるには?
○ σは電荷の線密度,面密度,体積密度,どれですか?

以上のあたりに注意して,テキストを熟読してください.

私も大学で電磁気関係の授業をよく持っていますが,
ある式が一般的に成立する式なのか,
それとも特別な場合の式なのか,
そこら辺の認識が不十分な学生さんが多いようです(電磁気に限らないが).
話の組み立てを理解せずに式だけテキストから拾ってくるようなことに
なっていないでしょうか?

この回答への補足

○電場は静電気力のはたらく場
電位は電場に置かれた正電荷の持つ位置エネルギー
○電場のEは電場の強さと向きを表す
Enは電場の垂直成分
○電荷が円筒の表面のみに存在するので円筒の上下は考えなくて良い
○点電荷が作る電荷の式
○金属の表面に存在
○電場と電位の関係はV(電位差)=E(電場の強さ)×d(距離)
 E=V/d
○σは線密度
だと思います

補足日時:2001/11/25 01:05
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勘違いしておられるようなので、ヒントだけ。



> ∫Ends=(閉曲面sにある電荷の和)

電荷が存在するのは筒表面だけですよね。
だからa<r<bの閉曲面ではQ=σlと思います。

> 円柱の側面しか考えなくて良いんですね

閉局面の面積は2πrl、電荷はσl
すなわちlは関係ありません。

さあ、これでガウスの法則を適用させて、積分すると...
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この回答へのお礼

有難うございました
理解できるよう頑張ってみます

お礼日時:2001/11/28 21:24

いろいろ誤解をしておられるようです。


電磁気の教科書のガウスの定理あたりを良く読んでみてください。

この回答への補足

ガウスの定理とガウスの法則というのがあるんですが,教科書を読んでもよくわかりません。閉曲面を半径rの場所で考えたとして…円柱の側面しか考えなくて良いんですね?上と下は考えなくて良くて、ε0∫Ends=(閉曲面sにある電荷の和)とすると電位はlε0∫Ends/2ε0rですか?

補足日時:2001/11/23 17:04
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Aベストアンサー

 高校物理では等加速度運動に限定するため、ma=Fという式をよく用いますが、ご承知の通り、それは微分方程式m・d^2r/dt^2=Fの特別な場合です。

 m・d^2r/dt^2=Fは、実は物凄い式です。Fも時刻変化するため、m・d^2r/dt^2=F(t)と書いておいた方がいいかもしれません。また、速度vも考えると、m・d2v/dt=Fです。なお、vもrもベクトルです。

 その式が何を意味しているかといえば、「質量mの物体と位置、物体にかかる力の関係式」ということです。つまり、どんな時刻でもいいので物体の位置が分かり、物体にかかる力がどんなものか分かれば、物体の運動を無限の過去から未来永劫に渡って知ることができる、ということです。

 物体にかかる力は、直接の接触、重力、電磁気力しかありません(ただし、ニュートン力学や電磁気学のマクスウェル方程式が最終的な真理と思われていた19世紀末頃の知見)。それらは、質量や電荷が分かればどれだけかは厳密に確定します。つまり、どんなときにどれだけの力を及ぼすかは分かるわけです。

 そうすると、「どんな時刻でもいいので、全宇宙の粒子の種類と位置さえ分かり、無限の計算能力があれば、宇宙全体を無限の過去から永劫の未来に渡って知ることができる」ということになります(そうできる存在を想像して「ラプラスの悪魔」と呼んだりする)。

 そのことを言い換えると、この宇宙で起こることは全て確定している、宇宙のどこでも、いつでも、どんなことが起こるかは、宇宙が誕生したときに全て決まっている、ということになります。

 こうして回答を書いているのも、質問者様が疑問に思って質問されたことも、宇宙誕生のときから決まっていた、ということです。そうなっているという考え方を「決定論」と呼びます。

 微分方程式m・d^2r/dt^2=Fは、そういうことまで言っている式なのです。

 微分方程式による物理学は、電磁気学で威力を発揮しました。電荷の間に電磁気力が働く、という考え方を遠隔作用説と呼びます。微分方程式ではない簡素な式で物理現象を記述できます。それを「電荷の周りに電磁気的な場ができる」と考えるのを近接作用説といい、微分方程式による記述になります。

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 遠隔作用説の微分方程式でない数式は二つ以上の物体を不可分として扱わねばなりません。数式は簡素でも、物理学的には複雑なことを表しています。一方、近接作用説で考えて出てくるのは微分方程式という見た目は複雑な数式ですが、数式が表しているのは一つの物体についてであり、内容的には簡素です。近接作用説は物理現象を、遠隔作用説より細かく分解して記述しているといえます。

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P.S.

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Aベストアンサー

#1さんの回答に賛成です。
ただ、ω が与えられているので、 r は不要です。

 粒子が円周上の1点を単位時間に通過する回数
= 単位時間あたりの回転数
= ω / 2π.
電流はこれに q を乗じたものになります。

Q平面電荷と点電荷の作る電位

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/deni2.pdf

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/staticelectricity.pdf

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、
電荷の上で電位がゼロで、電荷から離れるに従って電位はマイナス無限大に発散するということになります。

なぜ、平面電荷の場合で、電荷の上で電位がゼロになるのかということと、
距離無限大で電位が無限大に発散するのかということが理解できません。

点電荷上で電位が無限大になるのであれば平面電荷であっても同様に無限大になり、
遠い距離では同様に電位はゼロにならないのはなぜでしょうか?

電場を積分することで電位が得られ、平面電荷の場合には電場が距離によらず
一定であるために、このようなことが起きることは数式的には理解できるのですが
直感的に理解することができません。

どなたかわかりやすい説明をよろしくお願いいたします。

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~masiyama/ube-k/deni2.pdf

ここのページにありますように
点電荷が作る電位は

V = Q / εr

で表されます。

一方で、点電荷を平面状に並べることで作られる平面電荷による電位は

http://www2.ipcku.kansai-u.ac.jp/~saitoh/parts/lectures/staticelectricity.pdf

ここの5ページにありますように

-σr / 2ε

で表されます。

つまり、点電荷の場合、電荷の上で電位が無限大で、
電荷から離れるに従って電位はゼロになるということになります。

一方で、平面電荷の場合には、...続きを読む

Aベストアンサー

Quarks さん:
> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準にしても、
> はたまた別の適当な位置を基準にとっても構わないわけです。

電位の基準点はどこにとっても構わないのは Quarks さんのおっしゃるとおりです.
(可能ならば)基準点を無限遠にとることについては
無限遠はどこから見ても無限遠なので,
たとえば点電荷が2個あったときに共通の基準点に取れることが極めて大事です.
点電荷から 1 [m] の点を基準点にするというような約束をしたら,
2個の点電荷があったときに違う基準点で電位を測ることになりますから,
基準点の調整が必要になります.

なお,電場の線積分を無限遠まで延ばして積分が収束しても無限遠を基準点に取れるとは
限りません.
例えば,x=+a (a>0) に一様な面密度 +σ(σ>0)の平面電荷があり,
x=-a に一様な面密度 -σの平面電荷がある,という場合,
x → +∞ の無限遠点と x → -∞ の無限遠点とでは電位が 2aσ/ε_0 だけ違います.

Quarks さん:
> 電位は、基準点をどこに取るかで、違った値を持ちます。
> 無限遠点を基準に取ることが多いですが、これは、有限の大きさを持った電荷が有るとき、
> その電荷から無限の距離離れた地点では、その電荷の影響は無くなる、
> ということと関連させて、影響が無いなら、そこを電位が0とすると、
> 何となくスッキリするだろう、くらいの意味でそうするに過ぎないのではないでしょうか。
> 繰り返しますが、基準点はどこに取っても問題ないのなら、
> 無限遠点を基準にしても、電荷の有る位置を基準...続きを読む


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