x^3=36 という方程式があります。どのとうに解いたらいいかわかりません。
どうぞ、教えて下さい。

A 回答 (8件)

siegmund です.


No.7 の回答,ちょっとミスタイプしちゃいました.

(1)  y^3 = 1  ⇔  y^3 - 1 = 0  ⇔  (y-1)(y^2+y-1) = 0
の最後の式は
(y-1)(y^2+y+1) = 0
です.
後の方には影響はありません.
お詫びして訂正します.
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siegmundさんにご出場頂いて、この欄も解決しました。



 間違いご指摘頂き有難う御座いました。全く気がつきませんでした。思い込みとは恐ろしいものです。以後気をつけるようにします。

質問者のvikkyiさん、御免なさい!
しかし、皆さんのご回答でご理解できましたか?
解らない所があいましたら補足して下さい。

では。
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brogie さんの回答はスマートですが,ちょっと手がすべってしまわれたようです.


36 の3乗根ですから,6ではありませんね.
kony0 さんの表現のように 36^{1/3} と書くより仕方がないでしょう.
近似値は kony0 さんの書かれているとおり.

x^3=36 で,x = 36^{1/3} y と置き換えれば,元の方程式は
(1)  y^3 = 1  ⇔  y^3 - 1 = 0  ⇔  (y-1)(y^2+y-1) = 0
になりますから,結局1の3乗根の問題に帰着され,
解は
(2)  y = 1,-1/2±i√3/2
です.
この複素解を通常ωと書いていて,これが kony0 さんの表現です.
複素解のうちどちらをωと書いてもOKで,
もう一方の複素解はω^2 になります.
brogie さんの表現なら,ωとω^2 は
cosθ + i sinθ の θ=2π/3,4π/3 になっています.
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この問題は関数論のところで解きます。


ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=(cosnθ+isinnθ)
オイラーの公式
(re^iθ)^n=r^n*e^(inθ)
を用いて解きます。

答えは、
x1=6
x2=6(-1/2+i√3/2)
x3=6(-1/2-i√3/2)
となります。

検算して見て下さい。
x1^3=36
x2^3=36
x3^3=36
となります。
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虚数の解がもちろんありますよね。



複素関数論的に結構やっかいですよね。

途中、複素数におきかえないと解がえられない。
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すいません、#2の訂正を・・・



(一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する)というところ。
t-f(t)/f'(t)ですね。

ごめんなさいぃ~
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このxは「36の3乗根」と呼ばれるものです。


ざっというと、3^3=27,4^3=64なので、「3とちょっと。」であると予想できます。

0. 高校生の、ペーパーでの試験の場合
36^(1/3)、36^(1/3)*ω、36^(1/3)*ω^2。(ωは1の3乗根)と答えればいいでしょうか?

1. Excel、関数電卓、プログラミングなどが利用できる場合
36^(1/3)を計算してみてください。3.3019・・・と即座に出てきます。

2. 普通の電卓しかない場合
ニュートン(・ラフソン)法による方程式の解法を用いるのがよさげです。
http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanar …
f(x)=x^3-36として、f(x)=0の解を求める。
Step1. 解に近い適当な数を考える。(ここではt=3としましょう)
Step2. いまあるtの値に対して、2t/3 + 12/t^2 を計算する。(一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する)
Step3. tとStep2.の計算値を比較して、差が十分小さければその値が答えなので終わり。そうでなければStep2.の計算値をtとしてStep2.に戻る。

この問題では初期値をt=3とするとStep.2を4回ほど繰り返せば8桁程度の精度、6回で14桁の精度で答えが得られます。

ただし、メモリの使い方を駆使するか「紙に手書きメモリ(^^;)」を使うなど、けっこう骨は折れますが。

参考URL:http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanar …
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x^3-36=0


として
q=-36としてカルダノの3次方程式の解の公式でもとめてはいかがでしょうか。
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