x^3=36 という方程式があります。どのとうに解いたらいいかわかりません。
どうぞ、教えて下さい。

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A 回答 (8件)

siegmundさんにご出場頂いて、この欄も解決しました。



 間違いご指摘頂き有難う御座いました。全く気がつきませんでした。思い込みとは恐ろしいものです。以後気をつけるようにします。

質問者のvikkyiさん、御免なさい!
しかし、皆さんのご回答でご理解できましたか?
解らない所があいましたら補足して下さい。

では。
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siegmund です.


No.7 の回答,ちょっとミスタイプしちゃいました.

(1)  y^3 = 1  ⇔  y^3 - 1 = 0  ⇔  (y-1)(y^2+y-1) = 0
の最後の式は
(y-1)(y^2+y+1) = 0
です.
後の方には影響はありません.
お詫びして訂正します.
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brogie さんの回答はスマートですが,ちょっと手がすべってしまわれたようです.


36 の3乗根ですから,6ではありませんね.
kony0 さんの表現のように 36^{1/3} と書くより仕方がないでしょう.
近似値は kony0 さんの書かれているとおり.

x^3=36 で,x = 36^{1/3} y と置き換えれば,元の方程式は
(1)  y^3 = 1  ⇔  y^3 - 1 = 0  ⇔  (y-1)(y^2+y-1) = 0
になりますから,結局1の3乗根の問題に帰着され,
解は
(2)  y = 1,-1/2±i√3/2
です.
この複素解を通常ωと書いていて,これが kony0 さんの表現です.
複素解のうちどちらをωと書いてもOKで,
もう一方の複素解はω^2 になります.
brogie さんの表現なら,ωとω^2 は
cosθ + i sinθ の θ=2π/3,4π/3 になっています.
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この問題は関数論のところで解きます。


ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n=(cosnθ+isinnθ)
オイラーの公式
(re^iθ)^n=r^n*e^(inθ)
を用いて解きます。

答えは、
x1=6
x2=6(-1/2+i√3/2)
x3=6(-1/2-i√3/2)
となります。

検算して見て下さい。
x1^3=36
x2^3=36
x3^3=36
となります。
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虚数の解がもちろんありますよね。



複素関数論的に結構やっかいですよね。

途中、複素数におきかえないと解がえられない。
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すいません、#2の訂正を・・・



(一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する)というところ。
t-f(t)/f'(t)ですね。

ごめんなさいぃ~
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このxは「36の3乗根」と呼ばれるものです。


ざっというと、3^3=27,4^3=64なので、「3とちょっと。」であると予想できます。

0. 高校生の、ペーパーでの試験の場合
36^(1/3)、36^(1/3)*ω、36^(1/3)*ω^2。(ωは1の3乗根)と答えればいいでしょうか?

1. Excel、関数電卓、プログラミングなどが利用できる場合
36^(1/3)を計算してみてください。3.3019・・・と即座に出てきます。

2. 普通の電卓しかない場合
ニュートン(・ラフソン)法による方程式の解法を用いるのがよさげです。
http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanar …
f(x)=x^3-36として、f(x)=0の解を求める。
Step1. 解に近い適当な数を考える。(ここではt=3としましょう)
Step2. いまあるtの値に対して、2t/3 + 12/t^2 を計算する。(一般にはt-f'(t)/f(t)を計算する)
Step3. tとStep2.の計算値を比較して、差が十分小さければその値が答えなので終わり。そうでなければStep2.の計算値をtとしてStep2.に戻る。

この問題では初期値をt=3とするとStep.2を4回ほど繰り返せば8桁程度の精度、6回で14桁の精度で答えが得られます。

ただし、メモリの使い方を駆使するか「紙に手書きメモリ(^^;)」を使うなど、けっこう骨は折れますが。

参考URL:http://arch.arch.kumamoto-u.ac.jp/hagane/yamanar …
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x^3-36=0


として
q=-36としてカルダノの3次方程式の解の公式でもとめてはいかがでしょうか。
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Qxの方程式x^3-12x^2+36x-18=kx-4kが異なる3つの正の解を持つようなkの範囲

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解法又は答え、誤っている考え方がありましたら教えて頂けると助かります。

Aベストアンサー

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※ ln(x)' = x^-1 ⇔ ∫x^-1 dx = ln|x| + C
(x^-1)' = -x^-2 ⇔ ∫-x^-2 dx = x^-1 + C
(x^-2)' = -2x^-3 ⇔ ∫-2x^-3 dx = x^-2 + C
ですが、

なぜ、※のところだけイレギュラーにになるのでしょう?

はるか昔、高校のときに導出方法は習いましたが、
イメージとしては、どう捉えればよいでしょう?

証明等は無くても構いませんので、
直感に訴える説明、あるいは、逆に高度な数学での説明などができる方いらっしゃいましたら、お願いします。

(もしかしたら、高度な数学では、イレギュラーに見えなくなったりしますか?)

Aベストアンサー

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釈迦に説法みたいな話しかできませんが…。

(x^α)' = α x^{α-1} …(1)

は、α=0 でも、(x^0)' = 0・x^{-1} = 0 (x≠0)ということで成り立ち、実はイレギュラーというわけでもなかったりします。

(x^2)' = 2x^1
(x^1)' = 1x^0 = 1
(x^0)' = 0x^{-1} = 0
(x^{-1})' = (-1)x^{-2} = -x^{-2}
(x^{-2})' = (-2)x^{-3} = -2x^{-3}

ということなので。。。

つまり、(ln(x))') = 1/x = x^{-1} はこのリストとは別の話と解釈するわけです。

積分のほうも、
∫x^-1 dx = ln|x| + C …(2)
のかわりに、
∫0dx = ∫0x^{-1}dx = 0 + C' = x^0 + C
があると思えば、イレギュラーではなくなります。
(2)は、
∫nx^{n-1}dx=x^n+C …(3)
のリストに元々登場していないと解釈するわけです。

また、(3)の両辺をnで割って、
∫x^{n-1}dx = (1/n)x^n + C …(4)
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たまたま、∫x^{-1}dx = ln|x| + C となるので、はまりそうに見えますが、もともと除外していたところに、後から違う種類のものを持ってきてはめ込んだだけと解釈すれば、そこがイレギュラーになるのは不思議ともいえなくなってきます。

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要するに1の5乗根を求める問題なのですが、このような相反方程式には典型的な解法があります。覚えておかれると有益でしょう。x=0は解でないことは明らかです。したがって方程式の両辺をx^2で割ってみて、
(※) x^2+x+1+1/x+1/x^2=0
となります。そこでy=x+1/xとおきます。ここがポイントです。そうするとy^2=x^2+1/x^2+2となるので、上の(※)式は
y^2+y-1=0
に書き直すことができます。これはただの二次方程式なので、これを解くと二つの実数解、α、βが出てきます。(これぐらいはご自身で計算してください)
そうするとy=x+1/xとおいたわけですから、y=αあるいはβというとことは、
x+1/x=αあるいはβ
ということです。両辺にxをかけてやると二つの二次方程式
x^2-αx+1=0とx^2-βx+1=0
が得られます。結局もとの方程式は上の二つの二次方程式の解を集めた4つの解(すべて虚数解)になるということが分かります。これもただの二次方程式なので簡単に解くことができるはずです。

...と思いましたが、chiropy様が回答くださったようですね。

ちなみに、実数解が存在しないことだけを言うなら次のようにすることもできます。x=1が解にならないことは明らかなので、x-1≠0ですから、両辺にx-1をかけてやります。そうすると
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
となって、展開すればx^5-1=0、つまりx^5=1という5次方程式を得ることになります。当然x=1が解になるわけですが、これ以外に実数解はありえません。5乗して1になる実数は1だけです!というわけで、もとの方程式は5乗して1になる数のうち、実数でないものを求めなさい、ということとおんなじ問題なのでした。

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Aベストアンサー

どこまで使えるのか…わからないですが。

まず1を代入してみる(0次の係数が-1なので)と等式が成り立つので、(x-1)で割れることがわかります。
割ってみると
(x^2-x+1)(x-1)=0
となりますね。

ここで2次式に解の公式を用いて解を三つ求めてしまってもできます。
しかし、そうしない方が簡単です。

a=1 として
(x^2-x+1)=(x-b)(x-c)
とすると、
b+c=1 , bc=1
がわかります。
よって、

a^2+b^2+c^2
=1+(b+c)^2-2bc
=1+1-2
=0


さらに
x^2-x+1=0
の解がb,cなので、
b^2-b+1=0
変形して
b^2-b=-1・・・(1)
また、
b^2=b-1
の両辺にbをかけると
b^3=b^2-b
(1)より
b^3=-1

同様に
c^3=-1

a=1 だから

a^3+b^3+c^3
=1-1-1
=-1

以上です。


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