今までベクトルの基本問題をやっていたのですが、総合問題に入って苦戦しています。よろしくお願いします。

平行六面体の頂点をA~Hとする。
(1)  三角形BDE,三角形CEF,三角形DEGの重心をそれぞれP,Q,Rとするとき、
   三角形AFHと三角形PQRの面積の比は、すべて平行六面体に対して一定である
   事を示し、その比を求めよ。

(2)  三角形AFH,三角形PQRの重心をそれぞれM,Nとするとき、EMとENの長さの比   は、すべての平行六面体に対して一定である事を示し、その比を求めよ。
 
(1)のほうは、Aを始点にしてAP→とAQ→とAR→を表して、PQ→とPR→を表してと考えていったのですが、計算が複雑になったのであきらめてしまいました。もともとベクトルは苦手なので、教えていただいても理解するのに時間がかかり回答がおそくなるかもしれませんが、よろしくおねがいします。

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A 回答 (3件)

#2のレス。



なんか(2)おかしくないです?もう1回見直して下さいね。

ちなみに、(1)は相似が言えるのは大丈夫・・・ですよね?
いわゆる「2辺の比とその間の角が等しい」という相似条件となります。
間の角が等しいのは、平行と使う方法と、内積からcosを考える方法があると思われます。特に後者については、ちょろっと考えておいてくださいね。

この回答への補足

うーんと、見直してみました。もしかして
→EM=(→b+→d-→e), →EN=(→b+→d-→e) だから
EM:EN=1/3:4/9⇔EM:EN=3:4 となってEMとENとの比が逆だったとかでしょうか?

はい、相似のほうは中学の時にいっぱいやったので大丈夫でした。

補足日時:2001/11/29 17:39
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linus3030さんが書いてあるとおり、質問形態不備ではありますが、


どーせ平行六面体の頂点の並び順なんて、AからDまでぐるっとまわって、Aの下にEがあって、上と同じぐるっと回ってHまでふってあるだけでしょうから、そのつもりで解答開始。。。

→AB=→b,→AD=→d,→AE=→eとして、→AP,→AQ,→ARをちょろっと計算すると、
→PQ=(1/3)(→b+→e)=(1/3)→AF, →PR=(1/3)(→d+→e)=(1/3)→AH
したがって、(平面AFH//平面PQRや)△AFH∽△PQRが言えます。相似比も明らかなので、(1)は終わり。

→AM,→ANもちょろっと計算して、
→EM=(1/3)(→b+ →d-→e),→EN=(4/9)(→b+ →d-→e)
となるので、E,M,Nは一直線上にあって、比も一定。(比は書きませんぞ!)

計算はぜんぜんしんどくないですぜ。途中の式書いてしまうと、なんら教育的指導にならないと思われるので省きました。基底ベクトルをAB,AD,AE方向に取るのも・・・これ以外に取りようないですしね。

もう一度がむばってみてください。

この回答への補足

ご親切な回答ありがとうございました。
さっそくですが、解いてみましたのでご指導お願いします。

(1) →PQ=1/3(→b+→e)=1/3→AF →PR=1/3(→d+→e)=1/3→AH
   となり、△AFH∽△PQRとなる。AF:PQ=3:1より
   △AFH:△PQR=3^2:1^2=9:1

(2) →AM=(1/3)(→b+→d+2→e) →AN=(4/9)→b+(4/9)→d+(5/9)→e より
→EM=(1/3)(→b+→d-→e) →EN=(4/9)(→b+→d-→e) となる。
   よって、→EM=(4/3)→EN となるので EM:EN=4:3
 
   となったのですが、どうでしょうか?自分で解いてみて、ほとんど答えを
   教えてもらっているのと同じだなあと、苦笑いしてしまいました。 

補足日時:2001/11/27 21:20
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平行六面体の頂点の並び順がわかりません。



Aから辺で隣接している3点と
Aと面を共有しない1点をお教えください。

この回答への補足

ごめんなさい。kony0さんのおっしゃるようにAに隣接している三点はD,B,EでAと面を共有しない一点はGです。よろしくおねがいします。

補足日時:2001/11/26 22:23
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http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%9D%E3%83%AC%E3%82%AA%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

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つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
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B点 < Xb , Yb >
C点 < Xc , Yc >

三角形ABCの重心G
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D点
< (2Xa+3Xb)/5 , (2Ya+3Yc)/5 >
E点、F点・・・・

三角形DEFの重心g
は上記DEFの座標を●にぶち込んで・・・
重心G = 重心g。

もし、三角形の重心の定義(●式)が未定義なら・・・。
三角形の重心は『ABCの3つの中線の交点』で定義ですよね。
同様に座標設定して、先ず●式を定義(一次式より交点算出)。
その後は、本文先頭にもどって・・・。

ポイントは、
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Aベストアンサー

たびたびですが ^^;

>なぜCを見つけだすことができるのかが、わからないんです。

#3の回答で言えば、
>> ・この作図だけでは、角CAB= 60度とは言えません。
つまりは、角CAB= 60度となるように選べばよい。【条件★】ということになります。

作図(1)で「先に」60度回転させています。
つまり、b '上の点はどこであっても、(2)で 60度戻した時点で角X 'AX= 60度となっています。
(点X 'は直線 b '上の点、点Xは直線 b上の点)
この時点で、上の【条件★】がクリアされていることになります。

問題の条件として、「三本の平行線a,b,c上にそれぞれ頂点A,B,Cをもつ」とありますから、直線 cと直線 b 'の交点が点Cとして与えられることになります。

一度、60度回った世界にいくことで、元に戻ってきても回転の中心点とのなす角が 60度になるようにできているということになります。


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