-------------------
区間[0, 1]において,
1.区間内の適当な所に点(・)を書く.
2.[0, 1]の区間を2等分し,各々の区間に点がはいるような点を1つ書く.
(ただし,1で書いた点はそのままなので,点の無い方の区間に書く)
3.[0, 1]の区間を3等分し,点の無い区間に1つだけ点を書く.
.....
.....
17.[0, 1]の区間を17等分し,点の無い区間に1つだけ点を書く.

(例)
| .| . |
0.0 0.250.5 0.751.0

↓↓↓↓↓↓↓↓(2等分から3等分)

| . | . | . |
0.0 0.25 0.52 0.751.0

上の様なことを区間が17等分まで繰り返して下さい.
--------------------

以上のようにして,区間を17等分までしたときに適当な点の値を答えろ
という問題がありました,どうしても分からなかったのでだれか,解答
できる人がいましたら,是非値を教えて欲しいのですが.
また,条件がもう1つありまして,区間の境界上には点は書いてはいけない
ようになっています.

詳しい解説なんかも書いてもらえるとともてもありがたいです.
宜しくお願いします.

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A 回答 (9件)

さらに、解の構造の分析その2。



●以下の区画は解には全く現れない。つまり、これらの区画内に点を置くことは出来ない。
{2,3,11,12,15,17,18,19,24,25,27,40,42,43,44,46,47,50,51,53,54,55,57,70,72,73,78,79,80,82,85,86,94,95}

●すなわち、以下の62個の区画だけが解に使われる。
{1,4,5,6,7,8,9,10,13,14,16,20,21,22,23,26,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,41,45,48,49,52,56,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,71,74,75,76,77,81,83,84,87,88,89,90,91,92,93,96}

●全ての解を通して、c(n)が取りうる値(区画の番号)は以下のように限定されている。
c(1)∈{1,4,5,7,13,14,26,28,41,45,52,56,69,71,83,84,90,92,93,96}
c(2)∈{1,4,5,7,13,14,26,28,41,45,52,56,69,71,83,84,90,92,93,96}
c(3)∈{1,4,5,7,13,14,41,45,52,56,83,84,90,92,93,96}
c(4)∈{1,4,5,7,13,14,26,28,69,71,83,84,90,92,93,96}
c(5)∈{26,28,69,71}
c(6)∈{41,45,52,56}
c(7)∈{1,5,14,83,92,96}
c(8)∈{1,4,13,16,81,84,93,96}
c(9)∈{37,60}
c(10)∈{33,34,63,64}
c(11)∈{21,22,75,76}
c(12)∈{1,7,8,9,10,20,77,87,88,89,90,96}
c(13)∈{48,49}
c(14)∈{1,5,6,7,8,9,10,87,88,89,90,91,92,96}
c(15)∈{1,4,5,6,7,8,9,10,20,21,22,23,74,75,76,77,87,88,89,90,91,92,93,96}
c(16)∈{32,33,64,65}
c(17)∈{29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68}
 幾つかの特徴を挙げると、
・c(1)とc(2)は取りうる値の集合が同じ。この集合をAとすると
 c(3)、c(4)、c(5)、c(6)、c(7)の取りうる値の集合⊂A
・c(15)の取りうる値の集合をBとすると、c(11)、c(12)、c(14)の取りうる値の集合⊂B
・c(17)の取りうる値の集合をCとすると、c(9)、c(10)、c(16)の取りうる値の集合⊂C
・{48,49}はc(13)以外には現れず、c(13)はこれらの値しか取らない。
・{16,81}はc(8)以外には現れない。
・{23,74}はc(15)以外には現れない。
・{29,30,31,35,36,38,39,58,59,61,62,66,67,68}はc(17)以外には現れない。
(なお、対称性から、c(n)がpという値を取りうるのなら、c(n)はまた97-pをも取りうることは自明です。)

●念のため、区画の番号とその範囲の下界との対応を示します。
例えば区画の番号=3と言えば、{x|r(3)<x<r(4)}という範囲を指している。
r(1) = 0
r(2) = 1/17
r(3) = 1/16
r(4) = 1/15
r(5) = 1/14
r(6) = 1/13
r(7) = 1/12
r(8) = 1/11
r(9) = 1/10
r(10) = 1/9
r(11) = 2/17
r(12) = 1/8
r(13) = 2/15
r(14) = 1/7
r(15) = 2/13
r(16) = 1/6
r(17) = 3/17
r(18) = 2/11
r(19) = 3/16
r(20) = 1/5
r(21) = 3/14
r(22) = 2/9
r(23) = 3/13
r(24) = 4/17
r(25) = 1/4
r(26) = 4/15
r(27) = 3/11
r(28) = 2/7
r(29) = 5/17
r(30) = 3/10
r(31) = 4/13
r(32) = 5/16
r(33) = 1/3
r(34) = 6/17
r(35) = 5/14
r(36) = 4/11
r(37) = 3/8
r(38) = 5/13
r(39) = 2/5
r(40) = 7/17
r(41) = 5/12
r(42) = 3/7
r(43) = 7/16
r(44) = 4/9
r(45) = 5/11
r(46) = 6/13
r(47) = 7/15
r(48) = 8/17
r(49) = 1/2
r(50) = 9/17
r(51) = 8/15
r(52) = 7/13
r(53) = 6/11
r(54) = 5/9
r(55) = 9/16
r(56) = 4/7
r(57) = 7/12
r(58) = 10/17
r(59) = 3/5
r(60) = 8/13
r(61) = 5/8
r(62) = 7/11
r(63) = 9/14
r(64) = 11/17
r(65) = 2/3
r(66) = 11/16
r(67) = 9/13
r(68) = 7/10
r(69) = 12/17
r(70) = 5/7
r(71) = 8/11
r(72) = 11/15
r(73) = 3/4
r(74) = 13/17
r(75) = 10/13
r(76) = 7/9
r(77) = 11/14
r(78) = 4/5
r(79) = 13/16
r(80) = 9/11
r(81) = 14/17
r(82) = 5/6
r(83) = 11/13
r(84) = 6/7
r(85) = 13/15
r(86) = 7/8
r(87) = 15/17
r(88) = 8/9
r(89) = 9/10
r(90) = 10/11
r(91) = 11/12
r(92) = 12/13
r(93) = 13/14
r(94) = 14/15
r(95) = 15/16
r(96) = 16/17
r(97) = 1
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今度は、


一番要素の数が少ない、c(1)=4 で始まる解の集合の構造を調べてみましたよ。
●分類
・定数なのは
c(1)=4
c(8)=13
c(9)=60
c(12)=20
c(13)=48
c(15)=1
ここまでは選択の余地なしです。
・以下の番号は任意に選ぶことができます。
c(11)∈{75,76}
c(16)∈{64,65}
c(10)∈{33,34}
c(14)∈{87,88,89,90,91,92,96}
c(5)∈{26,69}
・以下は他の番号の影響を受けます。
c(17)∈ if c(10)=34 then {29,30,31,32,33} else {34,35,36,37,38,39}
c(7)∈if c(14)=96 then {92,83} else {96,83}
c(6)=if c(5)=26 then 52 else 41
  さらに以下のものは他にも整理の仕方があると思いますが、
c(3)∈if c(5)=26 then {41} else
     (if c(14)=96 then {83,52,92} else {83,52,96})
c(4)∈if c(5)=69 then {26} else
     (if c(14)=96 then {83,69,92} else {83,69,96})
c(2)∈if (c(3)=52 or c(4)=69) then
     (if c(14)=96 then {83,92} else {83,96})
   else
     (ifc(5)=69 then {52} else {69})
以上です。

●ところで、
c(11)∈{75,76}
c(16)∈{64,65}
c(14)∈{87,88,89,90,91,92}∪{96}
c(17)∈ if c(10)=34 then {29,30,31,32,33} else {34,35,36,37,38,39}
これら、引き続いた値の部分は、要するに区別する必要がない一つの連続した区間と考えることができます。
つまり
c(11)=(75~76)
c(16)=(64~65)
c(14)∈{(87~92), 96}
c(17)∈ if c(10)=34 then (29~33) else (34~39)
という風に考えて良い。ですから特に、c(11),c(16)は実質的には定数と同じです。
 かくて、定数(および、c(11),c(16))と、
・c(2),c(3),c(4),c(5),c(6)の4通りのパターン
a) 6941**2652
b) **41692652
c) 52**266941
d) **52266941
およびc(7)とc(17)の選択パターン4通り、これらの掛け算で、実質16通りということですね。
そのどれかに、任意に選べる他の番号の選択を組み合わせることで、全ての解が構成されます。

さて、これは一体何を意味しているのでしょう?
群だの環だの、代数構造がおでましになる予兆でしょうか?
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No.6 の鏡像の概念について、書き間違いがありましたので訂正します。



> (一方が解(r(c(n))+ε)なら他方(r(c(n))-ε)も解であることは自明。)

を次のように訂正。
>(一方が解(r(c(n))+ε~r(c(n)+1)-ε)なら(r(97-c(n))+ε~r(97-c(n)+1)-ε)も解であることは自明。)

ただしr(97)=1とします。

これを分かりやすくするためには、あらかじめ
>解のひとつは列 r(c(n))+ε (n=1,2,.....,17) で表すことができます。

という代わりに

>解のひとつは範囲の列 (r(c(n))+ε~r(c(n)+1)-ε) (n=1,2,.....,17) で表すことができます。ここにε>0でε→0。

としておくべきでした。
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どういう数列が解になるのか。

何かヒントになればと思ってupします。

[1] 準備
 96個の既約分数(n/m) (0≦n<m, 1≦m≦17)を小さい順に並べた列をr(i) (i=1,2,...,96) とします。さらに
V(i,j) = [r(i) j ]  ([x]はxを越えない最大の整数)
とします。
 とりあえずV(i,j)の表をExcelか何かで作ってみてくださいな。([x]はExcelでは=INT(x)です。)
 さて、|r(i)-r(i+1)|の最小値は約1/300です。そこで、適当な定数ε(0<ε≪1/300)を決めれば、解のひとつは列 r(c(n))+ε (n=1,2,.....,17) で表すことができます。
 従って単に番号c(n)(n=1,2,.....,17) だけ示せば、具体的な数列が決まります。たとえばNo.4の解はc(n)の形で書くと
15283266941921360337520489646434
となります。

[2]色塗りの原理
 そこで、まずn=1を見ますと、c(1)=1なので、V(1,j) (j=1,2,....,17)のマス目一行分のマス目を例えば赤で塗ります。
 n>1については、c(n)はどの列jについても、j≧nならV(1,j)≠V(c(n),j)でなくてはなりません。そこでV(i,j)の表のうち、選べない領域を同じ色(赤)で塗ってみましょう。するとこの場合、V(1,1)~V(96,1)の一列全部、V(1,2)~V(48,2)、V(1,3)~V(32,3)、… V(1,16)~V(2,16)、V(1,17)が全部赤に塗られることになります。

 n=2を見ると、c(2)=52ですから、V(52,j) (j=2,3,.....,17)のマス目を例えば青で塗ります。さらにj=2,3,....,17について、V(52,j)と同じ値を持つマス目V(i,j)を青で塗ります。色を塗る部分は赤くない。これはつまり、V(52,j) ≠V(1,j) (j=2,3,.....,17)になっているという意味です。
 このようにして色を塗っていくと、V(i,j)の表のあらゆるマス目に全部色が付きます。これは、「0~1の範囲をj等分したとき、どの区画にも1個の点が入る」という条件と同じ意味です。

[3] VOIDについて
 解を探す上でポイントになるアイデアとして、"VOID"というものを考えました。(この概念なしにプログラムを作っても遅くてたまらない。)
 解ではない列c'(n) (n=1,2,....,17)について色を塗っていくと、
(1) 既に色を塗ってある所に塗り重ねてしまう。
(2) 島状に色の塗ってない部分(VOID)ができる。
などが生じます。
 ここでVOIDというのは、色が塗ってなくて、しかも周囲が色が塗られたマス目で囲まれている部分です。(2)が生じると後はどうやっても(1)が起こるので、(2)を検出すれば探索を早く打ち切ることができる。

 そこで、プログラムを作る際には以下のようにしました。
(1) c(n)をn=1,2,....,17の順に決めていく。
(2) 既に色が塗ってある所にはc(n)を置かない。
(3) c(n)を仮に置いてみて、VOIDが発生したら、そこには置かない。
(4) c(n)が上記(2)(3)の条件をクリアしたら、c(n+1)の置き場所を探す。
(5) c(n)を置く所がなくなったら、c(n-1)を置くところからやり直す。(バックトラック)
(6) c(17)を置けたら、解が見つかった。解を記録し、c(16)を置くところからやり直す。(バックトラック)

[4] 結果の性質
 このやりかたで、全部で70万9632個の解が見つかりました。
これは鏡像を含んだ数です。鏡像とは、すなわち
c(n)(n=1,2,...,17)  を 97-c(n) (n=1,2,...,17) に置き換える操作のことです。(一方が解(r(c(n))+ε)なら他方(r(c(n))-ε)も解であることは自明。)

これらをc(1)の値で分類しますと、
c(1)=1のものが  94688個 (r(c(1))=0)
c(1)=4のものが  2464個 (r(c(1))=1/15)
c(1)=5のものが  6336個 (r(c(1))=1/14)
c(1)=7のものが  9856個 (r(c(1))=1/12)
c(1)=13のものが 19712個 (r(c(1))=2/15)
c(1)=14のものが 44352個 (r(c(1))=1/7)
c(1)=26のものが 44352個 (r(c(1))=4/15)
c(1)=28のものが 44352個 (r(c(1))=2/7)
c(1)=41のものが 44352個 (r(c(1))=5/12)
c(1)=45のものが 44352個 (r(c(1))=5/11)
c(1)=52のものが 44352個 (r(c(1))=7/13)
c(1)=56のものが 44352個 (r(c(1))=4/7)
c(1)=69のものが 44352個 (r(c(1))=12/17)
c(1)=71のものが 44352個 (r(c(1))=8/11)
c(1)=83のものが 44352個 (r(c(1))=11/13)
c(1)=84のものが 19712個 (r(c(1))=6/7)
c(1)=90のものが  9856個 (r(c(1))=10/11)
c(1)=92のものが  6336個 (r(c(1))=12/13)
c(1)=93のものが  2464個 (r(c(1))=13/14)
c(1)=96のものが 94688個 (r(c(1))=16/17)
です。他の番号はc(1)にはなり得ない。
また、c(1)=14~83は解の数が全て同じであることは興味深いですね。

一例として、c(1)=45のもののc(1)~c(17)を並べてみますと、全て
45 a b c 28 56 d e 37 f g h 49 i j k h
というパターンです。ここで、
a∈{71,84,90,93,96}
b∈{1,5,14}
c∈{71,84,90,93,96}
d∈{1,5,14}
e∈{81,84,93,96}
f∈{63,64}
g∈{21,22}
h∈{77,87,88,89,90,96}
i∈{1,5,6,7,9,10}
j∈{74,75,76,77,87,88,89,90,91,92,93,96}
k∈{32,33}
h∈{58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68}
である。ごく限られた番号の組み合わせであることが分かります。

う~ん。やっぱりプログラムをシェアしなくては無理かなあ。
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No.4のやつは数列です。

勿論1,2,3,…,17分割の順ですよ。

プログラムは最初Visual Basicでちょいちょい、とやったらこれが思いのほか重くってですね、それで似てる言語のコンパイラは?って探したらFortranがありましたんで、そっちに書き換えて走らせました。(その際に再帰呼び出しrecursionをtail mergeという方法でループに変換しています。)

 ともあれ、力ずくじゃあ、数学の問題の答にはなってないでしょう。ここにupするのはどうかと思います。
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えっと、たとえば列:


07/1311/134/1512/175/1212/132/158/131/310/131/58/1716/171/1511/176/17
(いや、丁度切れ目に来るのがお気に召さなければ、それぞれに1/1000位加えた物)というのは、題意を満たしているでしょうか?


 実はこれ、力ずくで探索した結果です。
 何をやったかと申しますと…

 「切れ目」に来るのは(n/m)(0≦n<m, 1≦m≦17)という形の有理数だけです。そのうち、既約のものだけ数えますと、96個あります。
最後に17分割したときに各区画に1個づつ入る訳ですから、この96個(或いはそれにごく小さい値を加えた物)の中から17個を、題意に合うように選べばよい。
 そういう条件で、深さ優先探索(search)をやるプログラムをちょいちょいと書いて走らせたんです。

 解はもの凄く沢山出たのですが、上記の例はその最初の物。
 これが題意を満たしているなら、解があることは確かめられたことになり、あとはどうエレガントに構成するか、という問題でして、oodaiko先生ってば宜しくお願いいたします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます.
これからやってみようと思っていますが,17つの点が
それぞれ何分割した時に書いた点なのかまで教えてい
ただけると更に嬉しいのですが...
それとも既に左から並べてある値が最初,2等分,3等分
...という風になっているのでしょうか.

それからプログラムを作って解いていただいた様なので
すが,C 言語で書かれたのでしょうか?
だとしたらそのプログラムもここに掲載してくれると大
変助かります.

色々要求を書いてしまって申し訳ありませんが,よろし
かったらコメントしておいてください.

お礼日時:2001/11/29 03:03

B(x,m) = {t| 0≦t≦1} - {t| [mx]/m≦t< ([mx]+1)/m}


(ここに[]はガウスの記号、つまり[a]はaを越えない最大の整数)
と定義したとき、
最初の点x(1)は{t| 0≦t≦1}から選ぶ。k+1番目の点x(n+1)は
x(k+1)∈∩(j=1,...,k) (∩(m=k+1,...,17) B(x(j),m))
から選ぶ。この途中のプロセスで右辺がφ(空集合)になったらダメ。
そのような列 x(1),x(2),....,x(17)を作れという問題だと思います。

これって、{t| 0≦t≦1} と言いながら実は高々{t|∃n(0≦n≦17! ∧ t=n/17!)}という有限集合から17個の要素を選ぶ問題と考えて良いのは自明でしょうから、それで代数学の問題に帰着するのかな?

で、答えはですね。分かりません。
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>点が2つ入ってしまう区間ができてしまい


あーなるほど。私は漠然と
「このプロセスの各段階において点の無い区間はただ1つだけであり、その他の区間には必ず1つだけ点が含まれる」
という条件が自然に満たされるものだと思い込んでしまいましたが、それは正しくなかったですね。私が書いた
>点の無い区間を選び(そのような区間はこのプロセスから考えて
>1つしかあり得ませんが)
という文も間違いでした。f(^^;;

それで御質問の意味がわかりました。

つまり

このプロセスのすべての段階において、
「点の無い区間はただ1つだけであり、かつ(というよりこの条件を満たせば必然的にですが)その他の区間にはすべて1づつ点が含まれている」
という条件を満足するような(17個の)点列の例を求めよ。

ということですね。

回答は今考え中ですが、他の回答者の方が私と同じ勘違いをされるといけないので(←そんな早とちりをするのは私だけか(^^;; とりあえず確認の意味でアップしました
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問題の意味が不明です。



>点の無い区間に1つだけ点を書く
>区間の境界上には点は書いてはいけない
この2つの条件をいっしょにするとつまり
「点の無い区間を選び(そのような区間はこのプロセスから考えて
1つしかあり得ませんが)そこから
1/2,1/3,2/3,1/4,2/4,3/4,1/5,2/5,…,16/17
以外の任意の位置を1つ選んでそこに点を書く」
ということでよいのでしょうか

>17等分までしたときに適当な点の値を答えろ
「点の値」というのは[0,1]区間における点の座標という意味ですね。
「適当な点」とはどの点のことでしょうか
1.で最初に書いた点のことでしょうか。これは任意なので
答えようがないと思いますが。
(他の点にしても多少の制約があるとはいえ任意なので
「点の値」など答えようがありません)

「点の値」というのはまさか「点の個数」の意味ではないですよね。
(それなら17しかありませんが)

文字数の制約のため内容を詳しく書けなかったのであれば
(補足欄にはいくらでも書けますので)問題のきちんとした記述をお願いします。

この回答への補足

内容不明で誠に申し訳ありませんでした。
私自身この問題の内容がまだしっかりと
把握できてないものでして・・・。

さて、捕捉ですが以下のような捕捉をさせ
て頂きます。

>(略)
>以外の任意の位置を1つ選んでそこに点を書く」ということでよいのでしょうか
はい、その通りです。

>(略)
>「点の値」など答えようがありません)
1.の最初の点から最後の17等分したときの最後の1点まで
点の位置は境界上でなければ様々な組合せであると考えられ
るので,その中の1つでも分かりましたらお教えして頂きた
いのです.

例えば,最初の[0, 1] 区間の0.2 に点を書いたとします,それを
2等分しますと[0, 0.5] [0.5, 1.0] という区間に分かれるわけ
ですから,0.6 に点を書きます.
次に3等分すると [0, 0.333][0.333, 0.666][0.666, 1.000] と
なりますので(割り切れないのですが...)[0.666, 1.000]
区間内の 0.8 に点を書いて行く...

このようにして17等分までしていって欲しいのです.
自分でも何回も挑戦したのですが,いつも途中で点の無い区間や
点が2つ入ってしまう区間ができてしまい失敗してしまいました.

というわけで,以上の捕捉で理解してもらえたでしょうか.

非常に分かりにくい説明で申し訳ありませんが,宜しくお願いし
ます.

補足日時:2001/11/26 20:45
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Q(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](xi),(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]||^2ならばXは完

お世話になっています。

[Q]X={x1,x2,…,xn}を内積空間Vの正規直交集合とせよ。この時,次の(i),(ii)を示せ。
(i)spanX=V ならば x∈V,x=Σ[i=1..n](<x,xi>xi)
(ii)x∈V,∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2ならばXは完全

完全の定義は「正規直交集合Xが完全とはVの中での最大個数の正規直交集合の時,Xを
完全と言う」です。
つまり,#X=max{#S∈N;(V⊃)Sが正規直交集合}を意味します。

証明で行き詰まっています。

(i)については
x∈Vを採ると,spanX=Vよりx=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
これからΣ[i=1..n](<x,xi>xi)にどうやって持ってけばいいのでしょうか?

あと,(ii)についてはさっぱりわかりません。
何か助け舟をお願い致します。

Aベストアンサー

>x=Σ[i=1..n]cixi (c∈F (i=1,2,…,n))と表せる。
<xi,x>を計算すれば終わり

>(ii)についてはさっぱりわかりません
「任意の」x∈Vに対して
∥x∥^2=Σ[i=1..n]|<x,xi>|^2
ならばXは完全

x1,...,xnとは異なるyをとり,
x1,...,xn,yが正規直交であると仮定する.
||y||^2 = Σ[i=1..n]|<y,xi>|^2を計算すれば
矛盾がでてくる.

QQ∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0は何故?

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思います。

どうして
(点{r}の測度fによる像)=0
と言えるのでしょうか?

つまり,
(Q∩[0,1]全体の測度fによる像)=f(∪[b∈Q∩[0,1]]{b})=Σ[b∈Q∩[0,1]]f({b})と変形できると思いますが
これからどうしてf({b})=0が言えますでしょうか?
推測ですが
f({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])=1/(アレフ0)=0と乱暴に計算してもいいでしょうか?
(上の定義からはf({b})=#{b}/#(Q∩[0,1])と書ける事すらも言えてませんが…)

Q∩[0,1]全体の測度=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度=0
と本で見かけたのですが測度とは関数の事ですよね。だからこれは
Q∩[0,1]全体の測度による像=Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度による像=0
という意味ですよね。

測度とは
「(Ω,B)を可測空間(Bはσ集合体)とする時,f:B→Rが(Ω,B)上の可測

(i) ∀A∈B,f(A)∈{r∈R;0≦r}∪{+∞},f(φ)=0
(ii) ∀m,n∈N (m≠n), B∋b_m,b_nは互いに素 ⇒ f(∪[k∈N]b_k)=Σ[k=1..∞]f(b_k)」

の事だと思います。

点{r}の測度fによる像=0だから
Σ[r∈Q∩[0,1]]点{r}の測度fによる像=0なんだと思いま...続きを読む

Aベストアンサー

おはようございます。簡単に説明しますが、

B⊃{b_i}(b_i は単調減少列 つまり、b_i⊃b_{i+1})
ならば

f(∩b_i)=lim f(b_i)

が成り立ちますから(このことは、ご自分で調べてください。測度論の本には必ず載っています。)

点{r}に対し、b_i=(r-1/i,r+1/i) とすれば

f({r})=f(∩b_i)=lim f(b_i)=lim 2/i=0

となって、f({r})=0となるのです。

Q√(|(xy)|)が点(x,y)=(0,0)全微分可能か調べようとして

√(|(xy)|)が点(x,y)=(0,0)全微分可能か調べようとしています。

全微分の定義から考えると
Δf=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)より
Δf=√{|(x+Δx)(y+Δy)|}-√(|xy|)で、x=0,y=0を代入すると、
Δf=√(|ΔxΔy|)
ここで、(Δx,Δy)→(0,0)より、
Δf=0
よって、Δf=0Δx+0Δy+ε√{(Δx)^2+(Δy)^2}と表せるので、全微分可能である。

となりそうなのですが、そもそも√(|(xy)|)は(x,y)=(0,0)では微分できない気がしています。(点0,0では不連続!)
全微分可能ならば連続であるはずなので、これは矛盾しているように思います。

何か考え方が間違っているのでしょうか。

Aベストアンサー

「よって、Δf=0Δx+0Δy+ε√{(Δx)^2+(Δy)^2}と表せる」は誤りです
Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}→0 がいえなければ、全微分でありません。
y>0,Δy=0,x=0とするとΔf=√|yΔx|だから
∀K>0に対して
∃δ=y/(K^2)>0
0<|Δx|<δ →
|Δx|<y/(K^2)
Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}=|√|yΔx||/|Δx|=|√y|/√|Δx|>K
よって
lim_{Δx→0}Δf/√{(Δx)^2+(Δy)^2}=∞だから全微分でない


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