f(x)={1+x(-1≦x≦0)
    {1-x(0≦x≦1)
f(x)のフーリエ級数は?

 偶関数・奇関数の見分け方とか
 計算過程も明記して貰えると
 ありがたいと思います。
 類似問題も解けるようになりたいので。

A 回答 (2件)

周期2Lの偶関数のフーリエ級数は


f(x)~a[0]/2+Σa[n]cos(nπx/L)
a[n]=1/L∫(-LからL)f(x)cos(nπx/L)dx
  =∫(-1から1)f(x)cos(nπx)dx
  =∫(-1から0)(1+x)cos(nπx)dx
   +∫(0から1)(1-x)cos(nπx)dx
部分積分を使って解くと(途中省略です)
a[n]=2/(n^2*π^2){1-(-1)^n}  
  =nが偶数のとき 0
   nが奇数のとき 4/(n^2*π^2)
a[0]/2=1/2∫(-1から1)f(x)dx
   =1/2
f(x)~1/2+4/π^2{cos(πx)/1^2+cos(3πx)/3^2
+cos(5πx)/5^2+・・・・・}
と展開できます。
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展開する範囲はどこまでですか?


わからないのでとりあえず -1≦x≦1 で展開すると仮定します。
周期が2πでないので、周期を2に変える必要があります。
フーリエ係数はそれぞれ
a[n] = 2/τ∫f(x)cos(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
b[n] = 2/τ∫f(x)sin(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
ここで、τは周期(この問題の場合τ=2)
f(x)を周期関数とみなせば積分範囲は-τ/2≦x≦τ/2としてもいいです。
フーリエ級数は
F(x)=a[0]/2+Σ{a[n]cos(2πnx/τ)+b[n]sin(2πnx/τ)}
後は計算だけなので自分でやってください。

ちなみに、
偶関数の定義は
f(-x)=f(x)
が成り立つこと。

奇関数の定義は
f(-x)=-f(x)
が成り立つこと。
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