f(x)={1+x(-1≦x≦0)
    {1-x(0≦x≦1)
f(x)のフーリエ級数は?

 偶関数・奇関数の見分け方とか
 計算過程も明記して貰えると
 ありがたいと思います。
 類似問題も解けるようになりたいので。

A 回答 (2件)

周期2Lの偶関数のフーリエ級数は


f(x)~a[0]/2+Σa[n]cos(nπx/L)
a[n]=1/L∫(-LからL)f(x)cos(nπx/L)dx
  =∫(-1から1)f(x)cos(nπx)dx
  =∫(-1から0)(1+x)cos(nπx)dx
   +∫(0から1)(1-x)cos(nπx)dx
部分積分を使って解くと(途中省略です)
a[n]=2/(n^2*π^2){1-(-1)^n}  
  =nが偶数のとき 0
   nが奇数のとき 4/(n^2*π^2)
a[0]/2=1/2∫(-1から1)f(x)dx
   =1/2
f(x)~1/2+4/π^2{cos(πx)/1^2+cos(3πx)/3^2
+cos(5πx)/5^2+・・・・・}
と展開できます。
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展開する範囲はどこまでですか?


わからないのでとりあえず -1≦x≦1 で展開すると仮定します。
周期が2πでないので、周期を2に変える必要があります。
フーリエ係数はそれぞれ
a[n] = 2/τ∫f(x)cos(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
b[n] = 2/τ∫f(x)sin(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
ここで、τは周期(この問題の場合τ=2)
f(x)を周期関数とみなせば積分範囲は-τ/2≦x≦τ/2としてもいいです。
フーリエ級数は
F(x)=a[0]/2+Σ{a[n]cos(2πnx/τ)+b[n]sin(2πnx/τ)}
後は計算だけなので自分でやってください。

ちなみに、
偶関数の定義は
f(-x)=f(x)
が成り立つこと。

奇関数の定義は
f(-x)=-f(x)
が成り立つこと。
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Q球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

Aベストアンサー

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V(必ず正)を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV(すなわち被積分関数)が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の1つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ| ...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は(◆)の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ?となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか?

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸(θ軸)で囲まれた範囲[0~2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL:http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/1300568061

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか?

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因...続きを読む

Q関数f(x)は閉区間I=[0,1]で連続で、0≦f(x)≦1 (x∈I

関数f(x)は閉区間I=[0,1]で連続で、0≦f(x)≦1 (x∈I)を満たしているとする。この時、方程式f(x)=xはIで解を持つことを示してください。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

与式を移項して

f(x)-x=0

ここで、0≦f(x)≦1、0≦x≦1であるので、

x=0の時
f(0)-0≧0

x=1の時
f(1)-1≦0

関数f(x)は連続であるので、中間値の定理(でしたっけw)により
∃x∈I s.t. f(x)-x=0

意訳
f(x)-xのグラフを書くと、
x=0の時はx軸より上に点があって、
x=1の時はx軸より下に点があって、
連続な関数だからその点同士がなめらかにつながっているグラフが書ける。
そうしたらxが0から1の間で必ずグラフがx軸と交差する。
その点のx座標は
f(x)-x=0
つまり
f(x)=x
を満たすxである。

Q2B範囲の受験 定積分 体積 出題される?

カテゴリを迷ったのですが、まずはこちらで質問させてください

現行課程において大学受験の数学で「2Bが範囲」と銘打っているのに
定積分を用いて体積を求める問題が出題されたことはありますか?
(【定積分を使って求積すると楽な問題】とかでは無く
【実質的に定積分を使って求積しないと
試験時間内に正解できないような問題】という意味です)

それというのも、現行課程において定積分を用いて体積を求める手法が
3Cに入るのか、2Bに入るのかわかりにくいのです
建前上は3Cということになっているようなのですが
青チャート2Bですら「発展」という扱いで、定積分を用いた体積を求める手法を
紹介しているのです

Aベストアンサー

京都大学2002年後期文系数学の最後の問題がそれですね。
##1つ前の課程ですが、積分についての扱いは変わってないはずなので。

QD={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。

D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。
∬{(4x^2)-(y^2)}^1/2dxdyを求めよ。
但し、d/dt[t/2{(4a^2)-t^2}^(1/2)+(2a^2)sin^-1(t/2a)]={(4a^2)-t^2}^1/2
答えに逆関数は残ってしまいますか?
一応答えも載せて頂けるとありがたいです。

Aベストアンサー

int[y:0,x]dy/root{4x^2-y^2}=arcsin(x/2x)-arcsin(0,2x)=π/6.

int[x:0,1]π/6dx=π/6.

間違ってる?

Q電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのよう

電束密度Dと体積電荷密度σ間の関係を微分形、積分形であらわすとどのようになりますか?

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>ただ、電束密度Dと表面電荷密度ρ(C/m^2)の関係をもとめたいのです。
>マクスウェル方程式のdivD=ρを用いるのですか?

divD=ρこそが質問者さまが欲している関係式なのでは?
divが微分演算子なので、これが微分形。
この式を体積積分して、Gaussの定理を用いて積分形を得ます。

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

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定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

Q重積分の体積

重積分の体積の問題で分からないものがあります。
どなたか解説頼みます(__

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(3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。

(1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか?
(2)図示できなので範囲もわからないです^^;

それさえできればあとは積分するだけですよね?

(1),(2)の疑問を解説して下さい(__

Aベストアンサー

#1,#2です。

(1)
(1)も立体の図を作りましたので添付します。

A#1で書いた積分はできましたか?

当方の計算では「V=4π」と出ています。

(2)
当方の計算では「V=π/6」と出ています。

Qf(x)=1-|x|(-1≦x≦1),0(x<-1,1<x)

f(x)=1-|x|(-1≦x≦1),0(x<-1,1<x)

また、g(x)=∫0から1 f(t-x) dt とする。

このときy=g(x)のグラフがどうしても描けません。
g(1)=1/2であることは求めることができたのですが、ここからどうしていいかわかりません。

どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

少し形を変えれば、わかりやすくなるかもしれませんね。

その前に、y= f(x)のグラフは描いておく方がよいですね。

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と変形できます。
この積分の式をよく考えると、-x≦ u≦ 1-xという「幅が 1」の区間が xの値に応じて動くことになります。
この区間が -1≦ u≦ 1と重なる様子を考えてみてください。

Q2重積分を使った球の体積の求め方

漠然とした質問なんですが、球の体積を2重積分を用いて求めるのはどうしたらいいですか?
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原点を中心とする半径 R の球を考えることにします
xy 平面上の点 (x,y) のところでは球面までの高さが
(1)  z = √(R^2 - x^2 - y^2)
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D={(x,y)|0≦x≦1,x≦y≦1}
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>積分範囲がxは0からy、yは0からyにになるのがわからないです。0≦x≦1,x≦y≦1がなんでその積分範囲になるのでしょうか?

重積分する場合は、積分領域をxy座標平面にプロットして確認します。
その積分領域全体をカバーするように積分変数を1つずつ順に変化させていくことで、各変数の積分範囲が決まります。それが逐次積分法です。

今の問題の場合

∫[0,1]{∫[x,1] f(x,y)dy}dx

∫[0,1]{∫[0,y] f(x,y)dx}dy

どちらの順序で逐次積分しても、積分領域全体をカバーできます。
必ず積分領域をプロットして、積分をどの順序で行っているか確認
してください(そうすれば重積分が怖くなくなりますよ)。

なので、どちらでも積分でき同じ積分値が得られます。
しかし、積分のしやすさ(難易度)に差が出ますので、簡単に積分できる方を選んでやります。
したがって、どちらの逐次積分の順序もマスターしておき、より簡単に積分できる方を選ぶことがポイントになります。


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