f(x)={1+x(-1≦x≦0)
    {1-x(0≦x≦1)
f(x)のフーリエ級数は?

 偶関数・奇関数の見分け方とか
 計算過程も明記して貰えると
 ありがたいと思います。
 類似問題も解けるようになりたいので。

A 回答 (2件)

周期2Lの偶関数のフーリエ級数は


f(x)~a[0]/2+Σa[n]cos(nπx/L)
a[n]=1/L∫(-LからL)f(x)cos(nπx/L)dx
  =∫(-1から1)f(x)cos(nπx)dx
  =∫(-1から0)(1+x)cos(nπx)dx
   +∫(0から1)(1-x)cos(nπx)dx
部分積分を使って解くと(途中省略です)
a[n]=2/(n^2*π^2){1-(-1)^n}  
  =nが偶数のとき 0
   nが奇数のとき 4/(n^2*π^2)
a[0]/2=1/2∫(-1から1)f(x)dx
   =1/2
f(x)~1/2+4/π^2{cos(πx)/1^2+cos(3πx)/3^2
+cos(5πx)/5^2+・・・・・}
と展開できます。
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展開する範囲はどこまでですか?


わからないのでとりあえず -1≦x≦1 で展開すると仮定します。
周期が2πでないので、周期を2に変える必要があります。
フーリエ係数はそれぞれ
a[n] = 2/τ∫f(x)cos(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
b[n] = 2/τ∫f(x)sin(2πnx/τ)dx [積分範囲は0≦x≦τ]
ここで、τは周期(この問題の場合τ=2)
f(x)を周期関数とみなせば積分範囲は-τ/2≦x≦τ/2としてもいいです。
フーリエ級数は
F(x)=a[0]/2+Σ{a[n]cos(2πnx/τ)+b[n]sin(2πnx/τ)}
後は計算だけなので自分でやってください。

ちなみに、
偶関数の定義は
f(-x)=f(x)
が成り立つこと。

奇関数の定義は
f(-x)=-f(x)
が成り立つこと。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

与式を移項して

f(x)-x=0

ここで、0≦f(x)≦1、0≦x≦1であるので、

x=0の時
f(0)-0≧0

x=1の時
f(1)-1≦0

関数f(x)は連続であるので、中間値の定理(でしたっけw)により
∃x∈I s.t. f(x)-x=0

意訳
f(x)-xのグラフを書くと、
x=0の時はx軸より上に点があって、
x=1の時はx軸より下に点があって、
連続な関数だからその点同士がなめらかにつながっているグラフが書ける。
そうしたらxが0から1の間で必ずグラフがx軸と交差する。
その点のx座標は
f(x)-x=0
つまり
f(x)=x
を満たすxである。

QD={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。

D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。
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また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

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D={(x,y)|0≦x≦1,x≦y≦1}
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重積分する場合は、積分領域をxy座標平面にプロットして確認します。
その積分領域全体をカバーするように積分変数を1つずつ順に変化させていくことで、各変数の積分範囲が決まります。それが逐次積分法です。

今の問題の場合

∫[0,1]{∫[x,1] f(x,y)dy}dx

∫[0,1]{∫[0,y] f(x,y)dx}dy

どちらの順序で逐次積分しても、積分領域全体をカバーできます。
必ず積分領域をプロットして、積分をどの順序で行っているか確認
してください(そうすれば重積分が怖くなくなりますよ)。

なので、どちらでも積分でき同じ積分値が得られます。
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Aベストアンサー

「二次関数」とのことなので、きっと
  関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。

ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。

x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。

x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。

(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
  ↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?

(2)0<a≦2 ならば、x の範囲は 0~a≦2 なので、「 x=0 のとき最小値 2、x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということです。a=2はその特別な場合であり、この0<a≦2 の全ての a についてそうなるわけではありません。
この範囲なら、a=1 のときには x=1 で最大値 5 をとるし、a=2 なら x=2 で最大値 6 をとります。それをこの範囲の a について一般化して書けば「x=a のときに最大値 M=-a²+4a+2 をとる」ということなのです。

(3)2<a≦4 ならば、x の範囲は 0~2~a なので、x=2 を必ず含むので最大値は 6 で決まりです。x=4 のときには f(4) = 2 ですから、x=0 のときと同じです。
つまり、
 2<a<4 ならば、「 x=0 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
 a=4 ならば、「 x=0 および x=a=4 のとき最小値 2、x=2 のときに最大値 6 をとる」
ということになります。
 この場合には、a=4 以外のときには a は直接最小値には関係せず、a=4 のときだけが最小値に関係する特別な扱いとなります。
 上の(1)と同じように、「a=4 のとき」を特別に分けた方が適切かと思います。

(4)4<a ならば、x=a のときに x=0 よりも小さな値をとりますから、「 x=a のとき最小値 m = -a²+4a+2、x=2 のときに最大値 6 をとる」ということになります。

「二次関数」とのことなので、きっと
  関数 f(x) = -(x-2)² + 6 (0≦x≦a)
なのでしょうね。それで回答します。

ます、関数 f(x) = -(x-2)² + 6 のグラフは書けますか?
(2, 6)を頂点とする、上に凸の放物線です。

x<2 では単調増加、x=2 で最大、2<x で単調減少になります。

x の範囲が 0≦x≦a ですから、これと a の範囲とを混乱しないことが大切です。

(1)a=0 のときは、x=0 しかとり得ないので、f(0) = 2 です。最大値も最小値も「2」です。
  ↑ この場合分けがないのはどうしてなのでしょね?...続きを読む


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