期末テストが近いので勉強していたのですが…
   n
S= Σ k・2^k-1
   k=1
の解法よくわかりません。皆様よろしくお願いします。
答えは (n-1)2^n +1 です

A 回答 (1件)

 教科書に載ってません?これ。

ポイントは“公比をかけて、ズラして引け”って奴ですか。これって良く出てくるので今回の試験をついでに覚えちゃいましょうね。応用範囲広いし。

 等比数列の和の導き方覚えてますか?例えばan=3^nの第n項までの和。和をSとして

 S=3+3*3+3*3*3+・・・+3^n
3S=  3*3+3*3*3+3*3*3*3+・・・+3^n+3^(n+1)

 両辺引いて
 
 -2S=3-3^(n+1) ⇔S=2*3^(n+1)-6  ですね。教科書に載ってると思います。

 で、問題ですが同様にやります。和をSと置いて
  
  S=(1*2+2*4+3*8+・・・+n*2^n)-1 (・・・A)

 公比(=2)をかけて

 2S=    1*4+2*8+3*16+・・・+(n-1)*2^n+n*2^(n+1) -2 (・・・B)

 A-Bで

 -S=2+4+8+16+・・・+2^n-n*2^(n+1)+1
   
   =2^(n+1)-2-n*2^(n+1)+1  (∵等比数列の和の公式)
   
   =(1-n)2^(n+1)-1

 ∴ S=(n-1)2^(n-1)+1  (答)


  まぁ、知っていればごく簡単に解ける問題ですし、先に言ったように出題率・応用範囲広いですから、これを機にますたーしちゃいましょぉ。
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この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございました。
なるほど公比をかけるんですか。
よくわかりました。頭のもやもやがやっと晴れたような気がします。

お礼日時:2001/11/29 23:32

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Q階比数列??

数列で、隣接する2項の差をとったらそれが新しく等比数列になる数列は階比数列というのでしょうか?また、あるとすればこのような数列の一般項を導くことは可能でしょうか?

Aベストアンサー

隣接する2項の差をとっているので階差数列っていうんです。
階差数列が等比数列になっていてももちろん一般項は求まります。
《例題》
数列a(n):2,3,5,9,17,33,・・・ の一般項を求めよ。
《解答》
a(n)の階差数列をb(n)とすると、
b(n);1,2,4,8,16,・・・
となり、
b(n)=2^(n-1)
よって、
n>=2のとき
a(n)=a(1)+b(1)+b(2)+・・・+b(n-1)
=2+(2^(n-1)-1)/(2-1)
=2+2^(n-1)-1
=2^(n-1)+1
a(1)=2^0+1=2
となり初項と一致するので、
求める一般項は
a(n)=2^(n-1)+1
となる。

階差数列の和を求めることが出来ればもとの数列の一般項を求めることが出来ます。

QZ会の問題、Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}

Z会の問題で
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)=(1/4){1-(2n+1)(-1)^n}
というのがありました。
数学的帰納法を用いれば証明できますが、右辺の答えを知らない段階で、右辺を導く方法があれば教えてください。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)

Σ[k=1,n]k^3*(-1)^(k-1)

Σ[k=1,n]k^p*(-1)^(k-1)
などの公式をご存知の方は教えてください。

Aベストアンサー

一応、質問の回答もちょっとだけ。
等比級数の公式を導出したときみたいに、ずらして両辺を引き算する、
ていうので求まります。

あるいは、微積を使う方法もあります。(考え方は簡単な気がしますが、実際の計算は上の方法に比べて大変だったりしますが)
初項x、公比xの等比数列の和の公式より
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
です。
これを、両辺xで微分すれば、
Σ[k=1,n]k*x^(k-1) = …
て形になります。で、x=-1 を代入すれば、
Σ[k=1,n]k*(-1)^(k-1)
が求まります。

Σ[k=1,n]k^2*(-1)^(k-1)
の場合は、
Σ[k=1,n]x^k = {x-x^(n+1)}/(1-x)
から、
(1)両辺をxで微分して、(2)両辺にxをかけて、(3)もう一回両辺をxで微分する
と、
Σ[k=1,n]k^2*x^(k-1) = …
の形になります。で、x=-1を代入すればいいです。

Q数列について

(等比数列)
次の数列の一般項を求めよ。
(1)1,11,11111…
(2)125,125125,125125125,…

(等差数列)
数列A;2,5,8…1001 数列B;10,20,30,…1000はともに等差数列である。
(1)AとBとに共通に含まれる数はどんな数列をつくるか。

分からないんで分かりやすくよろしくお願いします。

Aベストアンサー

等比数列の問題のほう、きっとまだ習ってないでしょうが「漸化式」というものを使ってとくことも可能です。
いつか漸化式を習ったときに思い出してくださいね。

第n項をa(n)とかくことにすると、
a(1)=1
a(i)=10*a(i-1)+1
と立式できる。
この式を変形するとa(i)+1/9=10(a(i)+1/9)(この式変形がツボなんです)
ここでa(i)+1/9=b(i)とおくと・・・けっこううまくできます。

この問題のおすすめ解法は、「階差数列」「漸化式」「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」ですか。
「9倍して1を足し、最後に9で割る方法」は知ってたらできるけど、気づかなかったら・・・ねぇ。という感じがしなくもないです。
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でも、なんかちょっと変わった数列だな・・・と思ったら、階差数列をとることをお薦めします。(高校の数列の問題を解く分には、という限定ですが)


(等差数列)
「3でわって2あまる数」であり、かつ「10で割り切れる数」はどんな数ですか?
と書き換えれば、とたんに小学生か中学生の問題にはやがわりします。^^

しかし式でまじめにやろうと思うと、意外や意外、「不定方程式の整数解」問題という、少し高級な問題になってしまいます。

共通の数を3a+2=10b(a,bは整数)とおいて、この方程式を解くことになります。
まず(a,b)=(6,2)は解なので、3(a-6)=10(b-2)と書けます。
ここで、左辺は3の倍数なので右辺も3の倍数、でも10は3の倍数でないから、「b-2が3の倍数である」ことがいえます.
よって、b-2=3k(kは整数)とおける。このときa-6=10k、(共通の数)=30k+20
あとはkを求めれば完璧。^^

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QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q「日常生活における数列」とはどういう意味でしょうか?

「日常生活における数列」とはどういう意味でしょうか?

質問を見てくださりありがとうございます。
質問内容は上記の事です。

課題の主題が「日常生活における数列」なのですが、どういう内容にすればいいかわからず困っています・・・。

・日常生活で数列で表現できるものを調べる。
・日常生活で数列で表現されているものを調べる。(バーコードなど)
・日常生活で数列を利用したものを調べる。(自然界とフィボナッチ数列の関係など)

上記の内、どれを目的(?)に調べたら良いのでしょうか・・・?


ただ補足に「いままでの学習の復習をかねている」とあるのですが、
習っていないような数列や計算をものを調べるのは、だめでしょうか?(乱数列など)
習ったのは、等差数列、等比数列、階差数列、漸化式です。


よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>日常生活で数列で表現できるものを調べる

例1)誕生日から始めて毎日100円づつ貯金します。

誕生日からn日後(その日の貯金後)の貯金額a(n)は

a(n)=100n
漸化式表示では a(n)-a(n-1)=100, a(1)=100

例2)年利r%の複利で100万円預金した時、n年後の元利合計b(n)は
b(n)=1000,000(1+r/100)^(n-1)
漸化式表示では b(n)/b(n-1)=1+r/100, b(0)=1000,000

その他、今年の結果が来年の何かに影響する場合等、無数にあります。
 

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q【数列の問題】

等差数列2,5,8……を{an}、等比数列2,-4,8……を{bn}とする。
数列{an}と数列{bn}との両方に含まれる数を順に取り出してできる
数列{cn}の一般項は?

答え
cn=2^(2n-1)

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(_)m

Aベストアンサー

すみません。書き間違いです。
等比数列です。

No.1は、等比数列の初項から2項おきに現れる数が、等差数列に必ず現れるということがわかります。
よーく読んでみてください。

QParsevalの等式と指示された関数を使ってΣ[k=1..∞]1/(2k-1)^2とΣ[k=1..∞]1/k^2の和を求めよ

[問] (1) 直交系{sin(nx)}は[0,π]で完全とする。Parsevalの不等式は
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π](f(x))^2dxとなる。但し
,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx
(2) Parsevalの等式と指示された関数を使って次の級数の和を求めよ。
(i) Σ[k=1..∞]1/(2k-1)^2,f(x)=1
(ii) Σ[k=1..∞]1/k^2,f(x)=x


で(2)の求め方が分かりません。
b_n=2/π∫[0..π]1・sin(nx)dx=2/π∫[0..π]sin(nx)dx=2/π[-1/ncos(nx)]^π_0=4/(nπ)
Σ[n=1..∞](b_n)^2=2/π∫[0..π]f(x)^2dx=2/π∫[0..π]1dx=2/π[x]^π_0=2/π・π=2

となったのですがこれからどうすればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

偶関数だからというより、nが偶数のとき
 b_n = 2/π∫[0..π] sin(nx)dx
は n/2周期にわたる積分になるので0です。

Q公差または公比の集合が等差数列や等比数列になっている数列

こんにちは
私は今、一般常識の練習をしています。
数学の質問です。
数学って難しいですね。
小学生の頃はいつも100点だったのに、いつから嫌いになったのでしょう。
おっと、そんな話は置いておいて
数列についての質問です。
数列の種類って何がありますか。
等差数列と等比数列の他にも、いくつか種類があったような気がしてならないのですがどうでしょう。
たとえば76,64,54,46,40,36です。
この数列の公差の集合は-12,-10,-8,-6,-4というふうに等差数列になっています。
このような数列は何数列というのですか。
変差数列とか順差数列とか、そんな感じの名前ではなかったでしょうか。
でも検索しても、そんな名前は見つかりませんでした。
数年前までは高校生だったのに私の記憶も大したこと無いですね。

Aベストアンサー

zyousukeさん、こんばんは。
お返事、ありがとうございます。

>階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。

そうそう!そういった感じです。
ただ「公差」というのは、「等差数列で、隣り合う2つの項の差」をいいます。
公、というのは、等しい、というイメージがあります。
ですから、一般の数列のある項と、その一つ前の項の差は、「公差」とはいわないです。
(けっこう細かくてすみません。ちょっと違和感あったもので・・)
zyousukeさんのいわんとしているところは、分かりますよ!それでいいのです。

>例えば数列1,2,3,4,5,6の階差数列は1,1,1,1,1という具合でしょうか。

そうです、そうです。
もともとが、等差数列である、1,2,3,4,5・・・は
ある項と、その一つ前の項との差を取ってみると
(階差をとってみると)
1,1,1,1,1・・と等しい数字が並ぶはずですよね。

>「階差数列が、等差数列になっている、数列」は何数列というのですか。

そうですね・・・これに何という名前がついているかは聞いたことがありません。
もしかして、ネーミングされていたら私の勉強不足です、すみません。
あくまでも、階差数列が、等差数列になっているような(特徴を持った)数列、
という風にとらえていただければいいかと思います。

PS.階差数列の階とは、段階の階です。
ある項から、次の項にいく段階だと思ってください。
その差を考えてみたときに、zyousukeさんが知りたいような
等差数列の特徴を持っていたり、等比数列の特徴を持っていたりすることがある、ということなんですね。
階差数列が、そのような特徴を持つとき、もともとの数列をnを用いて表すことができます。
ですから、一見、何の特徴もない数列の一般項を考えよ、という問題が出たときは
階差数列を考えて見ると、大変有効である場合が多いです。

ご参考になればうれしいです。

zyousukeさん、こんばんは。
お返事、ありがとうございます。

>階差数列とは、ある一定の性質を持った数列という概念ではなく、ある数列に対して、その数列の公差の集合そのものを指していたのですね。

そうそう!そういった感じです。
ただ「公差」というのは、「等差数列で、隣り合う2つの項の差」をいいます。
公、というのは、等しい、というイメージがあります。
ですから、一般の数列のある項と、その一つ前の項の差は、「公差」とはいわないです。
(けっこう細かくてすみません。ちょっと違...続きを読む

QΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4となる為のnの大きさは?

皆様、宜しくお願い致します。下記の問題でたいそう難儀しております。

[問]与えられたΣ[k=1..∞](-1)^(k+1)/k^2=π^2/12において,|π^2/12-s(n)|<10^-4
となる為にはどのくらい大きい自然数nが選ばれねばならないか決定せよ。
但し,s(n)はこの級数のn項迄の部分和を表す。

という問題なのですがこれはどのようにして解けばいいのでしょうか?

Aベストアンサー

全部答えるとルール違反なので方針だけ。

Σ[k=n+1..∞](-1)^(k+1)/k^2

の絶対値が 10^(-4) よりも小さくなる条件を求めればよい。


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