空間に体積V、表面Sの領域を考えたとき、
粒子の存在確率Pの時間変化 φ※:ファイ・スター
                 r:空間ベクトル
 (dP/dt)=(∂/∂t)∫vφ※(r,t)・φ(r,t)dr
      =∫v((∂φ※/∂t)φ+φ※(∂φ/∂t))dr
という式から、
 (∂/∂t)∫ρdr+∫Sn・dA=0
を導出するときの途中計算を教えて下さい。

iH(∂/∂t)φ(x,t)=-(H^2/2m)(∂^2/∂x^2)φ(x,t)+V(x)φ(x,t)
及び、この複素共役式を利用し、 (H:エイチ・バー)
∇・(φ※∇φ)=∇φ※+∇φ+φ※∇^2φ
などのベクトル演算子も用いて解くそうです。

如何なものでしょうか?

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A 回答 (3件)

siegmund です.



> プランク定数/2πもハミルトニアンも同じHじゃ困っちゃいます.
ハミルトニアンを普通Hで表現するから,...
というつもりだったのですが,書き方がまずかったです.

補足を拝見しましたが,これ自体がほとんど完全でていねいな導出になっています.
これで途中が埋まらないのでしたら,
たまたまこの問題がわからないというよりは,
それ以前のところに問題があるように思えます.

以下のあたりを確認してください.

○ 波動関数の時間微分とハミルトニアンを作用させることとの関連はOK?
  (要するに時間依存のシュレーディンガー方程式)
○ φ* に対するシュレーディンガー方程式はOK?
○ Δ(ラプラシアン)はOK?
○ 勾配(grad),発散(div),ナブラ(∇)はOK?
○ ∇・(φ※∇φ)=∇φ※+∇φ+φ※∇^2φ はちょっと変ですね.
  ∇・(φ※∇φ)=(∇φ※)(∇φ)+φ※∇^2φです.
  要するに,∇は微分演算子ですから,積の微分の公式に相当します.
○ ガウスの発散定理∫v∇・Sdr=∫vdivSdr=∫sSn・dA はOK?
  わからなければ電磁気,あるいはベクトル解析のテキストを探してください.
  体積積分を表面積分に変換する定理です.
○ Sは「流れの密度」「流束密度」などという量ですが,OK?

> ∫sSn・dAは表面Sを通って流出する粒子の流れの密度Sの面積和だそうです。
> それが∫vρdVの時間変化に等しいと。
の意味はOKですか?
ある領域をとって,その領域内の粒子密度の時間変化を見ます.
粒子は勝手に生まれたり消滅したりしませんから,
密度が減少すればその分はその領域から外へ流れ出ているわけです.
流れ出る量を表しているのが ∫sSn・dA です.
連続というのは上のようなことです.

この回答への補足

細かな追記、ありがとうございます。

△、勾配、発散、∇、ガウスの発散定理など、
これらは今ある資料で調べられると思いますが、
他の項目については駄目かもしれません。

ハミルトニアンに至っては、
ノートの三分の一しか使っていませんし、
なにより関わった事もない専門でもないものを
たかだか4・5時間の講義でと言うのが無茶です。

いずれにしても、私の知識では解けませんので、
空き時間を見つけて図書室にでも行って見ます。
他の計算だけの問題なら何とか解けそうですし。

大体、教えてないところを出題されても意味がわからない・・・。
終了45分前まで井戸型ポテンシャルだったのに。

補足日時:2001/12/02 12:41
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siegmund です.



今の話では
-(H^2/2m)(∂^2/∂x^2)+V(x)
がハミルトニアンです.
3次元なら
-(H^2/2m)Δ+V(x)
第1項が運動エネルギー,第2項がポテンシャルエネルギーです.
これを波動関数に作用させたものが本質的に波動関数の時間微分
(係数がつきますが)だというのがシュレーディンガー方程式です.

> 大体、教えてないところを出題されても意味がわからない・・・。
う~ん,質問内容からして,powerless さんは大学生ですよね.
それなら,自分でいろいろ調べて考える,というところがあっても
いいと思うんですがね.
いつまでも他人が懇切丁寧に教えてくれるわけではありませんから
(ちょっとレベルが高くなればそもそもそういうことは不可能です),
今のうちに自分で調べたり考えたりする習慣をつけておきたいところです.
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この回答へのお礼

>自分でいろいろ調べて考える
勿論のことです。
私だって自分で調べています。
只、課題の数が非常に多いものですから
こうして多方面に資料や助言を求めている訳です。
今回の量子の課題も、あと2つ別問題がありましたし、
反応工学や材料組織学、移動現象に応用数学からも出ています。
従って、自分が調べたくないから掲示をしているのではないと
この場を借りてことわっておきます。
しかし、seigmundさんの多岐にわたる解答には感謝しております。
本当にありがとうございました。
まぁ、ガウスの定理使用後の式の複素数〔i〕が
参考書・資料によって分母に来ていたり分子に来ていたりしたのが
何気に気になったのですが、本当のところは如何なのでしょう。
因みに私は分母でした。

お礼日時:2001/12/07 21:58

どうもレポート問題みたいですので


(前の井戸型ポテンシャルの時もそうでしたね),
ヒントのみ.
大体,量子力学のテキストをいくつか漁れば見つかるはずと
思うんですがね.

そもそも,式の書き方がちょっと....
全角,半角の区別があるとはいえ,プランク定数/2πもハミルトニアンも
同じHじゃ困っちゃいます.
それから,∫Sn・dAもなんだかわかりません.
面積分のはずですが,S が領域? n は? A は?

(1)  (dP/dt)=(∂/∂t)∫vφ*(r,t)・φ(r,t)dr
        =∫v((∂φ*/∂t)φ+φ*(∂φ/∂t))dr
で,(∂φ*/∂t)などは H を用いて表現できますね.
H の具体形を入れれば,ポテンシャルの項は消えて,
ラプラシアンのところが
(2)  φΔφ* - φ*Δφ = div(φ∇φ* - φ*∇φ)
ですが,これの体積積分はガウスの発散定理で表面積分に変換できますね.
そこが,本質的に ∫Sn・dA に相当するはず.

いわゆる,連続の方程式の量子力学版です.

この回答への補足

今回の問題に関しては、出題者側からの説明は一切ありませんでした。
 「こんな風に計算していけばでるでしょう」というものです。
 参考書が省いた計算を記述する類いなので、
 他の資料でも調べてみたいのですが、それは今度の空き時間にでも。
 今度は全文記入します。
 前は幾つか記入ミスがありましたので、すみません。


 (H:エイチバー)(S,r:ベクトル表記されています)
 (Sn:説明は有りませんでした。) 

 空間に体積V、表面Sの領域を考え、
 この内部の粒子の存在確率Pの時間変化を考えると

  (dP/dt)=(∂/∂t)∫vφ*(r,t)・φ(r,t)dr
       =∫v((∂φ*/∂t)φ+φ*(∂φ/∂t))dr

 これに下式、及びこの複素共役式を用いると 

  [式]iH(∂/∂t)φ(x,t)=-(H^2/2m)(∂^2/∂x^2)φ(x,t)+V(x)φ(x,t)

  (dP/dt)=(-iH/2m)∫v(φ*∇^2φ -(∇^2φ*)φ)dr

 ∇・(φ※∇φ)=∇φ※+∇φ+φ※∇^2φ などのベクトル演算子を用いると、

  (dP/dt)=(iH/2m)∫v[φ*∇φ -φ∇φ*]dr

 更に

  ∫v∇・Sdr=∫vdivSdr=∫sSn・dA

 のガウスの定理を用いると、結局

  (dP/dt)=(iH/2m)∫v[φ*∇φ -φ∇φ*]ndA
       =(iH/2m)∫v[φ*(∂φ/∂n) -φ(∂φ*/∂n)]dA

 のように表される。ここで、ρ(r,t)=│φ(r,t)│^2の確率密度以外に

  S=(-iH/2m)[φ*∇φ -φ∇φ*]

 という量を定義すれば
 
  (∂/∂t)∫vρdV+∫sSn・dA=0   【 以上、全文 】


 ∫sSn・dAは表面Sを通って流出する粒子の流れの密度Sの面積和だそうです。
 それが∫vρdVの時間変化に等しいと。
 尚、ハミルトニアンとやらは説明文中には見当たりません。
 ガウスの発散定理、連続の式とかも判りません。

補足日時:2001/12/01 17:20
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この問題は、
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3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
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質問者さんの疑問?は、コンビネーションの特徴が起因しているのではないと思います。#1さんのお話と同じなんだと思うんですが、うまく説明できるかな・・・。

この問題は、
1) 15人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 15C5
2) それをAグループとする   ・・・ ???
3) 10人から5人を選び出す  ・・・ コンビネーション 10C5
4) それをBグループとする   ・・・ ???
5) 残った5人をCグループとする ・・・ 1通り

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>2)「∂D/∂tを無視したとき、コンデンサー回路などに対して、オームの法則が成り立つ」というのは、∂D/∂tはオームの法則で言うところの電流ではない、という意味だと捉えてよろしいでしょうか?

 そうです。∂D/∂tは真電流ではなく、従って荷電粒子の流れではありません。電場の時間変動に比例する量(比例定数は誘電率)です。しかしそれが磁場に対して、真電流と同じ効果を持つからには、∂D/∂tはたんなる数学的量ではなく、何らかの物理的実在を表していると考えざる得ない、というのが今の立場だと思います。それが、電磁場という物理的実在の電の側面を表している、という言い方です。

 お礼の1)(お礼を頂き、ありがとうございます)に関連するので、オームの法則について少し言わせて下さい。

 オームの法則はもちろん、オーム先生がR回路で導いたものです。R回路の電流は、起電力に比例し抵抗に逆比例する。抵抗は電線(導線)の長さに比例し、断面積に逆比例する、です。つまりオーム先生は最初から真電流の事しか相手にしていません。これは非常に良い近似である事が後にわかります(本当は電束電流∂D/∂tもあるから)。

 ところで、電池の+極から出発して-極にR回路を一周して戻った時、電圧は0になる必要がある事を、オームの法則の前半から導けます。そして導電材料が一様であれば、回路抵抗は導線の長さに比例するので、回路に沿った起電力の電圧降下は、回路長に比例する事を、後半から導けます。

 一方オームの法則と前後して、電圧とは、回路に沿った電場の積分値である事が知られます(積分パラメータは回路長)。従って電圧降下の傾きそのものが、電場だという事になります。電場の向きは、電圧降下を起こす方向、回路に沿った方向になり、導線内で電場は一定です。導線のような1次元材料でなく、3次元的に拡がった任意の導体内部の1点でも、局所的にこの状況が成り立つと仮定すると、導体材料内の任意の方向に対して、

  ρ j =E      (1)

が成り立ちます。ここでρは、3次元的に拡がった導体内部の一点で、「電流密度 j 」用に、回路抵抗値Rを、単位長さ単位断面積当たりに規格化した、電気抵抗率と言われる材料定数です。(Eは、その点での電場です)。ρとRには、オームの法則から、

  ρ=R・s/L

の関係があります。sは導線の断面積,Lは回路(一様抵抗)長です。ρの逆数σを電気伝導率と言い、(1)のρを移項して、

   j =σE      (2)

と書けるので、(2)より、3次元的な導体の各点の電流密度(真電流密度)は、その点に作用する電場に比例する、という結果になります。(2)が一般化されたオームの法則です。


>1)「実用回路では、 j に比べて∂D/∂tは非常に小さい」のは、細い電線とぶっとい電極とは太さが違うからと考えて良いのでしょうか?積分した∫jdsと、∫(∂D/∂t)dsは同じ値になるのではないかと思います。

 そうですよね。 j は電流「密度」であり、Dは正確には電束密度で、∂D/∂tは電束電流密度です。すいません。少し嘘を書きました。まず「電線内(導線内)」での j と∂D/∂tの大きさを比較しますが、コンデンサーの充電回路だと外部起電力(電池)Vがあって面倒なので、初期電圧V0で充電されたコンデンサーの放電回路で考えます。

 (2)から j は、電線内の電場Eに比例します。オリジナルのオームの法則から、E=V/Lです。ここでV<V0は、放電過程でのコンデンサーの電圧です。一方、電束電流密度は、

  ∂D/∂t=ε・dE/dt    (3)

と書けます。εは、電線の誘電率です。真空の誘電率をε0とすれば、実用的に導体と考えられる銅などの比誘電率χは、10~100程度なので、ε=10・ε0~100・ε0程度です。よって(2),(3)より、「導線内では」、

  |∂D/∂t|/| j |~ε/σ   (4)

が得られます。「~」は概ね等しいの意味です。(4)の根拠は、最も粗い近似として、|E|~|dE/dt|だろうです。例えば|E|の最大値に対して、大きすぎる|dE/dt|があったとすれば、その効果で|E|は最大値を超えたしまうはずだ、という発想で、物理では最も粗い近似として良く使われます。つまり、|dE/dt|≦k・max|E|となり、kは馬鹿みたいに大きくならないはずだ、という話です。

 そうすると(4)から、εとσの大きさ勝負です。MKSA単位系で言うと、ε0は10^(-12)程度なので、ε=10^(-11)~10^(-10)の範囲です。現実の金属でσは、10^8程度の大きさを持ちます。従って、

  |∂D/∂t|/| j |~10^(-18)   (5)

という事になり、|dE/dt|≦k・max|E|のkが多少大きかったところで焼け石に水であり、| j |に比較して、|∂D/∂t|は無視できるであろう、という話になります。(5)の比は、現実の物理的効果(結果は無次元)を表すので、MKSA単位系だけに限った話ではありません。どんな単位j系を採用しても、こうなります。ただしこれは、「電線内(導線内)に限った」話です。電線内に限れば、∂D/∂tは無視できます。


 次に極板間の電束電流です。コンデンサーの放電回路において、ある瞬間のコンデンサーの電圧Vに対し、導線内には、I=V/Rの真電流が流れます。それに対応して、コンデンサーの極板上には平均して、 j =I/Sの真電流の「電流密度」が存在します。Sは極板の面積です。この電荷移動の流れが、電線に集約されて放電が起き、電線の真電流 I を作ります。

 ここに「電束電流を含めた電荷保存則」を、極板体積に対する電荷量の流出入収支に適用すると、極板間には、 j =I/Sの電束電流密度がなければならない事になります。極板面積Sをかければ、電束電流 I =I/S×Sなので、極板間の電束電流は無視できない事になります。これが前回の「嘘」です。


 しかし実用回路において、コンデンサーの極板面積Sは、回路全体からみれば無視しうるものです。コンデンサーという「部品」は、回路全体からみれば小さいものだと思えませんか?。そうすると結局、回路全体としてはいたるところで電流 I が流れていた、という事になり、真電流,電束電流の違いを気にする必要はなくなります。電束電流の効果が、磁場に対して真電流と同じだからです。しかもコンデンサーの極板距離は、回路長に対してすごく短いのが普通です。


 以上が、実用回路理論の前提と思えます。 

>2)「∂D/∂tを無視したとき、コンデンサー回路などに対して、オームの法則が成り立つ」というのは、∂D/∂tはオームの法則で言うところの電流ではない、という意味だと捉えてよろしいでしょうか?

 そうです。∂D/∂tは真電流ではなく、従って荷電粒子の流れではありません。電場の時間変動に比例する量(比例定数は誘電率)です。しかしそれが磁場に対して、真電流と同じ効果を持つからには、∂D/∂tはたんなる数学的量ではなく、何らかの物理的実在を表していると考えざる得ない、というのが今の立場だと思います。...続きを読む

Q数学 確率の問題

9枚のカードがあり、カードの表にはそれぞれ「2」「3」「4」「5」「6」「7」「8」「9」「10」の数が書かれている。
また、裏にはすべて「1」が書かれている。
これらのカードを投げたときに、それぞれのカードの表が上側になる確率と裏が上側になる確率は、ともに1/2であるとする。
9枚のカードすべてを同時に投げて、各カードの上側に現れた数をすべて掛けあわせた値を得点とする。
次の問に答えよ。

(1)得点が8点になる確率を求めよ。
(2)得点が偶数になる確率を求めよ。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。

という問題でコンビネーションが使えない理由を教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

ANo.1です。
済みません。(3)の場合分けをミスりましたので、
以下の通り訂正します。ご迷惑をおかけしました。
(3)得点が8の倍数になる確率を求めよ。
(ア)「8」が表の全ての場合:確率=1/2
(イ)「8」「6」「10」が裏、「4」「2」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ウ)「8」「2」「10」が裏、「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(エ)「8」「6」「2」が裏、「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(オ)「8」「2」が裏、「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(カ)「8」「6」が裏、「2」「4」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(キ)「8」「10」が裏、「2」「4」「6」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ク)「8」「4」が裏、「2」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
(ケ)「8」が裏、「2」「4」「6」「10」が表の場合
:確率=(1/2)^5
求める確率は以上の合計=(1/2)+8*(1/2)^5=24/32=3/4・・・答え

Q加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2

加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)
という公式があったのですが、(d^2 x) /(dt^2)はどうやって出せばよいのでしょうか?
dv/dt のvに
v=dx/dt
を代入すると
a=(d^2 x) /(d^2 t^2)
になってしまいます。
計算がまちがっているのでしょうか?

Aベストアンサー

微分でわからなくなったら差にして考えてみてください。

速度vというのは、Δtを十分に小さい量として

v(t) = [ x(t+Δt)-x(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δx(t)/Δt

ですね。同じようにして加速度a(t)は

a(t) = [ v(t+Δt)-v(t) ]/[ (t+Δt)-t ] = Δv(t)/Δt

ですが、v(t)に上の結果を使うと

a(t) = Δv(t)/Δt = Δ[Δx(t)/Δt]/Δt = Δ[Δx(t)]/(Δt)^2

です。

微分というのはΔt→0の極限を取ったときにΔをdと書くという
約束になっているというだけのことなので、

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt^2)

は間違いで、本当は

a=dv/dt = (d^2 x) /(dt)^2

という意味です。

また、

a=(d^2 x) /(d^2 t^2)

も間違いです。こう書いてしまうと分母はΔ(Δt^2)という意味になってしまいます。


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