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f1(x)=(e^x)(cosx)
f2(x)=(e^x)(sinx)
f1,f2は1次独立であるかどうか?
ロンスキアン利用で解く方法があると思いますが、詳しく解き方を教えてください。

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A 回答 (3件)

普通、ロンスキヤンの一次独立性を証明するには、やはり、線型同次微分方程式との関係を使って証明します。

しかし、敢えて証明するとなれば、以下のようになるでしょう。

f1,f2,...,fnを関数とし、
W(f1,f2,...,fn))≠0であるとします。
c1,c2,...,cnを定数としたとき、恒等的に
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
が成り立つならば、
c1f1+c2f2+...+cnfn=0
c1f1'+c2f2'+...+cnfn'=0
c1f1''+c2f2''+...+cnfn''=0
............................
c1f1^(n-1)+c2f2^(n-1)+...+cnfn^(n-1)=0

がなりたちます。ところが、W(f1,f2,...,fn))≠0ですから、c1=c2=...=cn=0となります。(行列で表現された連立方程式「Ax=0が|A|≠0であるならば、これは自明な解x=0しか持つことができない」という定理はご存じですね)
したがって、f1,f2,...,fnは一次独立です。

ここで、少し補足をさせていただくと、No1では、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立
の逆は一般的に成り立たないことをのべましたが、線型微分方程式との関係(連続、微分可能性という条件)で証明すれば、
W(f1,f2,...,fn)≠0⇔関数f1,f2,..,fnは一次独立
が成り立ちます。

それから、少しよけいなことを述べさせて頂くと、サラスの方法というのは3行3列の行列式の展開方法のことですので、2行2列の行列式の場合は特に名前はなかったような気がします。

この回答への補足

非常に詳しく丁寧な回答をしていただき、誠にありがとうございます。

度々の無礼で申し上げにくいのですが、学力の低い私でもわかるように、簡単に解説して頂きたいのです。この際厳密性にはこだわらず(専門書や教科書に載っているので)、感覚的にわかるようにご教授願います。御手数をお掛けしてすみません。

補足日時:2005/11/17 18:56
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    • 1
この回答へのお礼

有難うございました。

お礼日時:2005/11/27 12:09

マナー違反になりますので、ご自分で計算して、どこまで導けたのか、途中の計算の過程を書いて下さい。

また、理解できないところはどこなのかを具体的に書いて下さい。ご自分の努力の形跡が見られない質問は削除の対象とされます。

それから、話は逸れますが、1つお伺いします。このロンスキャンはどの場面で出されたものですか。線形代数学と書いてあるのですが、実際どうでしょうか。普通は線型微分方程式の特殊解の一次独立性を論じるときに必要とされますね。

この回答への補足

行列式で1行に元の関数、2行に導関数を並べ行列式をサラスの公理で展開しe^2xになったのですが、そもそもロンスキアン利用で1次独立であることの条件がわかっていないのです。(行列式)≠0で1次独立ということができるのかという部分です。解説を見るとロンスキアン≠0となるx∈(実数)があるで終わっていて、よく理解できません。つまりどういうこと?となってしまっているのです。ロンスキアン自体よくわかっていないのです。それは、線形微分方程式で本来なら主に扱われるべきなのかわかりませんが(まだそういうレベルではないので)補足的に特に何の説明もなくロンスキアンがでてきたので戸惑っていました。
申し訳ありませんが、そもそもロンスキアンとは何ですか?ロンスキアンで1次独立が言える理由がわかりません。

補足日時:2005/11/15 21:59
    • good
    • 1

関数f1,f2,...fnのロンスキャンをW(f1,f2,...,fn)としたとき、注意しなければならないことは、



W(f1,f2,...,fn)≠0⇒関数f1,f2,..,fnは一次独立

は成り立ちますが、逆は一般的には、成り立たないことです。

ロンスキャンを求めるには、定義の式にそのまま当てはめればよいだけのことです。

W(f1,f2)=| f1 f2 |
    | f1' f2' |

これはご自分で計算して下さい。
結果はe^(2x)となり、恒等的に0にはなりません。従って1次独立です。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

回答がいまいち理解できません(私の勉強不足で)。もう少し、詳しく薄才の私でもわかるようご教授ください。お願いします。

補足日時:2005/11/14 23:00
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    • 0
この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ロンスキアンの実態が掴めません。なぜ必要十分的に成立しないのか
?です。

お礼日時:2005/11/15 22:16

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Qロンスキアンと一次独立性について

ロンスキアンと一次独立性について

f(x)=x^3, g(x)=|x^3|
という関数があり、これの一次独立性をロンスキアンを用いて調べてみようと思います。
f'=3x^2(x:任意実数), g'=3x^2(x>=0), -3x^3(x<0)
よりロンスキアンW(f,g)=fg'-f'g=0 (-∞,-∞)となります。
これはf,gが一次従属であることを示します。
しかし一方でA,Bを定数として任意の実数xに対して、Af+Bg=0
となるようなA,BはA=B=0しかありません。つまりこれは一次独立であることを表しています。

どこが間違っているのでしょうか?「ロンスキアン≠0⇔一次独立」は微分方程式を絡めたときでないと成り立たないなどと書いてあるものもありますがよく分かりません。
何か大きな勘違いをしているような気もします。
是非ご存じの方いましたら回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

n×n型のロンスキアンが ≠0 であることは、
n連立1階斉次線型微分方程式のn個の階が一次独立であるための条件
であって、それ以外のことは判定できない。

この質問の f, g は、2連立1階斉次線型微分方程式の解にならない
(そのような微分方程式が存在しない) ので、
ロンスキアンを用いて独立性を判定することはできない。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q一次従属の問題

「3個のベクトル
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3) 
 C=(2,1,a) が1次従属であるためには,aはいくらでなければならないか。」

という問題が学校で出されましたが、さっぱりわかりません。
ぜひ、教えてください。お願いします。  

Aベストアンサー

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求めよ。

【解答】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が、線形従属であるための条件は、
 xA+yB+zC=(0,0,0)
 (x,y,z)≠(0,0,0)
を満たす x,y,z が存在することである。
 xA+yB+zC
 =x(1,1,1)+y(1,-2,3)+z(2,1,a)
 =(x+y+2z,x-2y+z,x+3y+az)
 =(0,0,0)
より、
 x+y+2z=0 … (1)
 x-2y+z=0 … (2)
 x+3y+az=0 … (3)
(1)-(2)
 3y+z=0
 ∴ z=-3y … (4)
(1)×a-(3)×2
 (a-2)x+(a-6)y=0
 ∴ (a-2)x=(6-a)y … (5)
(イ)a=2であるとき
(5),(4),(1)から、
 x=0, y=0, z=0
(ロ)a≠2であるとき
(5)から、
 x=(6-a)y/(a-2)={-1+4/(a-2)}y … (6)
(4),(6)を(1)に代入すれば、
 {-1+4/(a-2)}y+y-6y={-6+4/(a-2)}y=0 … (7)
(あ)y=0であるとき
(4),(5)から、
 x=0, z=0
(い)y≠0であるとき
(7)から、
 -6+4/(a-2)=0
 ∴ a=8/3
以上より、a=8/3ならば、例えば、y=1のとき、(4),(6)から、
 x=5, z=-3
であるから、
 xA+yB+zC=5(1,1,1)+(1,-2,3)-3(2,1,8/3)=0
が成り立つ。ゆえに、
 a=8/3 … (Ans.)

参考URL:http://www4.justnet.ne.jp/~masema/linear_space.html

【線形独立と線形従属の定義】
K上の線形空間Xの元 x1,x2,・・・,xn について、
 a1x1+a2x2+・・・+anxn=0
を満たす ak (k=1,2,・・・,n) が、
 a1=a2=・・・=an=0
だけであるとき、x1,x2,・・・,xn は線形独立(linear independent)、または、一次独立であるという。また、線形独立でないとき、線形従属(linear dependent)であるという。また、一般に、空集合φは線形独立であると定義する。

【問題】
3つのベクトル、
 A=(1,1,1)
 B=(1,-2,3)
 C=(2,1,a)
が線形従属であるとき、aの値を求め...続きを読む

Qジョルダン標準形ってなんのため?

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう(歴史的)要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか?

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
v(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
x’(t)=A・x(t)+v(t)としたときに
正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列になるならば
x(t)を簡単に求めることができます
しかし正則行列PによってP^(-1)・A・Pが対角行列にならなくても
正則行列PによってP^(-1)・A・Pがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にx(t)を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは?

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子(あるいは行列子因子)による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
x(t)を要素がtの関数の列ベクトルとし
Aを要素が定数の正方行列とし
...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q一次独立

(1)V=C^0(R)(←R上の実数値連続関数の全体)
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。

(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。


(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立(線形独立)になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0
e^x≠0なので、c_1+c_2・e^2+c_3・e^3=0
e^2≠0,e^3≠0より
c_1=c_2=c_3=0になる。
という導き方でいいのでしょうか?

(2)の方は、問題の意味がよく分からないので、詳しく教えていただけると助かります。
よろしくお願いします。

(1)V=C^0(R)(←R上の実数値連続関数の全体)
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であること示せ。

(2)v_1=e^(a_1・x),…,v_r=e^(a_r・x)
a_1,…,a_rはどの2つも同じでないは、一次独立であることを示せ。
ヒント:微分、ファンデルモンドの行列式を使う。


(1)は、一次独立の定義より、c_1・v_1+c_2・v_2+c_3・v_3=0となるc_1,c_2,c_3∈Rがc_1=c_2=c_3=0を導き出せば、一次独立(線形独立)になることは分かります。
c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0

とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0 ・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。

この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、(ア)(イ)(ウ)をc_1,c_2,c_3の連立方程式を解くわけです。
よって 
(e^x e^(2x) e^(3x) ) ( c_1 ) (0)
(e^x 2e^(2x) 3e^(3x) ) ( c_2 ) = (0)
(e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)) (c_3 ) (0)
を解けばよい。そこで、上の行列をAとおいたとき、
detA≠0を示せばよいのです。
   |e^x e^(2x) e^(3x) |
detA= |e^x 2e^(2x) 3e^(3x) |
   |e^x 2^2e^(2x) 3^2e^(3x)|

=e^{(1+2+3)x}
| 1 1 1 |
= |1 2 3 |
 |1 2^2 3^2 |

= (18+3+4)-(2+12+9)=25-23=2≠0  つまり、detA≠0
よって、Cramerの公式から、 (c_1,c_2 c_3)^t=(0 0 0)^t
となって、
v_1=e^x,v_2=e^(2x),v_3=e^(3x)は一次独立であることが示された。
(2)
 (1)は(2)の伏線です。e^(a_1・x),…,e^(a_r・x) のr個
ありますから、同じように最初の式
c_1・e^(a_1・x)+c_2・e^(a_2・x)・・・+c_r・e^(a_r・x)=0 ・・・(#)とおき、これを
順次微分を(rー1)回してならべ、c_1,c_2,・・,c_rの連立方程式
(e^(a_1・x) e^(a_2・x) ・    e^(a_r・x)) (c_1) (0)
(a_1・e^(a_1・x)  a_2・ e^(a_2・x) ・   a_r e^(a_r・x)) ( c_2) (0)
(・   ・   ・       ・       ・  ) (・ )  =(・)
((a_1)^(r-1)・e^(a_1・x) (a_2)^(r-1)e^(a_2・x) . (a_r)^(r-1)e^(a_r・x)) (c_r) (0)
ができます。
この行列をA_rとおくと、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r
となります。

detB_rは次のようになります。
| 1    1 ・ ・ ・    1    |
|(a_1)^2  (a_2)^2   ・   ・  (a_r)^2 |
|・   ・   ・       ・       ・    |
|(a_1)^(r-1) (a_2)^(r-1) ・  ・ (a_r)^(r-1) |

detB_rをVandemonde(ファンデルモンド)の行列式
といいます。

a_1 、a_2,..., a_rが全て異なっているとき、これは0になりません。
よって、detB_r≠0となり、
detA_r=e^{(a_1+a_2+・ ・ ・+ a_r)x}×detB_r≠0となって
証明ができます。それは、
detB_r=(-1)^{r(r-1)/2×Δ(a_1,a_2,..,a_r) ・・・(★)というのが
「ファンデルモンド」の公式で、
ここに、Δ(a_1,a_2,..,a_r)はa_1,a_2,..,a_rの「差積」といって
Δ(a_1,a_2,..,a_r)=(a_1-a_2)(a_1-a_3)....・(a_1-a_r)
             ×(a_2-a_3)....・(a_2-a_r)
・・・・・
×{a_(r-1)-a_r}
としたものです。
a_1,a_2,・ ・ ・,a_rがどの2つも同じでない ⇔Δ(a_1,a_2,..,a_r)≠0 というわけです。

こんばんは。
>c_1=c_2=c_3=0を導き出すところで、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0
e^x(c_1+c_2・e^2+c_3・e^3)=0

とありますが、
c_1・e^x+c_2・e^(2x)+c_3・e^(3x)=0 ・・・(ア)を微分すると、
c_1・e^x+2・c_2・e^(2x)+3・c_3・e^(3x)=0・・・(イ)となるのが正しい。
だから あなたの様にやると、
e^x≠0なので、c_1+2・c_2・e^x+3・c_3・e^(2x)=0となります。

この(ア)はもう一回微分して、
c_1・e^x+2^2・c_2・e^(2x)+3^2・c_3・e^(3x)=0・・・(ウ)
として、(ア)(イ)(ウ)をc_1,c_...続きを読む

Q2次微分の変数変換

dy/dx=(dy/du)(du/dx) とかけて、dy/dxからdy/duの関係に変換することは積分でよくあります。

ですが、2次微分 d^2y/dx^2 をdy/duの関係に書き換えるとどうなりますか。

たとえば、sinx=uとしますと、dy/dx=(dy/du)cosxになりますが、 d^2y/dx^2はどうでしょう。

うまく説明できていないかもしれませんが、
どなた分かる方がいらっしゃいましたら、ご教示お願いします!

Aベストアンサー

最近同様の質問を見かけましたが、流行りなんでしょうか。

参考URL:http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1259534362

Q1/(1-x)や1/(1+x)の積分形

あまりに簡単な問題ですいません。
1/(1-x)の積分形
1/(1+x)の積分形
を教えてください。

それと1/xの積分形はLog(x)と本に載っていますが
Ln(x)でも良いのでしょうか?

30歳を過ぎて頭がぼけてしまいました。
なにとぞ宜しく御願いします。

Aベストアンサー

∫1/(1-x)dx=-log(1-x)+C
∫1/(1+x)dx=log(1-x)+C

1/xを積分したときのlog(x)(正しくはlog|x|)は
常用対数(底が10)ではなく自然対数(底がe=2.71828183...)
なのでLn(x)と同じ意味です

Q次の関数の組が線形独立であることを示してください。

次の関数の組が線形独立であることを示してください。

 (1) cosx, cos2x

 (2) x^2, exp(x), exp(-x)

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

丸投げするなら、少しは自分で鉛筆動かして考えろ。
(1)
任意の実数xに対して
acosx+bcos2x=acosx+b{2(cosx)^2-1}
=2b(cosx)^2+acosx-b=0とする。

2b(cosx)^2+acosx-bは2bt^2+at-b(-1≦t≦1)の2次関数とみなせるから
(a,b)≠(0,0)だとおかしいのは分かる。

(2)
任意の実数xに対して
ax^2+bexp(x)+cexp(-x)=0・・・・(1)とする。
xで3階微分して
bexp(x)-cexp(-x)=0 即ち bexp(2x)-c=0・・・・(2)となる。
(2)をもう一回さらにxで微分して
2bexp(2x)=0 を得る。このときどんな実数xに対してもexp(2x)>0よりb=0
よって(2)からb=c=0
さらにこれと合わせて(1)から任意の実数xに対してax^2=0 ⇒a=0である。
つまり(a,b,c)=(0,0,0)


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