ラグランジアンの数学的定義

解析力学は純粋に理論的にはラグランジュ方程式から初めてもいいと思いますが、ラグランジアンは数学的にはどのような関数であると考えればいいのかという問題に行きつきました.まずは有限質点系のラグランジアンを考えることにして、これを可算、非可算自由度に拡張する方法については別に考えたいと思ってます.また、時間、一汎座標を考える必要がどうしてもあると思います.更に、ラグランジュ方程式は微分を使っているので可微分性を要求します.これらを踏まえると、ラグランジアンはＲと3N次元の実微分可能多様体の直積上の実数値関数と考えるのが妥当なように思いました.
Ｌ：R×M → R
ところが、私はMの各座標が時刻からの関数でもあることを考慮すべきと思うのでこれでいいかどうかもよく分ってません.更に、ラグランジアン、時間、一般化座標から一般化運動量はどのように定義したらいいでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： N64 回答日時： 2005/11/21 14:24

あなたは、おそらく、数学の専門家だと思いますので、素人の私の言うことは、聞き流してください。

私も、素人なりに、そういうことに関心がありまして、私にも分かりそうな本を買い込み、積んでありますが、まだ読んでいません。えーと、それは、岩波書店の、「物理の世界　物の理　数の理」シリーズの、１，２，３巻です。本のサブタイトルは、１は、「数学から見た物体と運動」、２は、「数学から見た古典力学」、３は、「数学から見た連続体の力学と相対論」です。ぜひとも、3巻まで読みたいと思っています。

この回答へのお礼

ありがとうございます.
今の解析力学はqとq・は独立と考えているみたいですが、数学的には不適切だと思いました.私はラグランジアンは閉じているN個の質点系の枠組みで考えるべきだと思いました.そうすると
　qi:R→R ,C^1級(i=1,…,3N)
としてラグランジアンは
　L:R×(C^1(R))^3N∋(t,q1,…,q3N)→L(t,q1,…,q3N)∈R
という関数と理解するだけでいいと思いました.そしてLの条件としては変分原理またはラグランジュ方程式としておけばいいと思いました.

お礼日時：2005/11/21 18:56

No.3 回答者： ryn 回答日時： 2005/11/25 02:00

> 今の解析力学はqとq・は独立と考えているみたいですが、

こちらに慣れてしまっているので，
　L:R×(C^1(R))^3N∋(t,q1,…,q3N)→L(t,q1,…,q3N)∈R
とすると，
　∂L/∂qi・ = 0
というように勝手に思っていました．


> 異なる位置にある質点は異なる位置にあると認識できるように要請すべき
> (そのために座標値も異なるようにするべき)だと思います.
質問者さんの意図を理解出来てない気もしますが，
　一般化座標:q→ラグランジアン→変分原理→ラグランジュ方程式
この流れで，最初の一般化座標の段階では数値として同じ座標に見えても
次のラグランジアンを書くときに異なる座標だと
そのようにラグランジアンが記述されることになるので，
大丈夫だと思うのですが…

その大丈夫というのをちゃんと数学的に言いたいということですよね．
私ではお役に立てなさそうです．

この回答へのお礼

ありがとうございます.

>最初の一般化座標の段階では数値として同じ座標に見えても
>次のラグランジアンを書くときに異なる座標だとそのように
>ラグランジアンが記述されることになるので，大丈夫だと思うのですが…

極座標は厳密には原点で1to1ではないですが、原則として1to1を要請すべきだと思います.極座標がよく使われているのは単に原点に関わらなくていい現象を扱っているからだと思います.

ですが、これからもアドバイスを頂けるとありがたいです.

お礼日時：2005/12/17 08:38

No.2 回答者： ryn 回答日時： 2005/11/24 12:16

> そうすると

> 　qi:R→R ,C^1級(i=1,…,3N)
> としてラグランジアンは
> 　L:R×(C^1(R))^3N∋(t,q1,…,q3N)→L(t,q1,…,q3N)∈R
> という関数と理解するだけでいいと思いました.
これだと運動を決められないと思います．

例えば，N個の自由粒子の問題のときには
それぞれの粒子が自由に動けるので自由度は3Nです．
ところが
　L:R×(C^1(R))^3N∋(t,q1,…,q3N)→L(t,q1,…,q3N)∈R
とすると，ラグランジアンは(3N+1)個のパラメータからなるので，
運動を規定する方程式は1つしか入れられないことになります．

この回答へのお礼

ありがとうございます.
ラグランジュ方程式は

(d/dt)(∂L/∂qi・)-∂L/∂qi=0 (i=1,…,3N)

の連立方程式なので、特に自由度があわなくなるようなことはないと思いますが、ラグランジアンの前に一般化座標の定義を数学的にちゃんとしたいと思えました.
また、順序としては

一般化座標:q→ラグランジアン→変分原理→ラグランジュ方程式

の順で数学的定式化を考えた方がいいと思えました.
ラグランジアンの定義では各質点の座標の取り方が独立だと思いますが、これがいいのか、いい加減なのか疑問に思います.例えば、各質点の座標を独立に取ると異なる位置にある質点でも同じ座標値になってしまう余地を与えてしまいます.せめて、異なる位置にある質点は異なる位置にあると認識できるように要請すべき(そのために座標値も異なるようにするべき)だと思います.また、qiで偏微分というのも単に方向微分と思っていいのか、数学的にはよく分りません.まずqを次のように捉えたいと思います.

q:R^4∋(t,x,y,z)→q(t,x,y,z)∈R^3 C1級
∀t∈R,qt(x,y,z):=q(t,x,y,z)は単射
として
tをfixしてqi:=q(t,xi,yi,zi) (i=1,…,N)

として定義するといいのかもしれないと思ってますが、実際はよく分ってません.

お礼日時：2005/11/24 18:10