プロが教える店舗&オフィスのセキュリティ対策術

ボールが10個入る容器があります。(11個以上はあふれて、入りません。)
ボールは1分間に6個(平均、標準偏差2)のペースで容器に入れられます。
この条件下において、15秒間隔に、容器からボールが1個抜かれる際に容器が空になる頻度はどれくらいになりますか?

また、容器が空になる頻度を1年間(525600分)に1回とする場合には容器のサイズをどれぐらい以上にする必要がありますか?


以上の問題の解決手段についてですが、容器が空になるすべての場合を書き出して計算するしか方法はないでしょうか?書き出していくことは可能なのですが、すべてをリストアップできているかどうか確認できなかっため、なにか計算する方法がありましたらお教え願います。

A 回答 (2件)

#1さんもおっしゃられるように、ボールの到着する分布を確定しないことには話しにならないのですが。


到着個数の平均と分散(=標準偏差の2乗)が一致していないので、待ち行列で一番基本であるポアソン到着ではないのですね。。。
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計算は1分毎にボールの数を観察する前提でいいでしょうか。


その時に増加するボールの数は平均6、標準偏差2の正規分布に
離散的に近似させるのでしょうか?

まず、ボールが増減する確率を決定してください。
x個変化する確率をそれぞれ
P(-4),P(-3)・・・P(10)とします。ただしΣP(k)=1になるように。
(これ以外の変化はありえませんから必ず足して1になる必要があります)
例えばエクセルの正規分布関数で4.5~3.5の確率を4として採用し、
上下P(-4)とP(10)はこれを外れる分も編入して

P(-4)0.002979763
P(-3)0.009244709
P(-2)0.027834684
P(-1)0.065590617
P(0)0.120977579
P(1)0.174666322
P(2)0.197412651
P(3)0.174666322
P(4)0.120977579
P(5)0.065590617
P(6)0.027834684
P(7)0.009244709
P(8)0.002402738
P(9)0.000488608
P(10)8.84173E-05

としてみましょう。
その上で
ある時点(n)でのボールの数である確率をA0(n),A1(n)・・・A10(n)とすると

A10(n+1)={P(10)+P(9)・・・+P(0)}A10(n)+{P(10)+P(9)・・・+P(1)}A9(n)+・・・+P(10)A0(n)
A9(n+1)=P(-1)A10(n)+P(0)A9(n)+・・・+P(9)A0(n)
・・・
A0(n+1)=P(-4)A4(n)+{P(-3)+P(-4)}A3(n)+{P(-2)+P(-3)+P(-4)}A2(n)+・・・

となりますから、これを行列にまとめることができます。
この行列の各縦方向の和も全て1になっているはずです。

後はこの行列をExcelで60回ぐらい掛け合わせる(関数MMULT)と
定常化します。つまり、ある時点での確率分布がどうであれ
1時間後には一定の確率分布に落ち着くと言う事になります。
(本当は対角化すればいいでしょうが手間がかかるのでExcelで処理しました)

実際にやってみましたが59回でExcelでは差が見られなくなり、
A0=1.68×10^-5となりました。
ということで約6万分(41日)に1回空になる確率といえます。

1/500000になるには11個でいい線だと思いますが、同様に計算してみて下さい。
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